複素積分

３章線積分とグリーンの定理
1
R2 上の線積分
まず，曲線の定義から始める．
定義 1 x(t), y(t) を区間 [a, b] 上の C 1 級関数とするとき，R2 の部分集合
C = {(x(t), y(t)) ; a 5 t 5 b}
を平面 R2 上の C 1 級曲線という．
定義 2 曲線 C = {(x(t), y(t)) ; a 5 t 5 b} が，(x(a), y(a)) = (x(b), y(b)) を満たすとき，つまり
C の始点と終点が一致するとき，C は閉曲線であるという．
さらに，閉曲線 C が C 自身と接したり交差したりしないとき，C は単純閉曲線であるという．
例 1.1 r > 0 とするとき，次の曲線を考える：
C0 = {(r cos t, r sin t) ; 0 5 t 5 2π}
(半径 r の円周)
C1 = {(r cos t, r sin t) ; 0 5 t 5 π}
(半径 r の半円周)
C2 = {(x, 0) ; −r 5 x 5 r}
((−r, 0) と (r, 0) を結ぶ線分).
定義 3 C 1 級曲線を有限個つないでできる曲線を，区分的に C 2 級であるという．
例 1.2 上の例 1.1 と同じ記号を使うと，C1 ∪ C2 は区分的に C 1 級の閉曲線である．
定義 4 u(x, y) を R2 上の関数とし，C 1 級曲線 C = {(x(t), y(t)) ; a 5 t 5 b} を考えるとき，
∫
b
∫
′
u(x(t), y(t))x (t)dt
を
a
∫
b
u(x(t), y(t))y ′ (t)dt
a
udx,
∫
C
を
udy
C
とそれぞれ書いて，u の C に沿う線積分という．
C が区分的に C 1 級のときは，例えば C = C1 ∪ C2 であれば
∫
∫
∫
udx =
udx +
udx
C
C1
C2
と定義する．
注意 1.1 曲線 C が関数 y = ϕ(x) (a 5 x 5 b) のグラフのときは，
C = {(x, y); y = ϕ(x), a 5 x 5 b}
1
であり，上の定義に合わせるなら C = {(t, ϕ(t)) ; a 5 t 5 b} となり，線積分は
∫ b
∫ b
∫
udx =
u(t, ϕ(t))(t)′ dt =
u(t, ϕ(t))dt,
C
∫
∫
a
b
udy =
C
a
u(t, ϕ(t))ϕ′ (t)dt
a
となる．これは t = x として
∫
∫ b
udx =
u(x, ϕ(x))dx,
C
∫
∫
b
udy =
a
C
u(x, ϕ(x))ϕ′ (x)dx
a
と書ける．ただし，同じ dx, dy に関する積分と書いているが，左辺は線積分，右辺は通常のリー
マン積分である．
例 1.3 C = {(x, 0) ; −r 5 x 5 r} = {(t, 0) ; −r 5 t 5 r} とすると，
∫
∫ r
∫ r
u(x, y)dx =
u(t, 0)dt =
u(x, 0)dx.
−r
C
−r
例 1.4 C = {(r cos θ, r sin θ) ; 0 5 θ 5 2π} とすると，
∫
∫ 2π
∫ 2π
(r cos θ)2 (r cos θ)′ dθ = −r3
cos2 θ sin θdθ,
x2 dx =
C
∫
∫
0
2π
∫
0
2π
(r sin θ)(r cos θ)′ dθ = −r2
sin2 θdθ,
0
0
C
∫
∫ 2π
∫ 2π
′
u(x, y)dy =
u(r cos θ, r sin θ)(r sin θ) dθ = r
u(r cos θ, r sin θ) cos θdθ.
ydx =
C
0
0
例 1.5 C = {(r cos θ, r sin θ) ; 0 5 θ 5 π} とすると，
∫
∫ π
∫ π
2
2
′
3
x dx =
(r cos θ) (r cos θ) dθ = −r
cos2 θ sin θdθ,
C
0
0
∫
∫ π
∫ π
′
2
ydx =
(r sin θ)(r cos θ) dθ = −r
sin2 θdθ,
0
0
∫ π
∫C
∫ π
u(r cos θ, r sin θ) cos θdθ.
u(r cos θ, r sin θ)(r sin θ)′ dθ = r
u(x, y)dy =
C
0
0
定義 5 曲線 C = {(x(t), y(t)) ; a 5 t 5 b} の向きを逆にした，(x(b), y(b)) から (x(a), y(a)) へ向
かう曲線を −C と書く．
−C の意味は簡単だが，数式で書くと少々面倒臭い：
−C = {(x(−t), y(−t)) ; −b 5 t 5 −a}
= {(x(a + b − t), y(a + b − t)) ; a 5 t 5 b}.
(一度，図の中で確認すること)
次が，重要である．
命題 1.1 C を C 1 曲線とするとき，
∫
∫
∫
∫
udx = −
udx,
udy = −
udy.
−C
C
−C
C
つまり，C の向きを変えた −C 上の線積分は，C 上の線積分の符号を変えたものに等しい．
2
証明．上の −C の表示を用いると，
∫ b
∫
udx =
u(x(a + b − t), y(a + b − t))(x(a + b − t))′ dt
−C
a
∫
=−
b
u(x(a + b − t), y(a + b − t))x′ (a + b − t)dt
a
となる．a + b − t = s と変数変換すると，
∫
∫ b
∫
udx = −
u(x(s), y(s))x′ (s)ds = − udx
−C
a
c
となる．
∫
C udy についても同様である．
線積分と重積分の関係を与えるのが，次のグリーンの定理である．
定理 1.2 C を区分的に C 1 級の単純閉曲線とし，D をその内部とする．このとき，D ∪ C 上の関
数 P (x, y), Q(x, y) に対して
∫
∫∫
∫
∫∫
∂P
∂Q
P dx = −
(x, y)dxdy,
(x, y)dxdy
Qdy =
∂y
C
D
C
D ∂x
が成り立つ．
このノートでは，D が長方形 [a, b] × [c, d] のときに示す：
証明．
D = {(x, y) ; a 5 x 5 b, c 5 y 5 d}.
