経済学のためのゲーム理論入門 第 4 章 不完備情報の動学ゲーム 4.9 Crawford and Sobel(1982) におけるチープトーク・ゲームでは,送り手のタイプが n 個の区間 に分割され,一つの区間に属する全てのタイプが同じメッセージを送るような均衡が存在する*1 . ここで,均衡において受け手が区間 [α, β) に属する送り手からメッセージを受け取ったと仮定し て,その時の受け手の(メッセージを観察した後の)事後の期待利得を考える.a を選択した時の 受け手の期待利得は, ∫ } 1{ (a − β)3 − (a − α)3 3 β (a − t)2 dt = π=− α (1) となるので,期待利得最大化のための 1 階条件は, ∂π = (a − β)2 − (a − α)2 = 0 ∂a ⇔ (a − β)2 = (a − α)2 ⇔ 2(α − β)a = α2 − β 2 (2) ここで α ̸= β なので,(2) 式から,最適な a = a∗ は, a∗ = 1 (α + β) 2 (3) と求まる.また,(最大化のための)2 階条件は, ∂π <0 ∂a2 a=a∗ } 1{ ∗ 6(a − β) − 6(a∗ − β) < 0 ⇔ 3 ⇔α−β <0 となるが,α < β より 2 階条件は常に十分満足され,a∗ = 21 (α + β) がきちんと期待利得を最大化 していることがわかる. さて,このチープトーク・ゲームにおける部分一括均衡においては,本書 4.3.A 節で議論した通 り,各階級の長さは直前の階級よりも 4b だけ長くなる.特に 3 階級均衡においては,第 1 階級の 長さを d とすれば,第 2 階級の長さは d + 4b,第 3 階級の長さは d + 8b となる.全ての階級の長 さを合わせると 1 になるから, 3d + 12b = 1 (4) が成立し,また (4) 式を満たすような d (0 < d < 1) が存在するための条件は, b< *1 1 12 (5) なぜそのような送り手の戦略が均衡になるかについては,区間の数が n の場合においも n = 2 の時と同じようにし て証明することができる.詳しくは岡田「ゲーム理論」 (有斐閣) ,pp159-164 を参照のこと. 1 経済学のためのゲーム理論入門 第 4 章 不完備情報の動学ゲーム であり,これが 3 階級均衡が存在するための条件である. 次に,受け手の期待利得の大小について考えたい.ここではまず比較のために,1 階級均衡の場 合における受け手の期待利得について考えてみる.区間 [0, 1] に含まれる全ての送り手が同じメッ セージを送る 1 階級均衡においては,期待利得は (1) 式から, ∫ 1 1 3 )2 (a − t)2 dt = −a2 + a − 0 ( =− a− となるから,受け手の最適な戦略は a∗ = 1 2 1 2 − 1 12 (6) 1 であり,そのときの期待利得は − 12 である. 次に,2 階級均衡の場合における受け手の期待利得について考える.均衡において,タイプが区 間 [0, x1 ) に含まれる送り手からメッセージを受け取った場合の受け手の(事後の)期待利得は, (1) 式から, } 1{ (a − x1 )3 − a3 3 (7) である.そして,送り手のタイプが区間 [0, x1 ) に含まれている確率は,送り手のタイプの従う共 有事前分布が区間 [0, 1] の一様分布となっていることから,受け手には x1 と評価される. それと同様に,タイプが区間 [x1 , 1] に含まれる送り手からメッセージを受け取った場合の受け 手の(事後の)期待利得は,(1) 式から, } 1{ (a − 1)3 − (a − x1 )3 3 (8) である.そして,送り手のタイプが区間 [x1 , 1] に含まれている確率は,受け手には 1 − x1 と評価 される.