演習問題解説 #4

工業数学 II
問題解説 #4 河野
演習問題 3.1 次の積分を計算せよ。
Z 2π
1
(1)
dθ
3
+
cos θ
0
Z 2π
1
(3)
dθ
2
+
cos θ
Z0 ∞
1
(5)
dx
2 + 1)2
(x
−∞
Z ∞
x4
dx
(7)
6
x +1
0
Z ∞
x2
(9)
dx
2
3
−∞ (x + 1)
(2)
Z
2π
0
(4)
(6)
Z
2π
Z0 ∞
0
(8)
(10)
Z
∞
−∞
∞
Z
−∞
1
dθ
2 + sin θ
1
dθ
5 − 4 cos θ
x2
dx
4
x +1
1
dx
x2 + x + 1
1
dx
(x2 + 1)(x2 + 4)
(1) z = eiθ とおくと
1
1
= iθ = e−iθ
z
e
であり，オイラーの公式 eiθ = cos θ + i sin θ より
µ
¶
µ
¶
1
1
1
1
z+
= cos θ,
z−
= sin θ
2
z
2i
z
が成立する。
dz
= ieiθ = iz
dθ
なので，z に関する複素積分に変換する。
1
=
3 + cos θ
1
3+
2
1
2z
2z
µ
¶ =
= 2
1
6z + z 2 + 1
z + 6z + 1
z+
z
なので
Z
0
2π
1
dθ =
3 + cos θ
=
Z
C
2z
dθ
dz
z 2 + 6z + 1 dz
C
1
2z
dz
z 2 + 6z + 1 iz
Z
1
=
i
Z
C
2
dz
z 2 + 6z + 1
となる。ただし，C は半径 1 の円である。
√
√
z 2 + 6z + 1 = (z + 3 + 2 2)(z + 3 − 2 2)
√
√
2
の特異点は z = −3 − 2 2 および z = −3 + 2 2 であるが，C の内部に
+ 6z +
√1
あるのは z = −3 + 2 2 である。よって
Z
√
2
dz = 2πi Res(−3 + 2 2)
2
C z + 6z + 1
なので関数
z2
√
√
となる。α = −3 + 2 2，β = −3 − 2 2 とおく。z 2 + 6z + 1 = (z − α)(z − β) なので f (z) =
2
2
2
=
と書ける。g(z) =
とおき z = α でテーラー展開する。
2
z + 6z + 1
(z − α)(z − β)
z−β
g(z) = b0 + b1 (z − α) + b2 (z − α)2 + · · ·
とおくと，b0 = g(α) =
1
√ となる。よって f (z) の z = α におけるローラン展開は
2 2
f (z) =
となる。以上により
1
1
√
+ b1 + b2 (z − α) + · · ·
2 2 (z − α)
√
Res(−3 + 2 2) =
1
√
2 2
となる。よって
Z
2π
0
1
1
dθ =
3 + cos θ
i
Z
C
2
1
1
π
dz = 2πi √ = √
z 2 + 6z + 1
i
2 2
2
を得る。
(2) z = eiθ とおくと
1
1
= iθ = e−iθ
z
e
であり，オイラーの公式 eiθ = cos θ + i sin θ より
µ
¶
µ
¶
1
1
1
1
z+
= cos θ,
z−
= sin θ
2
z
2i
z
が成立する。
dz
= ieiθ = iz
dθ
なので，z に関する複素積分に変換する。
1
2iz
2iz
µ
¶ =
= 2
2
1
1
4iz + z − 1
z + 4iz − 1
z−
2+
2i
z
1
=
2 + sin θ
なので
Z
0
2π
1
dθ =
2 + sin θ
Z
C
Z
2iz
1
dz
z 2 + 4iz − 1 iz
2
dz
2 + 4iz − 1
z
C
√
√
となる。ただし，C は半径 1 の円である。α = (−2 + 3)i，β = (−2 − 3)i とおくと
=
z 2 + 4iz − 1 = (z − α)(z − β)
2
の特異点は z = α および z = β であるが，C の内部にあるのは
