10月6日版

２０１４年１０月１１日幾何学概論２（藤岡敦担当）授業資料
1
§3. 微分方程式
微分方程式は自然現象や社会現象ばかりではなく, 曲線や曲面のような幾何学的対象を記述す
る際にも現れる. 微分方程式に現れる未知関数は多変数や行列値でもよいが, 簡単のため, 未知
関数は実数値とし, 1 変数の微分方程式, すなわち常微分方程式を考えることにする. また, 関数
は連続あるいはある程度微分可能であるとし, 定義域についてははっきり述べないことにする.
t, x1 , x2 , . . . , xn+1 の関数 F (t, x1 , x2 , . . . , xn+1 ) があたえられているとき, 未知関数 x(t) に対する
関係式
(
)
dx
dn x
F t, x, , . . . , n = 0
dt
dt
を常微分方程式または単に微分方程式という. このとき, n を階数という. また, n 回微分可能な
t の関数 x(t) が上の式をみたすとき, x(t) を解という.
微分方程式は
dx
= f (t, x)
dt
と表されるとき, 正規形であるという.
正規形の微分方程式の中でも具体的に解くことのできる, すなわち解を求めることのできる例
を幾つか挙げよう.
例 (変数分離形)
正規形の微分方程式
dx
= f (t)g(x)
dt
は変数分離形であるという. 右辺の f (t) は t のみの関数, g(x) は x のみの関数である.
g(x) ̸= 0 とすると,
1 dx
= f (t).
g(x) dt
両辺を t で積分すると,
左辺に置換積分法を用いると,
∫
1 dx
dt =
g(x) dt
∫
dx
=
g(x)
∫
f (t)dt.
∫
f (t)dt
が得られる.
g(x0 ) = 0 をみたす定数 x0 が存在するときは, 定数関数 x(t) = x0 も上の微分方程式の解となる.
例
微分方程式
dx
= tx
dt
は変数分離形である.
x ̸= 0 とすると,
∫
dx
=
x
∫
tdt.
よって,
1
log |x(t)| = t2 + C
2
(C ∈ R).
すなわち,
1 2
x(t) = ±eC e 2 t .
§3. 微分方程式
2
±eC を改めて C とおくと, C ̸= 0 で,
1 2
x(t) = Ce 2 t .
これは C = 0 のときも解である.
例 (同次形)
正規形の微分方程式
(x)
dx
=f
dt
t
は同次形であるという.
まず,
x
t
y=
とおくと,
x = ty.
よって,
f (y) =
dx
dt
=y+t
したがって,
dy
.
dt
dy
f (y) − y
=
.
dt
t
これは変数分離形である.
例
微分方程式
dx
x
= +
dt
t
√
は同次形である.
よって,
y=
x2
+1
t2
x
t
とおくと,
√
y + y2 + 1 − y
dy
=
dt
t
√
2
y +1
=
t
だから,
∫
√
すなわち,
dy
y2
+1
∫
=
dt
.
t
(
)
√
log y + y 2 + 1 = log |t| + C
だから,
y+
√
y 2 + 1 = ±eC t.
(C ∈ R)
§3. 微分方程式
3
±eC を改めて C とおくと, C ̸= 0 で,
y+
更に,
√
y 2 + 1 = Ct.
(1)
y 2 − (y 2 + 1)
√
= Ct.
y − y2 + 1
すなわち,
y−
√
y2 + 1 = −
(1), (2) より,
1
.
Ct
(2)
(
)
1
Ct −
.
Ct
1
y=
2
したがって,
1
x(t) =
2
(
)
1
2
Ct −
.
C
例 (線形)
正規形の微分方程式
dx
= f (t)x + g(t)
dt
は線形であるという.
上の微分方程式を変形すると,
e−
∫
f (t)dt dx
dt
すなわち,
∫
f (t)dt
f (t)x = e−
∫
f (t)dt
g(t).
∫
d ( − ∫ f (t)dt )
e
x = e− f (t)dt g(t).
dt
よって,
∫
x(t) = e
例
− e−
(∫
f (t)dt
e
−
∫
)
f (t)dt
(C ∈ R).
g(t)dt + C
微分方程式
dx
=x+t
dt
は線形である.
C ∈ R とすると, 解は
∫
x(t) = e
(∫
dt
−
e
∫
)
dt
tdt + C
(∫
)
t
−t
=e
e tdt + C
(
)
∫
t
−t
−t
= e −e t + e dt + C
(
)
= et −e−t t − e−t + C
= −t − 1 + Cet .