ここで,タイプが区間 [0, x1 ) に含まれる送り手からメッセージを受け取った場合の受け 手の最適な反応は a = x1 2 であり,さらに,区間 [x1 , 1] に含まれるタイプの送り手からメッセー ジを受け取った場合の受け手の最適な反応は a = x1 +1 2 であることに注意すると,均衡における (メッセージを観察した後の)受け手の事後の期待利得は,送り手のタイプがタイプが区間 [0, x1 ) に含まれる場合,(7) 式から, 1 { ( x1 )3 ( x1 )3 } 1 − − = − x31 3 2 2 12 (9) 一方,送り手のタイプがタイプが区間 [x1 , 1) に含まれる場合は, 1 3 {( x1 − 1 2 )3 ( − −x1 + 1 2 )3 } =− 1 (1 − x1 )3 12 (10) となるから,(メッセージを観察する前の,ゲームを始める前の)受け手の事前の期待利得は, { } { } 1 3 1 1 3 − x1 · x1 + − (1 − x1 ) · (1 − x1 ) = − (x41 + (1 − x1 )4 ) 12 12 12 2 (11) 経済学のためのゲーム理論入門 第 4 章 不完備情報の動学ゲーム と求めることができる.ここで,2 階級均衡において,第 1 階級の長さが が 1 2 + 2b となることから,x1 = 1 2 1 2 − 2b,第 2 階級の長さ − 2b となるので,これを (11) 式に代入することにより,2 階 級均衡における受け手の期待利得は, 1 − 12 ( ) 1 4 2 32b + 12b + 8 (12) と計算できる. 次に,3 階級均衡における受け手の期待利得について考える.この均衡においては,タイプが 区間 [0, x1 ) に属する送り手は全て同じメッセージを,それとは別に区間 [x1 , x2 ) に属する送り手 は全て同じメッセ―ジを,そしてまたそれとは別に [x2 , 1) に属する送り手は全て同じメッセージ を,それぞれ送るものとする.そして,違う区間にタイプが属する送り手は,それぞれ異なるメッ セージを受け手に送る.受け手の最適反応は,タイプが区間 [0, x1 ) に属する送り手からメッセー ジを受け取った場合は a = a= x1 +x2 ,区間 2 x1 2 ,区間 [x1 , x2 ) に属する送り手からメッセージを受け取った場合は [x2 , 1) に属する送り手からメッセージを受け取った場合は a = x2 +1 2 であること を踏まえると,(メッセージを観察した後の)事後の受け手の期待利得はそれぞれ,タイプが区間 [0, x1 ) に属する送り手からメッセージを受け取った場合は,(1) 式から, { } 1 ( x1 )3 ( x1 )3 1 − − = − x31 3 2 2 12 (13) 区間 [x1 , x2 ) に属する送り手からメッセージを受け取った場合は, 1 3 {( x1 + x2 − x2 2 )3 ( − x1 + x2 − x1 2 )3 } =− 1 (x2 − x1 )3 12 (14) 区間 [x2 , 1) に属する送り手からメッセージを受け取った場合は 1 3 {( )3 ( )3 } x2 + 1 x2 + 1 1 −1 − − x2 = − (1 − x2 )3 2 2 12 (15) と求まる.送り手のタイプの従う共有事前分布から,送り手のタイプが区間 [0, x1 ) に属する確率 は x1 ,区間 [x1 , x2 ) に属する確率は x2 − x1 ,区間 [x2 , 1) に属する確率は 1 − x2 だから,受け手 の事前の期待利得は, { 1 − x31 · x1 12 } { + } { } 1 1 3 3 − (x2 − x1 ) · (x2 − x1 ) + − (1 − x2 ) · (1 − x2 ) 12 12 となり,これを整理して, − 1 4 (x + (x2 − x1 )4 + (1 − x2 )4 ) 12 1 (16) を得る.ここで,2 階級均衡の場合と同様の理由から,第 1 階級の長さは は 1 3 ,第 3 階級の長さは 1 3 + 4b となることから,x1 = 1 3 − 4b,x2 = 2 3 1 3 − 4b,第 2 階級の長さ − 4b と計算できる.これ を (16) 式に代入することにより,3 階級均衡における受け手の(事前の)期待利得は, 1 − 12 ( 64 1 512b + b2 + 3 27 4 3 ) (17) 経済学のためのゲーム理論入門 第 4 章 不完備情報の動学ゲーム と求まる.