z 2 + 4iz − 1
z = α である。よって
Z
2
dz = 2πi Res(α)
2 + 4iz − 1
z
C
なので関数 f (z) =
となる。f (z) =
展開する。
2
2
2
=
なので，g(z) =
とおき z = α でテーラー
z 2 + 4iz − 1
(z − α)(z − β)
z−β
g(z) = b0 + b1 (z − α) + b2 (z − α)2 + · · ·
i
とおくと，b0 = g(α) = − √ となる。よって f (z) の z = α におけるローラン展開は
3
i
1
f (z) = − √
+ b1 + b2 (z − α) + · · ·
(z
−
α)
3
となる。以上により
i
Res(α) = − √
3
となる。よって
Z
2π
0
1
dθ =
2 + sin θ
Z
C
2
i
2π
dz = −2πi √ = √
z 2 + 4iz − 1
3
3
を得る。
(3) z = eiθ とおくと
1
1
= iθ = e−iθ
z
e
であり，オイラーの公式 eiθ = cos θ + i sin θ より
µ
¶
µ
¶
1
1
1
1
z+
= cos θ,
z−
= sin θ
2
z
2i
z
が成立する。
dz
= ieiθ = iz
dθ
なので，z に関する複素積分に変換する。
1
=
2 + cos θ
1
2z
2z
µ
¶ =
= 2
2
1
1
4z + z + 1
z + 4z + 1
2+
z+
2
z
なので
Z
0
2π
1
dθ =
2 + cos θ
Z
C
1
=
i
z2
1
2z
dz
+ 4z + 1 iz
C
z2
Z
となる。ただし，C は半径 1 の円である。α = −2 +
√
2
dz
+ 4z + 1
3，β = −2 −
√
3 とおくと
z 2 + 4z + 1 = (z − α)(z − β)
2
の特異点は z = α および z = β であるが，C の内部にあるのは
z 2 + 4z + 1
z = α である。よって
Z
2
dz = 2πi Res(α)
2 + 4z + 1
z
C
なので関数 f (z) =
となる。f (z) =
展開する。
2
2
2
=
なので，g(z) =
とおき z = α でテーラー
z 2 + 4z + 1
(z − α)(z − β)
z−β
とおくと，b0 = g(α) =
g(z) = b0 + b1 (z − α) + b2 (z − α)2 + · · ·
√
3
となる。よって f (z) の z = α におけるローラン展開は
3
√
3
1
f (z) =
+ b1 + b2 (z − α) + · · ·
3 (z − α)
となる。以上により
Res(α) =
√
3
3
となる。よって
Z
2π
0
1
1
dθ =
2 + cos θ
i
Z
C
√
2
1
3
2π
dz = 2πi
= √
z 2 + 4z + 1
i
3
3
を得る。
(4) z = eiθ とおくと
1
1
= iθ = e−iθ
z
e
であり，オイラーの公式 eiθ = cos θ + i sin θ より
µ
¶
µ
¶
1
1
1
1
z+
= cos θ,
z−
= sin θ
2
z
2i
z
が成立する。
dz
= ieiθ = iz
dθ
なので，z に関する複素積分に変換する。
1
=
5 − 4 cos θ
1
z
z
µ
¶ =
=− 2
2
1
1
5z − 2z − 2
2z − 5z + 2
5−4·
z+
2
z
なので
Z
2π
0
Z
1
z
1
dθ = −
dz
2 − 5z + 2 iz
5 − 4 cos θ
2z
C
Z
1
1
dz
=−
i C 2z 2 − 5z + 2
となる。ただし，C は半径 1 の円である。α =
1
，β = 2 とおくと
2
2z 2 − 5z + 2 = 2(z − α)(z − β)
1
の特異点は z = α および z = β であるが，C の内部にあるのは
