復習用課題サンプル - Class On Cloud

第五回復習問題
第1問
A = (a1 , a2 , a3 ), B = (b1 , b2 , b3 ) であるとき、
A × B = (a2 b3 − a3 b2 , a3 b1 − a1 b3 , a1 b2 − a2 b1 )
である事を示せ。
用いる公式：
A,B,C はベクトル、r は実数であるとすると、
r(A × B) = rA × B
= A × rB
A × B = −B × A
A × (B + C) = A × B + A × C
A×A=0
また、x, y, z 正方向の単位ベクトルを i, j, k とおくと、
i×j =k
j×k =i
k×i=j
第2問
デカルト座標と極座標の間の座標変換は、
x = r cos θ
y = r sin θ
となる。これらを r, θ で微分し、大きさが 1 になるように規格化することで、位置ベクトル r での r 方向, θ
方向の単位ベクトルがそれぞれ
er = (cos θ, sin θ)
eθ = (− sin θ, cos θ)
1
となることがわかる。er の時間微分は、
d
d
cos θ, sin θ)
dt
dt
= (−θ˙ sin θ, θ˙ cos θ)
er = (
˙ θ
= θe
(1)
eθ の時間微分は、
d
d
sin θ, cos θ)
dt
dt
= (−θ˙ cos θ, −θ˙ sin θ)
˙ r
= −θe
(2)
d
(rer )
dt
= re
˙ r + re˙r
˙ θ
= re
˙ r + rθe
(3)
eθ = (−
r = rer であることより、
v = r˙ =
よって式 (3) より、
2
|v| = r˙ 2 + r2 θ˙2
(4)
L = m|r × v| = mr2 θ˙
(5)
問1
極座標を用いると、角運動量は
と書き表す事が出来ることを示せ。
(ヒント : 座標の基底としては互いに直交する大きさ 1 の er と eθ を用いると考えやすい)
上記で求めた角運動量は、中心力中では保存するので定数とみなせる。座標の原点にある質量 M の恒星の
周りを質量 m の惑星が公転している状況を考える。惑星の力学的エネルギーは
E=
1
GM m
m|v|2 −
2
r
であり。これは保存する。
問2
式 (6) の右辺を r,r˙ とその他の定数のみを用いて書き直せ。
(ヒント：式 (4), 式 (5) を用いる。)
2
(6)
h=
1
r
とおくと、θ での微分は
dh
dt dr dh
r˙
mr˙
=
=−
=−
2
˙
dθ
dθ dt dr
L
r θ
(7)
と書ける。
問3
式 (7) を問 2 の式に代入して r˙ を消去すると
(
(lh − 1)2 +
d(lh)
dθ
)2
= ε2
(8)
の形に書ける。l と ε の具体的な表式を定数を用いて書き表せ。
式 (8) の解は
h=
1 + ε cos (θ + φ)
l
(9)
r=
l
1 + ε cos (θ + φ)
(10)
である (代入して確かめよ)。これより、
が得られる。この式が惑星の軌道の式である。
問4
φ = 0,ε < 1 であるとする。式 (10) を書き直すと
y2
(x + p)2
+
a2
b2
(11)
の形になる事を示せ。
(ヒント : r =
√
x2 + y 2 ,cos θ =
x
r
を用いる)
a が楕円の長半径、b が楕円の短半径である。
問5
面積速度一定の法則を用いて公転周期 T を求め、T 2 ∝ a3 を確かめよ。ただし面積速度は 12 r 2 θ˙ =
される量である。
3
L
2m
で表

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