計算練習 2
多重積分, 線積分, 面積分
1. 一様な密度 ρ を持つ物体の z 軸のまわりの慣性モーメントは I = ρ V (x2 +
y 2 )dxdydz で与えられる。次の物体の質量 M および慣性モーメント I を求
めよ。
(1) x = ±a, y = ±b, z = ±c で囲まれた直方体
(2) 球 x2 + y 2 + z 2 ≤ a2 の z ≥ 0 の部分
(3) 底面の半径 R, 高さ h の円錐 (中心軸は z 軸に一致する)
(4) 楕円体
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
≤1
2. 経路 C に沿った線積分を計算せよ。
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
2
C [(x
− 2y)dx + (y 2 + 2x)dy]
C は直線 (0, 1) → (1, 1) → (1, 2)
C は直線 (0, 1) → (1, 2)
− x2 dy)
C は曲線 y = x2 に沿って (0, 0) → (1, 1)
C は直線 (0, 0) → (1, 0) → (1, 1)
C (xydx
2
C [(x
+ yz)dx + (y 2 + xz)dy + (z 2 + xy)dz]
C は直線 (0, 0, 0) → (1, 1, 1)
C は直線 (0, 0, 0) → (1, 0, 0) → (1, 1, 0) → (1, 1, 1)
C (x
+ y + z)ds
C は直線 (0, 0, 0) → (12, 16, 20)
C は直線 (0, 0, 0) → (12, 16, 0) → (12, 16, 20)
C は曲線 r = cos ti + sin tj + 2tk (0 ≤ t ≤ π)
C (yz
+ zx + xy)ds
C は直線 (0, 0, 0) → (1, 2, 3)
C は直線 (0, 0, 0) → (1, 0, 0) → (1, 2, 0) → (1, 2, 3)
C (yi
− zj + xk) · dr
C は曲線 r = 2 cos ti + 2 sin tj + tk (0 ≤ t ≤ π)
2
C [(3x
+ 6y)i − 14yzj + 20xz 2 k] · dr
C は曲線 r = ti + t2 j + t3 k (0 ≤ t ≤ 1)
C は直線 (0, 0, 0) → (1, 1, 1)
(8)
− y + z)i + (x + y − z 2 )j + (3x − 2y + 4)k] · dr
C は円周 x2 + y 2 = 9, z = 0 を反時計まわり
C [(2x
3. 面 S 上の面積分を計算せよ。
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
2
S (x
+ 2yz + z 2 − 2)dS
S は (1, 0, 0),(0, 1, 0),(0, 0, 2) を頂点とする三角形
2
S (x
+ y 2)dS
S は放物面 z = 2 − x2 − y 2 の z ≥ 0 の部分
2
S (x i
− xj + zk) · ndS
S は (1, 0, 0),(0, 1, 0),(0, 0, 2) を頂点とする三角形
S (xi
+ zk) · ndS
S は放物面 z = 2 − x2 − y 2 の z ≥ 0 の部分
− y 2j + 2yzk) · ndS
S は x = 0, y = 0, z = 0, x = 1, y = 1, z = 1 で囲まれる立方体の表面
S (3xzi
S (4xi
+ 4yj − 2zk) · ndS
S は球面 x2 + y 2 + z 2 = 4 の z ≥ 0 の部分
S [6zi
+ (2x + y)j − xk] · ndS
S は円柱面 x2 + z 2 = 9 の x ≥ 0, z ≥ 0, 0 ≤ y ≤ 8 の部分
解答
4
1. (1) M = 8ρabc, I = 83 ρabc(a2 + b2 ), (2) M = 23 πρa3 , I = 15
πρa5 , (3)
1
4
M = 13 πρR2 h, I = 10
πρR4 h (4) M = 43 πρabc, I = 15
πρabc(a2 + b2 )
√
√
2. (1) 8/3, 2/3, (2) −1/4, −1, (3) 2, 2, (4) 480 2, 1040, 5(2 + π 2 ), (5)
√
11 14/3, 43/2, (6) 4 − 2π, (7) 5, 13/3, (8) 18π
3. (1) −5/4, (2) 149π/30, (3) 1/6, (4) 4π, (5) 3/2, (6) 32π, (7) 180

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