2z 2 − 5z + 2
z = α である。よって
Z
1
dz = 2πi Res(α)
2 − 5z + 2
2z
C
なので関数 f (z) =
1
1
1
=
なので，g(z) =
とおき z = α で
2z 2 − 5z + 2
2(z − α)(z − β)
2(z − β)
テーラー展開する。
となる。f (z) =
g(z) = b0 + b1 (z − α) + b2 (z − α)2 + · · ·
とおくと，b0 = g(α) = −
1
となる。よって f (z) の z = α におけるローラン展開は
3
f (z) = −
1
1
+ b1 + b2 (z − α) + · · ·
3 (z − α)
となる。以上により
Res(α) = −
1
3
となる。よって
Z
2π
0
1
1
dθ = −
5 − cos θ
i
Z
C
1
1
1
2π
dz = 2πi =
2z 2 − 5z + 2
i
3
3
を得る。
¯
©
ª
(5) R > 1 とするとき，Γ = Reit ¯ 0 <
=t<
= π ，L = { x + 0i | −R <
=x<
= R }，C = Γ ∪ L とお
く。ただし，L の向きは −R から R に向かう向き，Γ の向きは R から −R に向かう向き，C の
向きは L と Γ の向きから決まる向きとする。
1
f (z) = 2
とおくとき，
(z + 1)2
Z
Z
Z
f (z)dz =
f (z)dz +
f (z)dz
C
Γ
L
が成立している。
s を長さによるパラメータとする。Γ を s を用いて表示すると
¯
©
ª
Γ = Reis/R ¯ 0 <
=s<
= πR
となる。このとき
¯Z
¯ Z ¯
¯
¯
Z πR ¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯ f (z)dz ¯ <
¯f (z)¯ds =
¯f (z)¯ds
¯
¯=
¯
¯
¯
¯
Γ
Γ
0
¯
¯
¯ 2
¯
¯ 1 ¯
1
¯
¯
¯
¯
が成立している。|z 2 | − 1 <
= |z 2 | − 1 が成立する。
= z + 1 より ¯ z 2 + 1 ¯ <
z ∈ Γ のとき |z| = R であり，
¯
¯ ¯
¯
¯
¯ ¯
¯
1
1
1
¯f (z)¯ = ¯
¯
=
2 =
2
¯
¯ ¯ (z 2 + 1)2 ¯ <
2
2
(|z| − 1)
(R − 1)
が成立する。よって
¯Z
¯ Z
¯
¯
¯ f (z)dz ¯ <
¯
¯=
0
Γ
が得られる。R → ∞ のとき
πR
1
(R2 − 1)
2
ds =
πR
→ 0 となるので，
− 1)2
Z
f (z)dz = 0
lim
(R2
R→∞
Γ
πR
− 1)2
(R2
(1)
が示される。
Z
次に
f (z)dz を求める。f (z) の特異点は z = i および z = −i である。C の内部にある特異
C
点は z = i である。よって
が成立する。f (z) =
展開すると
Z
f (z)dz = 2πi Res(i)
C
1
1
なので g(z) =
とおき，g(z) を z = i でテーラー
(z − i)2 (z + i)2
(z + i)2
g(z) = −
1
i
3
− (z − i) +
(z − i)2 + · · ·
4
4
16
となるので f (z) は z = i で
f (z) = −
1
1
i 1
3
−
+
+ ···
2
4 (z − i)
4 z−i
16
とローラン展開できる。よって留数は Res(i) = −
Z
C
f (z)dz = 2πi Res(i) = −2πi
を (1) に代入し R → ∞ とすると
π
= lim
R→∞
2
となるが， lim
R→∞
Z
f (z)dz =
L
Z
i
である。
4
∞
−∞
Z
i
π
=
4
2
f (z)dz
L
f (x)dx なので
Z
∞
−∞
1
π
dx =
(x2 + 1)2
2
を得る。
