ポイント

ポインティングの定理
科
v1.4 May.2014
1. ポインティングの定理
年
番氏名:
り，流入電力=蓄積電力＋損失というエネルギー保存則が成り立って
電磁波による伝送電力についてまとめる。次のベクトル公式
いることが分かる。
⃗ × H)
⃗ =H
⃗ • (∇ × E)
⃗ −E
⃗ • (∇ × H)
⃗
∇ • (E
(1)
において，右辺の () 内は次式に示すファラデーの法則とアンペア-マ
nˆ
クスウェルの法則より
⃗
⃗
⃗ = − ∂B ,
⃗ = J⃗ + ∂ D
∇×E
∇×H
(2)
∂t
∂t
であるから，式 (1) 右辺第
1
項は
(
)
⃗
∂B
⃗
⃗
⃗
H • (∇ × E) = H • −
(3)
∂t
式 (1) 右辺第 2 項は (
)
⃗
∂D
⃗
⃗
⃗
⃗
E • (∇ × H) = E • J +
(4)
∂t
となる。式
(3)
(1) の右辺は
(
) と式 (4)
( の差をとることにより式
)
⃗
⃗
∂
B
∂
D
⃗ • −
⃗ • J⃗ +
H
−E
(5)
∂t
∂t
に変形できる。式 (5) を展開すると
⃗
⃗
⃗ • ∂H − E
⃗ • J⃗ − ε0 E
⃗ • ∂E
−µ0 H
(6)
∂t
∂t
⃗ とその時間微分 ∂ A/∂t
⃗
となるが，式 (6) は任意ベクトル A
との内積
We
r r
E • J = σ E2
S
r r r
S = E×H
図1
(7)
⃗ =E
⃗ ×H
⃗ は，体積 V 内の電気エネル
する) に流入する電力 S
ギー We と磁気エネルギー Wm の時間変化の増分とジュール損
1
∂
1 ∂
⃗ • J⃗
− µ 0 H 2 − ε0 E 2 − E
2 ∂t
2 ∂t
(8)
を使うと
3. 付録：式 (7) の導出
以下は式 (7) の導出である。不要なら読み飛ばしてもよい。
⃗
∂
⃗ • ∂ A = (Ax x
A
ˆ + Ay yˆ + Az zˆ) • (Ax x
ˆ + Ay yˆ + Az zˆ)
∂t
∂t
∂
∂
∂
= Ax Ax + Ay Ay + Az Az
∂t
∂t
∂t
のように変形できる。以上まとめると式 (1) のベクトル公式は
(
)
1
1
⃗ • J⃗
ε0 E 2 + µ0 H 2 − E
2
2
(9)
のように変形できる。これをポインティングの定理*2 と呼ぶ。
ここで
2. ポインティングの定理の物理的意味
ここで式 (9) をさらに変形してその物理的な意味を考察する。
(
)
⃗ × H)
⃗ = ∂ 1 ε0 E 2 + 1 µ0 H 2 + E
⃗ • J⃗
−∇ • (E
(10)
∂t 2
2
ここで図
1
のような任意の領域
V
で式
(10)
を両辺積分すると
∫
⃗ × H)
⃗ dv
∇ • (E
v
∂
=
∂t
∫ (
V
)
1
1
ε0 E 2 + µ0 H 2 dv +
2
2
⃗ × H)
⃗ dv =
∇ • (E
を使うと
I
−
∂
=
∂t
∫ (
であるから
∂Ax
1 ∂A2x
=
∂t
2 ∂t
となる。Ay , Az についても同様の関係が得られるので
2
2
2
⃗
⃗ • ∂ A = 1 ∂Ax + 1 ∂Ay + 1 ∂Az
A
∂t
2 ∂t
2 ∂t
2 ∂t
Ax
⃗ • J⃗ dv
E
(11)
より
V
⃗ × H)
⃗ • d⃗s
(E
⃗
⃗ • ∂ A = 1 ∂ (A2x + A2y + A2z )
A
∂t
2 ∂t
1 ∂
=
(Ax x
ˆ + Ay yˆ + Az zˆ) • (Ax x
ˆ + Ay yˆ + Az zˆ)
2 ∂t
1 ∂ ⃗2
1 ∂ 2
=
|A| =
A
2 ∂t
2 ∂t
が得られる。(導出終わり)
4. 付録：式 (14) の単位系について
⃗=E
⃗ ×H
⃗ の単位は E [V/m], H [A/m] より
S
2
→[VA/m ]
→[W/m2 ]
(12)
S
⃗ × H)
⃗ • d⃗s
(E
S
∂A2x
∂A2x ∂Ax
∂Ax
=
= 2Ax
∂t
∂Ax ∂t
∂t
∫
ここで左辺にガウスの発散定理
∫
I
V
体積 V の閉面 S(面に垂直な外向きの単位ベクトルを n
ˆと
⃗ • J⃗ = σE 2 の和に等しい。
失E
⃗
⃗ • ∂ A = 1 ∂ A2
A
∂t
2 ∂t
−
nˆ
nˆ
の関係式*1
⃗ × H)
⃗ =−∂
∇ • (E
∂t
V
Wm
)
∫
1
1
⃗ • J⃗ dv
ε0 E 2 + µ0 H 2 dv +
E
(13)
2
2
V
V
⃗=E
⃗ ×H
⃗ とおき，式 (13) 右辺第 1
さらに，式 (13) 左辺の () 内を S
2
項目の () 内を We = ε0 E /2, Wm = µ0 H 2 /2 とおいて，第 2 項に
3
⃗ の関係を使えば
J⃗ = σ E
I
∫ *
∫
∂
⃗
S • (−ˆ
n)ds =
(We + Wm ) dv +
σE 2 dv
(14)
∂t V
S
V
と書くこともできる。左辺第 1 項は体積 V を囲む閉面 S に流入する
ルと呼ぶ。一方，右辺第 1 項は電気エネルギー We と磁気エネルギー
We = ε0 E 2 /2 の単位は ε0 [F/m], E 2 [V2 /m2 ] より
→[C/V·m][V2 /m2 ]
→[CV/m3 ]
→[A·s·V/m3 ]
→[W·s/m3 ]
Wm の時間変化の増分を示し，右辺第 2 項はジュール損失を示す。即
⃗=E
⃗ ×H
⃗ は，
ち式 (14) は「体積 V を有する閉面 S に流入する電力 S
体積 V 内の電気エネルギー We と磁気エネルギー Wm の時間変化の
⃗ • J⃗ = σE 2 の和に等しい」ことを意味してお
増分とジュール損失 E
Wm = µ0 H 2 /2 の単位は µ0 [H/m], H 2 [A2 /m2 ] より
→[V][A/s]−1 [A2 /m2 ] *5
→[V·s·A/m3 ]
→[W·s/m3 ]
電力*4 を示しこれをポインティング電力またはポインティングベクト
⃗ • J⃗ = σE 2 の単位は E [V/m], J [A/m2 ] より
E
→[VA/m3 ]
→[W/m3 ]
*1
この関係式の導出は付録：で。
*2 バーミンガム大教授 Poynting, John Henry (1852-1914) が 1884 年に発
表した定理。マクスウェルの方程式の発表 (1864) から 20 年後のこと。
*3
*4
⃗ • J⃗ = E
⃗ • σE
⃗ = σ|E|
⃗ 2 = σE 2
E
n
ˆ は閉面 S に対して外向きに垂直な単位ベクトルとして定義しているため，
−ˆ
n は流入を意味する。
*5
1
V = Ldi/dt より L の次元は [V][A/s]−1

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