解答例

物理科学１レポート課題（第３回）
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解答例
【問 1】運動方程式 m
dv = F の両辺に v = dx を乗じて，t = t から t = t まで t で積分すると，
1
2
dt
dt
∫ t2
∫ t2
dv
dt =
F dx dt.
m
v(t)
dt
dt
t1
t1
左辺は，v = v(t) で置換積分すると，積分範囲は v1 = v(t1 ) から v2 = v(t2 ) になり，dv =
∫
t2
m
t1
v(t) dv dt = m
dt
∫
[
v2
mv 2
2
vdv =
v1
]v2
=
v1
dv dt だから，
dt
mv22
mv12
−
2
2
すなわち，運動エネルギーの変化量となる．一方右辺は，x = x(t) で置換積分すると，積分範囲は x1 = x(t1 ) から x2 = x(t2 )
になり，dx =
dx dt だから，
dt
∫
t2
t1
F dx dt =
dt
∫
x2
F dx
x1
すなわち，力 F による仕事となる．
−
→
【問 2】一般に，ポテンシャルエネルギー U (x, y, z) に対する保存力 F との間には
→
−
F =−
(
∂U ˆi + ∂U ˆj + ∂U kˆ
∂x
∂y
∂z
)
−
→
の関係が成り立つ．これを用いて，U から F を求めればよい．
−
→
(1) F = −kxˆi.
(
)
∂U = kx, ∂U = ∂U = 0 より．
∂x
∂y
∂z
−
→
(2) F = −gˆj
−
→
ˆ
ˆ
ˆ
(3) F = − √ GM
3 (xi + y j + z k)
x2 + y 2 + z 2
→
−
−
→
【問 3】質点 m1 , m2 のそれぞれに，力 F 1 , F 2 が作用していれば，運動方程式は
−
−
→
d→
v1
= F1
dt
−
−
→
d→
v2
m2
= F2
dt
→
−
−
→
−
→
−
→
となる．これらを辺々加えて， p 1 = m1 v 1 , p 2 = m2 v 2 を用いて変形すれば
m1
−
→ −
→
d (−
→
→
p1+−
p 2 ) = F1 + F2
dt
−
→
−
→
を得る．衝突の間は，内力のみが作用していると考えられるので，作用反作用の法則より F 1 = − F2 が成り立っており，上
−
→
記右辺は 0 であるから，この間，全運動量 →
p1+−
p 2 は時間変化しないことがわかる．（注：もし，外力が存在した場合でも，
−
→
−
→
衝突の時間 ∆t がとても微小， F 1 + F 2 がほぼ一定であれば，上式を衝突時間で積分して，
−
→
→
−
−
→
∆(→
p1+−
p 2 ) = ( F 1 + F 2 )∆t
→
−
→
−
を得る．もし力積 ( F 1 + F 2 )∆t が無視できるほど小さければ，運動量変化もゼロであると（近似的に）いえる．）
まとめ
衝突に際して，全運動量が保存するためには，衝突している互いの物体に内力のみ（作用反作用の関係の力）が作用して
いるときのみである．衝突の際に，外力が作用している場合は，外力による運動量変化が生じる．（ただし，衝突に要す
る時間が非常に微小であって，その間に外力の与える力積を無視できるほど小さいのであれば，衝突の前後で近似的に全
運動量が保存するとしてよい．）
【問 4】(1) 張力は運動方向と直交するので，仕事をしない．
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(2) （張力は仕事をしないので）「運動エネルギーの変化量=重力による仕事」が成り立つ:
これより，V =
√
2gℓ(1 − cos ϕ)
mV 2 − 0 = mgℓ(1 − cos ϕ)
2
(3) 最下点において，運動方程式の鉛直成分を考えると
2
m V = T − mg
ℓ
V 2 = mg(3 − 2 cos ϕ)
ℓ
(4) C 点における速さを V とすれば，C 点における速度成分は (V cos θ, V sin θ) となり，ひもが切れたあとは，鉛直方向の
これに (2) の結果を代入して，T = mg + m
みに重力が作用するだけなので，速度の水平成分 V cos θ は一定である．よって頂点における運動エネルギーは（速度
の鉛直成分は 0 なので）
m (V cos θ)2 = m V 2 cos2 θ．よって，頂点における運動エネルギーは，C 点におけるそれの
2
2
cos2 θ 倍．
m V 2 = mgℓ(cos θ − cos ϕ) が成り立つ．
2
C 点と頂点との間で，力学的エネルギー保存の法則を用いると，(水平方向の速度は一定 V cos θ になることに注意して）
次に，運動エネルギー＝仕事の原理により，
m V 2 = m (V cos θ)2 + mgh
2
2
が成り立つ．よって
h = ℓ(cos θ − cos ϕ) sin2 θ.
【問 5】(1) 一体化の際に，箱と物体の間に働く力は，作用・反作用の力のみであり，外力は存在しないと考えられるから，運
動量保存則が成り立つ．
(2) 運動量が保存するので，mv = (m + 2m)V がなりたつ．よって V = v .
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(3) 一般に，箱と物体の間に働く力（本問題では，粘着力）が仕事をするので，それに等しい大きさの運動エネルギーが変化
し得る．この状況下では，衝突の前後で位置エネルギーは変化しないが，運動エネルギーの差は
3m
2
(
v
3
)2
− m v2 = − m v2
2
3
であり．全体の運動エネルギーは（そして力学的エネルギーも）減少している．（この失われたエネルギーは，粘着剤が
変形するための仕事や，散逸する熱エネルギーとして使われることになるだろう）
(4) 一体化後に作用する力は，重力と張力であるが，張力は物体の進行方向と直交するので仕事をしない．よってこの物体に
働く力は保存力（重力）のみであるから，力学的エネルギー保存則が成り立つ．
(5) 力学的エネルギー保存則より， m + 2m V 2 = (m + 2m)gH. よって
2
2
H = 1 V2 = v
2g
18g
(6) 摩擦が働いていないので，斜面の上端と下端の間で，力学的エネルギー保存の法則が成り立つ． m v 2 = mgh より
2
v 2 = 2gh. これを (5) の結果に代入して，
H= h.
9
注意
よくある誤答に，
「力学的エネルギー保存則より，斜面の頂点での力学的エネルギーと，箱に入ってから，高さ H に
至ったときの力学的エネルギーが等しいので，mgh = (m + 2m)gH, H =
H 」というものが多くありましたが，一
3
体化（衝突）の際に，力学的エネルギーは減少しており，この段階で力学的エネルギーの保存則は成り立たなくなっ
ていることに注意すること．
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(7) 斜面の上端から下端まで滑り落ちたときに，摩擦力のした仕事は −µ′ mg cos θ ×
て，仕事-運動エネルギーの定理を用いると，
m v 2 = mgh(1 − µ′ cos θ )
2
sin θ
が成り立つから，これを (5) の結果に代入して
1 − µ′ cos θ
sin θ h
H=
9
h なので，重力のした仕事と合わせ
sin θ

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