¯
©
ª
(6) R > 1 とするとき，Γ = Reit ¯ 0 <
=t<
= π ，L = { x + 0i | −R <
=x<
= R }，C = Γ ∪ L とお
く。ただし，L の向きは −R から R に向かう向き，Γ の向きは R から −R に向かう向き，C の
向きは L と Γ の向きから決まる向きとする。
z2
とおくとき，
f (z) = 4
z +1
Z
Z
Z
f (z)dz =
f (z)dz +
f (z)dz
C
Γ
L
が成立している。
s を長さによるパラメータとする。Γ を s を用いて表示すると
Γ=
となる。このとき
©
¯
ª
Reis/R ¯ 0 <
= πR
=s<
¯Z
¯ Z
¯
¯
¯ f (z)dz ¯ <
¯
¯=
Γ
Γ
¯
¯
Z
¯
¯
¯f (z)¯ds =
¯
¯
0
πR
¯
¯
¯
¯
¯f (z)¯ds
¯
¯
(2)
¯
¯
¯ 4
¯
¯ 1 ¯
1
¯
¯
¯
¯<
<
が成立している。|z | − 1 = z + 1 より ¯ 4
が成立する。
z + 1 ¯ = |z 4 | − 1
z ∈ Γ のとき |z| = R であり，
¯
¯ ¯
¯
2
2
¯
¯ ¯
¯
R2
¯f (z)¯ = ¯ z
¯ < |z|
=
=
¯
¯ ¯ z4 + 1 ¯
|z|4 − 1
R4 − 1
4
が成立する。よって
¯ Z
¯Z
¯
¯
¯ f (z)dz ¯ <
¯=
¯
πR
0
Γ
R2
πR3
ds = 4
−1
R −1
R4
πR3
→ 0 となるので，
R4 − 1
Z
lim
f (z)dz = 0
が得られる。R → ∞ のとき
R→∞
Γ
が示される。
Z
1+i
次に
f (z)dz を求める。f (z) の特異点は z 4 + 1 = 0 を満たすので z1 = eiπ/4 = √ およ
2
C
−1 + i
−1 − i
1−i
3iπ/4
−3iπ/4
−iπ/4
び z2 = e
= √
，z3 = e
= √
，z4 = e
= √ ，である。C の内部に
2
2
2
ある特異点は z1 , z2 である。よって
Z
f (z)dz = 2πi Res(z1 ) + 2πi Res(z2 )
C
z2
z2
なので g1 (z) =
(z − z1 )(z − z2 )(z − z3 )(z − z4 )
(z − z2 )(z − z3 )(z − z4 )
とおき，g1 (z) を z = z1 でテーラー展開すると
が成立する。f (z) =
g1 (z) =
1−i
i
3 + 3i
√ − (z − z1 ) +
√ (z − z1 )2 + · · ·
8
4 2
16 2
となるので f (z) は z = z1 で
f (z) =
1−i
1
i
3 + 3i
√
√ (z − z1 ) + · · ·
−
+
8
4 2 (z − z1 )
16 2
とローラン展開できる。よって留数は Res(z1 ) =
g2 (z) =
1−i
√ である。
4 2
z2
とおき g2 (z) を z = z2 でテーラー展開すると
(z − z1 )(z − z3 )(z − z4 )
i
−1 − i
−3 + 3i
√
√ (z − z2 )2 + · · ·
+ (z − z2 ) +
8
4 2
16 2
g2 (z) =
となるので f (z) は z = z2 で
f (z) =
−1 − i
1
i
−3 + 3i
√
√ (z − z2 ) + · · ·
+
+
(z
−
z
)
8
4 2
16 2
2
とローラン展開できる。よって留数は Res(z2 ) =
−1 − i
√
である。
4 2
Z
f (z)dz = 2πi (Res(z1 ) + Res(z2 )) = 2πi
C
を (2) に代入し R → ∞ とすると
π
√ = lim
R→∞
2
となるが， lim
R→∞
Z
f (z)dz =
Z
∞
1−i
−1 − i
√ +
√
4 2
4 2
¶
π
= √
2
f (z)dz
L
