π = − ∫ β (a − t )2 dt = 1 3 { (a − β )3 − (a − α )3} (1) ∂π ∂a = (a − β

経済学のためのゲーム理論入門
第 4 章不完備情報の動学ゲーム
4.9
Crawford and Sobel(1982) におけるチープトーク・ゲームでは，送り手のタイプが n 個の区間
に分割され，一つの区間に属する全てのタイプが同じメッセージを送るような均衡が存在する*1 ．
ここで，均衡において受け手が区間 [α, β) に属する送り手からメッセージを受け取ったと仮定し
て，その時の受け手の（メッセージを観察した後の）事後の期待利得を考える．a を選択した時の
受け手の期待利得は，
∫
}
1{
(a − β)3 − (a − α)3
3
β
(a − t)2 dt =
π=−
α
(1)
となるので，期待利得最大化のための 1 階条件は，
∂π
= (a − β)2 − (a − α)2 = 0
∂a
⇔ (a − β)2 = (a − α)2
⇔ 2(α − β)a = α2 − β 2
(2)
ここで α ̸= β なので，(2) 式から，最適な a = a∗ は，
a∗ =
1
(α + β)
2
(3)
と求まる．また，（最大化のための）2 階条件は，
∂π <0
∂a2 a=a∗
}
1{ ∗
6(a − β) − 6(a∗ − β) < 0
⇔
3
⇔α−β <0
となるが，α < β より 2 階条件は常に十分満足され，a∗ = 21 (α + β) がきちんと期待利得を最大化
していることがわかる．
さて，このチープトーク・ゲームにおける部分一括均衡においては，本書 4.3.A 節で議論した通
り，各階級の長さは直前の階級よりも 4b だけ長くなる．特に 3 階級均衡においては，第 1 階級の
長さを d とすれば，第 2 階級の長さは d + 4b，第 3 階級の長さは d + 8b となる．全ての階級の長
さを合わせると 1 になるから，
3d + 12b = 1
(4)
が成立し，また (4) 式を満たすような d (0 < d < 1) が存在するための条件は，
b<
*1
1
12
(5)
なぜそのような送り手の戦略が均衡になるかについては，区間の数が n の場合においも n = 2 の時と同じようにし
て証明することができる．詳しくは岡田「ゲーム理論」
（有斐閣）
，pp159-164 を参照のこと．
1
経済学のためのゲーム理論入門
第 4 章不完備情報の動学ゲーム
であり，これが 3 階級均衡が存在するための条件である．
次に，受け手の期待利得の大小について考えたい．ここではまず比較のために，1 階級均衡の場
合における受け手の期待利得について考えてみる．区間 [0, 1] に含まれる全ての送り手が同じメッ
セージを送る 1 階級均衡においては，期待利得は (1) 式から，
∫
1
1
3
)2
(a − t)2 dt = −a2 + a −
0
(
=− a−
となるから，受け手の最適な戦略は a∗ =
1
2
1
2
−
1
12
(6)
1
であり，そのときの期待利得は − 12
である．
次に，2 階級均衡の場合における受け手の期待利得について考える．均衡において，タイプが区
間 [0, x1 ) に含まれる送り手からメッセージを受け取った場合の受け手の（事後の）期待利得は，
(1) 式から，
}
1{
(a − x1 )3 − a3
3
(7)
である．そして，送り手のタイプが区間 [0, x1 ) に含まれている確率は，送り手のタイプの従う共
有事前分布が区間 [0, 1] の一様分布となっていることから，受け手には x1 と評価される．
それと同様に，タイプが区間 [x1 , 1] に含まれる送り手からメッセージを受け取った場合の受け
手の（事後の）期待利得は，(1) 式から，
}
1{
(a − 1)3 − (a − x1 )3
3
(8)
である．そして，送り手のタイプが区間 [x1 , 1] に含まれている確率は，受け手には 1 − x1 と評価
される．ここで，タイプが区間 [0, x1 ) に含まれる送り手からメッセージを受け取った場合の受け
手の最適な反応は a =
x1
2
であり，さらに，区間 [x1 , 1] に含まれるタイプの送り手からメッセー
ジを受け取った場合の受け手の最適な反応は a =
x1 +1
2
であることに注意すると，均衡における
（メッセージを観察した後の）受け手の事後の期待利得は，送り手のタイプがタイプが区間 [0, x1 )
に含まれる場合，(7) 式から，
1 { ( x1 )3 ( x1 )3 }
1
−
−
= − x31
3
2
2
12
(9)
一方，送り手のタイプがタイプが区間 [x1 , 1) に含まれる場合は，
1
3
{(
x1 − 1
2
)3
(
−
−x1 + 1
2
)3 }
=−
1
(1 − x1 )3
12
(10)
となるから，（メッセージを観察する前の，ゲームを始める前の）受け手の事前の期待利得は，
{
} {
}
1 3
1
1
3