§3. 微分方程式
4
問題 3
1. 次の (1)∼(3) の微分方程式を解け.
dx
(1)
= x2 sin t.
dt
dx
x2 x
(2)
= 2 + − 1.
dt
t
t
2t
dx
(3)
=
x + 2t.
dt
1 + t2
2. α ∈ R, α ̸= 0, 1 とする. 正規形の微分方程式
dx
= f (t)x + g(t)xα
dt
を Bernoulli の微分方程式という.
(1) y = x1−α とおくことにより, 上の微分方程式を線形微分方程式に帰着させよ.
(2) Bernoulli の微分方程式
dx
1
et
= x+ 2
dt
3
3x
を解け.
3. 正規形の微分方程式
dx
= f (t)x2 + g(t)x + h(t)
dt
を Riccati の微分方程式という. x0 を上の微分方程式の 1 つの解とする. y = x − x0 とおく
ことにより, 上の微分方程式を Bernoulli の微分方程式に帰着させよ.
4. 2 階の微分方程式
は線形であるという. y =
着させよ.
d2 x
dx
+ f (t) + g(t)x = 0
2
dt
dt
x′
とおくことにより, 上の微分方程式を Riccati の微分方程式に帰
x
§3. 微分方程式
5
問題 3 の解答
1. (1) x ̸= 0 とすると,
∫
∫
dx
=
x2
sin tdt.
よって,
−
1
= − cos t + C
x(t)
(C ∈ R).
すなわち,
x(t) =
1
cos t − C
また, x(t) = 0 も解.
(2) まず,
y=
x
t
とおくと,
dy
y2 + y − 1 − y
=
dt
t
y2 − 1
=
t
y2 =
̸ 1, すなわち x ̸= ±t とすると,
∫
∫
dy
dt
=
2
y −1
t
だから,
1
2
∫ (
すなわち,
1
1
−
y−1 y+1
)
dy = log |t| + C
(C ∈ R).
y − 1
1
= log |t| + C
log 2
y + 1
だから,
y−1
= ±e2C t2 .
y+1
±e2C を改めて C とおくと, C =
̸ 0 で,
y=
1 + Ct2
.
1 − Ct2
よって,
x(t) = t
また, x(t) = ±t も解.
(3) C ∈ R とすると,
∫
x(t) = e
2t
dt
1+t2
(∫
1 + Ct2
.
1 − Ct2
−
e
(∫
=e
log(1+t2 )
∫
2t
dt
1+t2
)
2tdt + C
)
e
− log(1+t2 )
2tdt + C
(∫
)
2t
2
= (1 + t )
dt + C
1 + t2
{
}
= (1 + t2 ) log(1 + t2 ) + C .
§3. 微分方程式
6
2. (1) y = x1−α とおくと,
dy
dx
= (1 − α)x−α
dt
dt
−α
= (1 − α)x (f (t)x + g(t)xα )
= (1 − α)f (t)x1−α + (1 − α)g(t).
よって,
dy
= (1 − α)f (t)y + (1 − α)g(t).
dt
これは y に関する線形微分方程式.
(2) y = x3 とおくと,
dy
= y + et .
dt
よって, C ∈ R とすると,
(∫
)
∫
∫
dt
− dt t
y=e
e
e dt + C
)
(∫
t
−t t
=e
e e dt + C
= et (t + C).
したがって,
{
}1
x(t) = et (t + C) 3 .
3. x = y + x0 を代入すると,
dy dx0
+
= f (t)(y + x0 )2 + g(t)(y + x0 ) + h(t).
dt
dt
よって,
(
)
dy
dx0
2
2
= f (t)y + (2f (t)x0 + g(t))y + f (t)x0 + g(t)x0 + h(t) −
.
dt
dt
x0 は解だから,
dy
= (2f (t)x0 + g(t))y + f (t)y 2 .
dt
これは y に関する Bernoulli の微分方程式.
4. y を微分すると,
dy
x′′ x − (x′ )2
=
dt
x2
1
= (−f (t)x′ − g(t)x) − y 2
x
= −f (t)y − g(t) − y 2 .
よって,
dy
= −y 2 − f (t)y − g(t).
dt
これは y に関する Riccatti の微分方程式.

Download Report