ここで,k 階級均衡における受け手の期待利得を,b についての関数 πk (b) (k = 1, 2, 3) で表すことにする.3 階級均衡が存在するための条件 0 < b < 1 12 を考えると,(12) 式から, 17 1 < π2 (b) < − 972 96 (18) 1 17 < π3 (b) < − 972 324 (19) − そして,(17) 式から, − というように,k = 2, 3 の各場合について,πk (b) のとりうる範囲を求めることができる.ここで, (12) 式と (17) 式より,πk は区間 b > 0 においては(b について)単調減少な関数になっているこ とがわかるから,区間 0 < b < 1 12 となる全ての b について,3 階級均衡の場合の方が受け手の期 待利得が必ず大きくなっていることが分かる(この点については,詳しくは別途ファイルのグラフ 1 (図 4.9.1)を参照されたい).また,1 階級均衡の時の受け手の期待利得が − 12 となることから, 均衡の階級ごとの受け手の期待利得の関係は, π1 < π2 < π3 となっていることがわかる.次に,均衡の階級ごとの送り手の期待利得について考える.まず,2 階級均衡の場合,上で議論したような送り手の最適反応を所与とするならば,送り手の利得は, ( )2 − x21 − b − t (if 0 ≤ t < x1 ) f2 (t) = − ( x1 +1 − b − t)2 2 ( )2 x1 − b − t − 2 ( )2 2 f3 (t) = − x1 +x −b−t 2 )2 ( x2 +1 − 2 −b−t (if x1 ≤ t ≤ 1) (if 0 ≤ t < x1 ) (if x1 ≤ t < x2 ) (if x2 ≤ t ≤ 1) となる.ただし,πk (t) は t (0 ≤ t ≤ 1) についての関数で,k 階級均衡における送り手の利得を表 す.ここで,2 階級均衡の場合については,x1 = f2 (t) = 1 2 − 2b より,f2 は, ( )2 − 14 − 2b − t (if 0 ≤ t < − ( 3 − 2b − t)2 4 (if 1 2 1 2 − 2b) − 2b ≤ t ≤ 1) と書き換えることができる.3 階級均衡についても同様にして,x1 = から, ( )2 1 − 3b − t − 6 ( )2 f3 (t) = − 12 − 5b − t )2 (5 − 6 − 3b − t (if 0 ≤ t < 4 1 3 1 3 − 4b,x2 = − 4b) (if 1 3 − 4b ≤ t < (if 2 3 − 4b ≤ t ≤ 1) 2 3 − 4b) 2 3 − 4b なのだ 経済学のためのゲーム理論入門 第 4 章 不完備情報の動学ゲーム と書き換えることができる. ここで,b < 1 12 全ての b (0 < b < であることから, 14 − 2b < 1 12 ) 0 < 1 2 − 5b, 34 − 2b < 5 6 − 3b となることに注意すると, に対して, 1 1 1 3 5 − 3b < − 2b < − 5b < − 2b < − 3b < 1 6 4 2 4 6 が成立することがわかる.このことに留意して,t(送り手のタイプ)を横軸にとり,f2 と f3 をグ ラフに図示することによって(グラフについては別途ファイルの図 4.9.2 を参照されたい),3 階級 均衡における期待利得の方が 2 階級均衡における期待利得よりも大きくなるタイプは, 5 5 − b 24 2 3 7 5 7 − b<t< − b 8 2 8 2 19 5 − b<t≤1 24 2 0≤t< に属するタイプ.2 階級均衡と 3 階級均衡の場合の間で無差別になるタイプは, t = 5 5 3 7 5 7 19 5 − b , − b , − b , − b 24 2 8 2 8 2 24 2 の 4 つ.そして,2 階級均衡における期待利得の方が 3 階級均衡における期待利得よりも大きくな るタイプは, 5 5 3 7 − b<t< − b 24 2 8 2 5 7 19 5 − b<t< − b 8 2 24 2 となることがわかる. 5
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