f (x)dx なので
−∞
L
Z
となる。
Z
µ
∞
−∞
π
x2
dx = √
(x4 + 1)
2
x2
は偶関数なので
x4 + 1
Z
∞
0
を得る。
(7) R > 1 とするとき，Γ =
x2
1
dx =
4
x +1
2
©
Z
∞
−∞
x2
dx =
4
(x + 1)
√
2π
4
¯
ª
Reit ¯ 0 <
=t<
= π ，L = { x + 0i | −R <
=x<
= R }，C = Γ ∪ L とお
く。ただし，L の向きは −R から R に向かう向き，Γ の向きは R から −R に向かう向き，C の
向きは L と Γ の向きから決まる向きとする。
z4
f (z) = 6
とおくとき，
z +1
Z
Z
Z
f (z)dz =
f (z)dz +
f (z)dz
C
Γ
L
が成立している。
s を長さによるパラメータとする。Γ を s を用いて表示すると
Γ=
となる。このとき
©
¯
ª
Reis/R ¯ 0 <
=s<
= πR
¯Z
¯ Z
¯
¯
¯ f (z)dz ¯ <
¯
¯=
Γ
Γ
¯
¯
Z
¯
¯
¯f (z)¯ds =
¯
¯
0
πR
¯
¯
¯
¯
¯f (z)¯ds
¯
¯
¯
¯
¯
¯ 6
¯
¯
1
¯z + 1¯ より ¯ 1 ¯ <
が成立している。|z 6 | − 1 <
=
¯ z 4 + 1 ¯ = |z 4 | − 1 が成立する。
z ∈ Γ のとき |z| = R であり，
が成立する。よって
¯
¯ ¯
¯
4
4
¯
¯ ¯
¯
R4
¯f (z)¯ = ¯ z
¯ < |z|
=
=
¯
¯ ¯ z6 + 1 ¯
|z|6 − 1
R6 − 1
¯Z
¯ Z
¯
¯
¯ f (z)dz ¯ <
¯
¯=
Γ
0
πR
πR5
R4
ds
=
R6 − 1
R6 − 1
(3)
が得られる。R → ∞ のとき
πR5
→ 0 となるので，
R6 − 1
Z
lim
f (z)dz = 0
R→∞
Γ
が示される。
√
Z
3+i
6
iπ/6
次に
f (z)dz を求める。f (z) の特異点は z + 1 = 0 を満たすので z1 = e
=
お
2
C
√
√
− 3−i
− 3+i
，z4 = e7π/6 =
，z5 = e9iπ/6 = −i，
よび z2 = e3iπ/6 = i，z3 = e5iπ/6 =
2
2
√
3−i
z6 = e11π/6 =
，である。C の内部にある特異点は z1 , z2 , z3 である。よって
2
Z
f (z)dz = 2πi Res(z1 ) + 2πi Res(z2 ) + 2πi Res(z3 )
C
z4
なので
(z − z1 )(z − z2 )(z − z3 )(z − z4 )(z − z5 )(z − z6 )
z4
g1 (z) =
とおき，g1 (z) を z = z1 でテーラー展開すると
(z − z2 )(z − z3 )(z − z4 )(z − z5 )(z − z6 )
が成立する。f (z) =
g1 (z) =
1
1
13
√
+ √
(z − z1 ) − √
(z − z1 )2 + · · ·
3( 3 + i)
( 3 + i)2
9( 3 + i)2
となるので f (z) は z = z1 で
f (z) =
1
1
13
1
√
+ √
− √
(z − z1 ) + · · ·
3( 3 + i) z − z1
( 3 + i)2
9( 3 + i)2
とローラン展開できる。よって留数は Res(z1 ) =
g2 (z) =
ると
1
である。
3( 3 + i)
√
z4
とおき，g2 (z) を z = z2 でテーラー展開す
(z − z1 )(z − z3 )(z − z4 )(z − z5 )(z − z6 )
g2 (z) = −
i
1
13i
− (z − z2 ) −
(z − z2 )2 + · · ·
6
4
72
となるので f (z) は z = z2 で
f (z) = −
1
13i
i
1
−
−
