遠心力とコリオリ力の導出
平成 26 年 7 月 22 日
質点が角速度ωで回転する物体の上で運動している状況を考えよう（図１）。この質点
の位置を、地上に固定した座標系（地上座標系）と、回転体に固定した座標系（回転
座標系）の二通りの座標系で表そう。地上座標系で表した質点の位置を r で表し、回
転座標系で表した質点の位置を r ’と表すことにする。
r’
r
0
図１：地上座標系と回転座標系で見た質点の位置。
この質点を地上から見た時の速度は、
「回転座標系で観測した速度」に、
「回転座標系が
回転することによる回転速度」を加えたものになることは、直感的にも明らかだろう。
このことを式で表せば、次の式のようになる。
dr dr'
=
+ω × r
dt
dt
€
(1)
ここで左辺は地上系における時間微分であり、右辺第一項は回転座標系における時間微
分であることに注意してほしい。このことをきちんと区別するために、次のような微分
演算子を定義しよう。
dr " dr %
=$ '
dt # dt & f
€
(2)
dr' " dr %
=$ '
dt # dt & r
€
(3)
式（３）の右辺の操作は、「地上座標系での位置 r を回転座標系での位置 r’に直してか
ら時間微分する」という意味である。これらの演算子を用いて、式（１）を、
" dr % " dr %
$ ' = $ ' + ω × r (4)
# dt & f # dt & r
と書き直す。式（４）は、地上座標系で見た位置 r に、演算子
€
"d% "d%
$ ' = $ ' + ω × (5)
# dt & f # dt & r
を作用させたものと見なすこともできる。
€
さて、式（４）は地上座標系で観測した速度であるから、同じく地上座標系で観測した
"d%
' を両辺に作用させてみよう。すると、
# dt & f
加速度を求めるために、 $
" d 2r % " d % *" dr %
$ 2 ' =$ ' €
,$ ' + ω × r /
# dt & f # dt & f +# dt & r
.
(6)
となる。式（６）の右辺は、
€
" d % *" dr %
$ ' ,$ ' + ω × r /
# dt & f +# dt & r
.
*" dr %
" d % *" dr %
= $ ' ,$ ' + ω × r / + ω × ,$ ' + ω × r /
# dt & r +# dt & r
.
+# dt & r
.
" d 2r % 0" dω %
" dr % 3
" dr %
= $ 2 ' + 1$
' × r + ω × $ ' 4 + ω × $ ' + ω × (ω × r)
# dt & r 5
# dt & r
# dt & r 2# dt & r
" d 2r % " dω %
" dr %
= $ 2 ' +$
' × r + 2ω × $ ' + ω × (ω × r)
# dt & r
# dt & r # dt & r
€
(7)
となる。ここで、ベクトル積の微分の公式、
d
dA
dB
(8)
×B+A ×
(A × B) =
dt
dt
dt
€
を用いた注１。式（７）の結果を式（６）に代入し、両辺に質量 m をかけて式を整理す
ると、
" d 2r %
" d 2r %
" dω %
" dr %
m$ 2 ' = m$ 2 ' − m$
' × r − 2mω × $ ' − mω × (ω × r)
# dt & r
# dt & r
# dt & r
# dt & f
(9)
となる。式（９）の左辺は、回転座標系（つまり非慣性系）で物体を観測した時に、質
€
点に働いていると見なされる力を意味する。その内訳は右辺の４つの項であり、右辺第
一項は地上座標系で物体に働いている外力、残りは全て見かけの力である。ここで、右
辺第二項は、もし回転座標系（回転体）の回転角速度が一定であれば０になることに注
意しよう。右辺第三項と第四項がそれぞれコリオリ力、遠心力に相当する。
（注１）証明は簡単なので省略。ベクトル A、B を成分で表示し、両辺をそれぞれ計
算してみるとよい。