物理数学１ 演習 （スタンダード・コース） No.6 R 1. 積分 z¯ dz を次の２つの積分路について求めよ。 (1) 0 から 1 + i に至る線分 C1 (2) 放物線 y = x2 に沿って 0 から 1 + i に至る経路 C2 (3) 0 から 1、1 から 1 + i に至る 2 線分からなる経路 C3 2. 積分 R z 2 dz を問題 1 と同じ３つの積分路について求めよ。 3. 原点を中心に座標軸に平行に置かれた一辺の長さ 2 の正方形を反時計回りに一周する 積分路 C に対して以下の積分の値を求めよ。（実際に積分を実行して求めること。) Z C 1 dz z 4. f (z) を z0 を中心とする円周 |z − z0 | = R 上で連続な関数とする。この円周のパラメ ター表示は C : z(t) = z0 + R eiθ (0 ≤ θ ≤ 2π) で与えられる。このとき円周上の積分 H C f (z) dz は次のように書ける。 I C f (z) dz = i R Z 2π 0 f (z0 + Reiθ ) eiθ dθ これを利用して以下の等式が成り立つことを証明せよ。 I (1) C 1 dz = 2πi z − z0 5. 複素積分（線積分） R C I (2) 1 dz = 0 (z − z0 )n C (n は 1 以外の整数) f (z) dz に対して次の不等式が成り立つことを示せ。 ¯Z ¯ ¯ ¯ C ¯ ¯ f (z) dz ¯¯ ≤ M · L ただし M は曲線 C 上での |f (z)| の最大値であり、L は曲線 C 上の長さとする。 （この不 等式を M L 不等式と呼ぶこともある。） 6. 前問の M L 不等式を用いて積分 Z f (z) dz z2 CR の上限を評価せよ。ただし CR は半径 R の円 |z| = R を表し、f (z) は全ての z に対して 有界で |f (z)| < M を満たすものとする。このとき次の極限について何が言えるか。 Z lim R→∞ CR f (z) dz z2
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