(z − z2 ) + · · ·
6 z − z2
4
72
とローラン展開できる。よって留数は Res(z2 ) = −
g3 (z) =
ると
i
である。
6
z4
とおき，g3 (z) を z = z3 でテーラー展開す
(z − z1 )(z − z2 )(z − z4 )(z − z5 )(z − z6 )
g3 (z) = −
1
1
13
√
+ √
(z − z3 ) √
(z − z3 )2 + · · ·
2
3( 3 − i)
( 3 − i)
9( 3 − i)2
となるので f (z) は z = z3 で
f (z) = −
1
1
1
13
√
+ √
+ √
(z − z3 ) + · · ·
2
3( 3 − i) z − z3
( 3 − i)
9( 3 − i)2
とローラン展開できる。よって留数は Res(z3 ) = −
Z
1
√
である。
3( 3 − i)
f (z)dz = 2πi (Res(z1 ) + Res(z2 ) + Res(z3 )) = 2πi
C
を (3) に代入し R → ∞ とすると
2π
= lim
R→∞
3
となるが， lim
R→∞
Z
f (z)dz =
Z
∞
−∞
L
を得る。
(8) R > 2 とするとき，Γ =
©
Z
µ
1
i
1
√
−
− √
6
3( 3 + i)
3( 3 − i)
¶
=
2π
3
f (z)dz
L
f (x)dx なので
Z
∞
−∞
x4
2π
dx =
+1
3
x6
¯
ª
Reit ¯ 0 <
=t<
= π ，L = { x + 0i | −R <
=x<
= R }，C = Γ ∪ L とお
く。ただし，L の向きは −R から R に向かう向き，Γ の向きは R から −R に向かう向き，C の
向きは L と Γ の向きから決まる向きとする。
1
f (z) = 2
とおくとき，
z +z+1
Z
Z
Z
f (z)dz =
f (z)dz +
f (z)dz
C
Γ
(4)
L
が成立している。
s を長さによるパラメータとする。Γ を s を用いて表示すると
¯
©
ª
Γ = Reis/R ¯ 0 <
=s<
= πR
となる。このとき
¯Z
¯ Z
¯
¯
¯ f (z)dz ¯ <
¯
¯=
¯
¯
Z
¯
¯
¯f (z)¯ds =
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯f (z)¯ds
¯
¯
Γ
Γ
0
¯
¯
¯
¯ 2
¯ ¯ 2
¯
¯
1
1
2
¯<
¯
¯
¯
¯
¯
>
>
が成立している。 z + z + 1 = z + z − 1 = |z | − |z| − 1 より ¯ 2
z + z + 1 ¯ = |z 2 | − |z| − 1
が成立する。
πR
z ∈ Γ のとき |z| = R であり，
¯
¯ ¯
¯
¯
¯ ¯
¯
1
1
1
¯f (z)¯ = ¯
¯
= |z|2 − |z| − 1 = R2 − R − 1
¯
¯ ¯ z2 + z + 1 ¯ <
が成立する。よって
¯Z
¯ Z
¯
¯
¯ f (z)dz ¯ <
¯
¯=
Γ
が得られる。R → ∞ のとき
0
πR
1
πR
ds = 2
R2 − R − 1
R −R−1
πR
→ 0 となるので，
R2 − R − 1
Z
f (z)dz = 0
lim
R→∞
Γ
が示される。
√
√
Z
−1 + i 3
−1 − i 3
および z2 =
である。C
次に
f (z)dz を求める。f (z) の特異点は z1 =
2
2
C
の内部にある特異点は z = z1 である。よって
Z
f (z)dz = 2πi Res(z1 )
C
が成立する。f (z) =
展開すると
1
1
なので g(z) =
とおき，g(z) を z = z1 でテーラー
(z − z1 )(z − z2 )
z − z2
i
i
1
g(z) = − √ + (z − z1 ) + √ (z − z1 )2 + · · ·
3
3
3 3