− x1 · x1 + − (1 − x1 ) · (1 − x1 ) = − (x41 + (1 − x1 )4 )
12
12
12
2
(11)
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第 4 章不完備情報の動学ゲーム
と求めることができる．ここで，2 階級均衡において，第 1 階級の長さが
が
1
2
+ 2b となることから，x1 =
1
2
1
2
− 2b，第 2 階級の長さ
− 2b となるので，これを (11) 式に代入することにより，2 階
級均衡における受け手の期待利得は，
1
−
12
(
)
1
4
2
32b + 12b +
8
(12)
と計算できる．
次に，3 階級均衡における受け手の期待利得について考える．この均衡においては，タイプが
区間 [0, x1 ) に属する送り手は全て同じメッセージを，それとは別に区間 [x1 , x2 ) に属する送り手
は全て同じメッセ―ジを，そしてまたそれとは別に [x2 , 1) に属する送り手は全て同じメッセージ
を，それぞれ送るものとする．そして，違う区間にタイプが属する送り手は，それぞれ異なるメッ
セージを受け手に送る．受け手の最適反応は，タイプが区間 [0, x1 ) に属する送り手からメッセー
ジを受け取った場合は a =
a=
x1 +x2
，区間
2
x1
2 ，区間
[x1 , x2 ) に属する送り手からメッセージを受け取った場合は
[x2 , 1) に属する送り手からメッセージを受け取った場合は a =
x2 +1
2
であること
を踏まえると，（メッセージを観察した後の）事後の受け手の期待利得はそれぞれ，タイプが区間
[0, x1 ) に属する送り手からメッセージを受け取った場合は，(1) 式から，
{
}
1 ( x1 )3 ( x1 )3
1
−
−
= − x31
3
2
2
12
(13)
区間 [x1 , x2 ) に属する送り手からメッセージを受け取った場合は，
1
3
{(
x1 + x2
− x2
2
)3
(
−
x1 + x2
− x1
2
)3 }
=−
1
(x2 − x1 )3
12
(14)
区間 [x2 , 1) に属する送り手からメッセージを受け取った場合は
1
3
{(
)3 (
)3 }
x2 + 1
x2 + 1
1
−1 −
− x2
= − (1 − x2 )3
2
2
12
(15)
と求まる．送り手のタイプの従う共有事前分布から，送り手のタイプが区間 [0, x1 ) に属する確率
は x1 ，区間 [x1 , x2 ) に属する確率は x2 − x1 ，区間 [x2 , 1) に属する確率は 1 − x2 だから，受け手
の事前の期待利得は，
{
1
− x31 · x1
12
}
{
+
} {
}
1
1
3
3
− (x2 − x1 ) · (x2 − x1 ) + − (1 − x2 ) · (1 − x2 )
12
12
となり，これを整理して，
−
1 4
(x + (x2 − x1 )4 + (1 − x2 )4 )
12 1
(16)
を得る．ここで，2 階級均衡の場合と同様の理由から，第 1 階級の長さは
は
1
3 ，第
3 階級の長さは
1
3
+ 4b となることから，x1 =
1
3
− 4b，x2 =
2
3
1
3
− 4b，第 2 階級の長さ
− 4b と計算できる．これ
を (16) 式に代入することにより，3 階級均衡における受け手の（事前の）期待利得は，
1
−
12
(
64
1
512b + b2 +
3
27
4
3
)
(17)
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第 4 章不完備情報の動学ゲーム
と求まる．ここで，k 階級均衡における受け手の期待利得を，b についての関数 πk (b) (k = 1, 2, 3)
で表すことにする．3 階級均衡が存在するための条件 0 < b <
1
12
を考えると，(12) 式から，
17
1
< π2 (b) < −
972
96
(18)
1
17
< π3 (b) < −
972
324
(19)
−
そして，(17) 式から，
−
というように，k = 2, 3 の各場合について，πk (b) のとりうる範囲を求めることができる．ここで，
(12) 式と (17) 式より，πk は区間 b > 0 においては（b について）単調減少な関数になっているこ
とがわかるから，区間 0 < b <
1
12
となる全ての b について，3 階級均衡の場合の方が受け手の期
待利得が必ず大きくなっていることが分かる（この点については，詳しくは別途ファイルのグラフ
1
（図 4.9.1）を参照されたい）．また，1 階級均衡の時の受け手の期待利得が − 12
となることから，
均衡の階級ごとの受け手の期待利得の関係は，
π1 < π2 < π3
となっていることがわかる．次に，均衡の階級ごとの送り手の期待利得について考える．まず，2
階級均衡の場合，上で議論したような送り手の最適反応を所与とするならば，送り手の利得は，
 (
)2

