数学演習 II (問題 7) 解答例

数学演習 II (問題 7) 解答例
問 1.
f (e1 + e2 ) = f (e1 ) + f (e2 ) = 2e1 + 3e2
(1)
f (e1 + 2e2 ) = f (e1 ) + 2f (e2 ) = e1 + 4e2
(2)
(2) − (1) より
(
−1
1
f (e2 ) = −e1 + e2 =
この結果を (1) に代入して
(
f (e1 ) = 3e1 + 2e2 =
3
2
)
)
したがって，求める表現行列 A は
(
A = ( f (e1 ) f (e2 ) ) =
)
3 −1
2
1
問 2. x − 2y = 1 上の点 P(1, 0)，Q(0, −1/2) は線形変換 f によって，P′ (2, 1)，Q′ (−5/2, −3/2) に移され
る。したがって，P′ ，Q′ を通る直線
y−1=
1 − (−3/2)
5
(x − 2) = (x − 2)
2 − (−5/2)
9
∴
5x − 9y − 1 = 0
に移される。
問 3. 例題 6（定理 2 の例題）の解法を真似て以下の問題を解け。
(
f (v 1 ) =
3
4
)
(
, f (v 2 ) =
12
17
)
(
, f (v 3 ) =
5
8
)
したがって，定理 6 を適用すると
(
1 2
2 3
)
(
A=
3 12
4 17
5
8
)
を満たす A を求める。
(
(
1 2
2 3
3 12
4 17
1
0 −1
0 −1 −2
5
8
)
(
r2 −2r1
−−−−→
−2
1
−7 −2
したがって，求める表現行列は
)
(−1)r2
−−−−→
(
A=
1
0
3 12
2
−1 −2 −7
(
1 0
0 1
−1 −2 1
2
7 2
1
)
−1
2
5
−2
)
−2 1
7 2
r +2r
1
2
−−
−−→
)
(
)
(
)
p
r
問 4. f (e1 ) =
，f (e2 ) =
と置く。点 P(1, 0)，点 P′ (0, −1) は直線 x − y = 1 上に，Q(3, 0)，
q
s
Q′ (0, 2) は直線 2x + 3y = 6 上にある。
(
)
(
)
−−→
−−→
−→
−→
p
−r
OP = e1 , OP′ = −e2 ⇒ f (OP) = f (e1 ) =
, f (OP′ ) = f (−e2 ) = −f (e2 ) =
q
−s
が，直線 x − 2y = 2 上にあるから，
p − 2q = 2 · · · · · · (a),
−r + 2s = 2 · · · · · · (b)
−−→
−
−
→
−
−
→
OQ = 3e1 , OQ′ = 2e2 ⇒ f (OQ) = f (3e1 ) = 3f (e1 ) = 3
(
p
q
)
−−→
, f (OQ′ ) = f (2e2 ) = 2f (e2 ) = 2
が，直線 2x − 3y = 6 上にあるから，
6p − 9q = 6 · · · · · · (c),
4r − 6s = 6 · · · · · · (d)
(a)(c) より p = −2, q = −2，(b)(d) より r = 12, s = 7
したがって
(
A = ( f (e1 ) f (e2 ) ) =
2
−2 12
−2 7
)
(
r
s
)

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