となるので f (z) は z = z1 で
1
1
i
i
+
+ √ (z − z1 ) + · · ·
f (z) = − √
z
−
z
3
3
3 3
1
i
とローラン展開できる。よって留数は Res(i) = − √ である。
3
Z
i
2π
f (z)dz = 2πi Res(i) = −2πi √ = √
3
3
C
を (4) に代入し R → ∞ とすると
2π
√ = lim
R→∞
3
となるが， lim
R→∞
Z
f (z)dz =
L
Z
∞
−∞
Z
f (z)dz
L
f (x)dx なので
Z
∞
−∞
1
2π
dx = √
x2 + x + 1
3
を得る。
¯
©
ª
(9) R > 1 とするとき，Γ = Reit ¯ 0 <
=t<
= π ，L = { x + 0i | −R <
=x<
= R }，C = Γ ∪ L とお
く。ただし，L の向きは −R から R に向かう向き，Γ の向きは R から −R に向かう向き，C の
向きは L と Γ の向きから決まる向きとする。
z2
f (z) = 2
とおくとき，
(z + 1)3
Z
Z
Z
f (z)dz =
f (z)dz +
f (z)dz
(5)
C
Γ
L
が成立している。
s を長さによるパラメータとする。Γ を s を用いて表示すると
Γ=
となる。このとき
©
¯
ª
Reis/R ¯ 0 <
= πR
=s<
¯Z
¯ Z
¯
¯
¯ f (z)dz ¯ <
¯
¯=
Γ
Γ
¯
¯
Z
¯
¯
¯f (z)¯ds =
¯
¯
0
πR
¯
¯
¯
¯
¯f (z)¯ds
¯
¯
¯
¯
¯ 2
¯
¯ 1 ¯
1
¯
¯
¯
¯<
<
が成立している。|z | − 1 = z + 1 より ¯ 2
が成立する。
z + 1 ¯ = |z 2 | − 1
z ∈ Γ のとき |z| = R であり，
2
が成立する。よって
¯
¯ ¯
¯
¯ ¯
z2
¯f (z)¯ = ¯
¯
¯ ¯ (z 2 + 1)3
¯ Z
¯Z
¯
¯
¯ f (z)dz ¯ <
¯=
¯
¯
¯
¯<
¯=
πR
(|z|2 − 1)
R2
(R2 − 1)
0
Γ
|z|2
3
3
=
ds =
R2
(R2 − 1)
3
πR3
− 1)3
(R2
πR3
→ 0 となるので，
− 1)3
が得られる。R → ∞ のとき
(R2
lim
R→∞
Z
f (z)dz = 0
Γ
が示される。
Z
次に
f (z)dz を求める。f (z) の特異点は z1 = i および z2 = −i である。C の内部にある特異
C
点は z1 = i である。よって
が成立する。f (z) =
ラー展開すると
Z
f (z)dz = 2πi Res(i)
C
z2
z2
なので
g(z)
=
とおき，g(z) を z = i でテー
(z − z1 )3 (z − z2 )3
(z − z2 )3
g(z) = −
i
1
i
1
−
(z − z1 ) −
(z − z1 )2 + +
···
8
16
16
32
となるので f (z) は z = z1 で
f (z) = −
i
1
1
1
i
1
1
−
−
+
+ ···
3
2
8 (z − i)
16 (z − z1 )
16 z − z1
32
とローラン展開できる。よって留数は Res(z1 ) = −
Z
f (z)dz = 2πi Res(i) = −2πi
C
を (5) に代入し R → ∞ とすると
π
= lim
R→∞
8
となるが， lim
R→∞
Z
f (z)dz =
L
Z
∞
Z
f (z)dz
L
f (x)dx なので
−∞
Z
を得る。
i
である。
16
∞
−∞
x2
π
dx =
2
3
(x + 1)
8
i
π
=
16
8
(10) R > 2 とするとき，Γ =
©
¯
ª
Reit ¯ 0 <
=t<
= π ，L = { x + 0i | −R <
=x<
= R }，C = Γ ∪ L とお