 − x21 − b − t
(if 0 ≤ t < x1 )
f2 (t) =

 − ( x1 +1 − b − t)2
2
 (
)2
x1

−
b
−
t
−

2



 (
)2
2
f3 (t) =
− x1 +x
−b−t
2





)2
 ( x2 +1
− 2 −b−t
(if x1 ≤ t ≤ 1)
(if 0 ≤ t < x1 )
(if x1 ≤ t < x2 )
(if x2 ≤ t ≤ 1)
となる．ただし，πk (t) は t (0 ≤ t ≤ 1) についての関数で，k 階級均衡における送り手の利得を表
す．ここで，2 階級均衡の場合については，x1 =
f2 (t) =
1
2
− 2b より，f2 は，
 (
)2

 − 14 − 2b − t
(if 0 ≤ t <

 − ( 3 − 2b − t)2
4
(if
1
2
1
2
− 2b)
− 2b ≤ t ≤ 1)
と書き換えることができる．3 階級均衡についても同様にして，x1 =
から，
 (
)2
1

−
3b
−
t
−

6



 (
)2
f3 (t) =
− 12 − 5b − t





)2
 (5
− 6 − 3b − t
(if 0 ≤ t <
4
1
3
1
3
− 4b，x2 =
− 4b)
(if
1
3
− 4b ≤ t <
(if
2
3
− 4b ≤ t ≤ 1)
2
3
− 4b)
2
3
− 4b なのだ
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第 4 章不完備情報の動学ゲーム
と書き換えることができる．
ここで，b <
1
12
全ての b (0 < b <
であることから， 14 − 2b <
1
12 )
0 <
1
2
− 5b， 34 − 2b <
5
6
− 3b となることに注意すると，
に対して，
1
1
1
3
5
− 3b < − 2b < − 5b < − 2b < − 3b < 1
6
4
2
4
6
が成立することがわかる．このことに留意して，t（送り手のタイプ）を横軸にとり，f2 と f3 をグ
ラフに図示することによって（グラフについては別途ファイルの図 4.9.2 を参照されたい），3 階級
均衡における期待利得の方が 2 階級均衡における期待利得よりも大きくなるタイプは，
5
5
− b
24 2
3 7
5 7
− b<t< − b
8 2
8 2
19 5
− b<t≤1
24 2
0≤t<
に属するタイプ．2 階級均衡と 3 階級均衡の場合の間で無差別になるタイプは，
t =
5
5
3 7
5 7
19 5
− b ,
− b ,
− b ,
− b
24 2
8 2
8 2
24 2
の 4 つ．そして，2 階級均衡における期待利得の方が 3 階級均衡における期待利得よりも大きくな
るタイプは，
5
5
3 7
− b<t< − b
24 2
8 2
5 7
19 5
− b<t<
− b
8 2
24 2
となることがわかる．
5

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