く。ただし，L の向きは −R から R に向かう向き，Γ の向きは R から −R に向かう向き，C の
向きは L と Γ の向きから決まる向きとする。
1
f (z) = 2
とおくとき，
(z + 1)(z 2 + 4)
Z
f (z)dz =
C
Z
f (z)dz +
Γ
Z
f (z)dz
(6)
L
が成立している。
s を長さによるパラメータとする。Γ を s を用いて表示すると
Γ=
となる。このとき
©
¯
ª
Reis/R ¯ 0 <
=s<
= πR
¯Z
¯ Z
¯
¯
¯ f (z)dz ¯ <
¯
¯=
Γ
Γ
¯
¯
Z
¯
¯
¯f (z)¯ds =
¯
¯
0
πR
¯
¯
¯
¯
¯f (z)¯ds
¯
¯
¯
¯
¯ 2
¯
¯ 2
¯
¯
¯
1
2
¯
¯
¯
¯
¯
¯ <
<
<
が成立している。|z | − 1 = z + 1 および |z | − 4 = z + 4 より ¯ 2
2
(z + 1)(z + 4) ¯ =
1
が成立する。
(|z 2 | − 1)(|z 2 | − 4)
z ∈ Γ のとき |z| = R であり，
2
¯
¯ ¯
¯
¯
¯ ¯
¯
1
1
1
¯f (z)¯ = ¯
¯
= (|z|2 − 1)(|z|2 − 4) = (R2 − 1)(R2 − 4)
¯
¯ ¯ (z 2 + 1)(z 2 + 4) ¯ <
が成立する。よって
¯Z
¯ Z
¯
¯
¯ f (z)dz ¯ <
¯
¯=
Γ
が得られる。R → ∞ のとき
πR
0
(R2
πR
1
ds =
2
2
− 1)(R − 4)
(R − 1)(R2 − 4)
πR
→ 0 となるので，
(R2 − 1)(R2 − 4)
lim
R→∞
Z
f (z)dz = 0
Γ
が示される。
Z
次に
f (z)dz を求める。f (z) の特異点は (z 2 + 1)(z 2 + 4) = 0 を満たすので z1 = i および
C
z2 = 2i，z3 = −i，z4 = −2i，である。C の内部にある特異点は z1 , z2 である。よって
Z
f (z)dz = 2πi Res(z1 ) + 2πi Res(z2 )
C
1
1
なので g1 (z) =
(z − z1 )(z − z2 )(z − z3 )(z − z4 )
(z − z2 )(z − z3 )(z − z4 )
とおき，g1 (z) を z = z1 でテーラー展開すると
が成立する。f (z) =
g1 (z) = −
i
1
25i
−
(z − z1 ) +
(z − z1 )2 + · · ·
6
36
216
となるので f (z) は z = z1 で
f (z) = −
i
1
1
25i
−
+
(z − z1 ) + · · ·
6 (z − z1 )
36
216
とローラン展開できる。よって留数は Res(z1 ) = −
g2 (z) =
i
である。
6
1
とおき g2 (z) を z = z2 でテーラー展開すると
(z − z1 )(z − z3 )(z − z4 )
i
19
265i
−
(z − z2 ) −
(z − z2 )2 + · · ·
12
144
1728
g2 (z) =
となるので f (z) は z = z1 で
i
1
19
256i
−
−
(z − z2 ) + · · ·
12 (z − z2 )
144
1728
f (z) =
i
である。
12
µ
¶
Z
i
i
π
f (z)dz = 2πi (Res(z1 ) + Res(z2 )) = 2πi − +
=
6
12
6
C
とローラン展開できる。よって留数は Res(z2 ) =
を (6) に代入し R → ∞ とすると
π
= lim
R→∞
6
となるが， lim
R→∞
を得る。
Z
f (z)dz =
L
Z
∞
Z
f (z)dz
L
f (x)dx なので
−∞
Z
∞
−∞
1
π
dx =
(x2 + 1)(x2 + 4)
6

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