4 つの線分，
C1 = {(t, c) ; a 5 t 5 b},
C2 = {(b, t) ; c 5 t 5 d},
C3 = {(t, d) ; a 5 t 5 b},
C4 = {(a, t) ; c 5 t 5 d}
を考えると，C = C1 ∪ C2 ∪ (−C3 ) ∪ (−C4 ) である．
C2 , C4 上では x(t) は定数で x′ (t) = 0 であるから，命題 1.1 より，
∫
∫
∫
∫
∫
P dx =
P dx +
P dx +
P dx +
P dx
C
C1
C2
−C3
−C4
∫
∫
=
P dx −
P dx
C1
C3
∫
となる．したがって， C P dx は次のようになる：
∫
∫
P dx =
C
a
b
P (t, c)(t)′ dt −
∫
b
P (t, d)(t)′ dt =
a
∫
a
b
∫
P (x, c)dx −
b
P (x, d)dx.
a
一方，右辺については，逐次積分より
∫ b {∫ d
∫ b
∫∫
}
∂P
∂P
(x, y)dxdy =
(x, y)dy dx =
(P (x, d) − P (x, c))dx
a
c ∂y
a
D ∂y
となるから，第一の等式が得られた．
3
第二の等式についても同様である．C1 , C3 上では y 座標は一定だから，
∫
∫
∫
∫
Qdy −
Qdy =
C
Qdy =
C2
C4
d
∫
Q(b, y)dy −
c
d
Q(a, y)dy
c
となる．一方，右辺については，x に関する積分を先に行うと，
∫∫
D
∫ d {∫
∂Q
(x, y)dxdt =
∂x
c
∫ d
}
∂Q
(x, y)dx dy =
(Q(b, y) − Q(a, y))dy
∂x
c
b
a
となるから，第二の等式を得る．
一般の領域に関しては，図形の近似を行う必要がある．詳細は講義中に話す．
2
複素平面上の線積分
R2 上の曲線 C = {(x(t), y(t)) ; a 5 t 5 b} を,
z(t) = x(t) + y(t)i
とおいて C 内の曲線とみなす．
例 2.1 r > 0 に対して，
C = {r(cos t + i sin t) = reti ; 0 5 t 5 2π}
は原点中心，半径 r の円周を表す．
定義 6 D を複素平面内の領域，C を D に含まれる区分的に C 1 級の曲線とするとき，D 上の関
数 f (z) = u(x, y) + v(x, y)i に対して
∫
b
f (z(t))z ′ (t)dt =
a
∫
b
(u(x(t), y(t)) + v(x(t), y(t))i)(x′ (t) + y ′ (t)i)dt
a
∫
を C に沿う f の複素線積分と呼び
f dz と書く．
C
複素数値関数の積分であることに注意してほしい．実際に計算する場合は，右辺を実部と虚部
に分けて計算する．
展開をすると，
∫
∫
b
(u(x(t), y(t))x′ (t) − v(x(t), y(t))y ′ (t))dt
∫ b
+i
(u(x(t), y(t))y ′ (t) + v(x(t), y(t))x′ (t))dt
a
∫
∫
(∫
)
(∫
)
=
udx −
vdy + i
vdy +
udx
f dz =
C
a
C
C
C
C
と，実数値関数の線積分を用いて書くことができる．
次の命題も，実部と虚部に分ければ確認することができる．
4
命題 2.1 複素関数 f ，区分的に C 1 級の曲線 C ，γ ∈ C に対して，
∫
∫
γf dz = γ
f dz
C
C
が成り立つ．
次が，今後の講義の中で非常に重要である．
例 2.2 C を原点中心，半径 r > 0 の円周とする．このとき，n を整数とすると，
∫
∫ 2π
∫ 2π
n
ti n ti
z dz =
(e ) ie dt =
ie(n+1)ti dt
C
0
∫
0
2π
=
i(cos(n + 1)t + i sin(n + 1)t)dt
∫ 2π
∫ 2π
=−
sin(n + 1)tdt + i
cos(n + 1)tdt
0
0
0
となる．
したがって，n ̸= −1 であれば，積分はともに 0 だから，
∫
z n dz = 0 (n ̸= −1)
C
であり，n = −1 の場合は第２項の積分が 2π となるので，
∫
z −1 dz = 2πi
C
となる．
被積分関数 f の原始関数が存在する場合は，複素線積分は容易に計算できる．
定理 2.2 複素関数 f に対して F ′ (z) = f (z) をみたす関数 F が存在する場合は，C 1 級曲線 C =
{z(t) ; a 5 t 5 b} に対して α = z(a), β = z(b) とおくと，
∫
f (z)dz = F (β) − F (α).
C
証明．
合成関数の微分により
d
F (z(t)) = F ′ (z(t))z ′ (t)
dt
が成り立つ．したがって，
∫
∫
f (z)dz =
C
となる．
b
′
∫
f (z(t))z (t)dt =
a
a
b
d
F (z(t)) = F (z(b)) − F (z(a))
dt
前節に述べた平面上の線積分と同様に，逆向きにした曲線上の線積分は，もとの線積分から符
号が変わる．
5
命題 2.3 区分的に C 1 級の曲線 C = {z(t) ; a 5 t 5 b} の向きを変えた曲線を −C を考えて次の
表示をする：
−C = {z(a + b − t) ; a 5 t 5 b}.
このとき，−C に沿う関数 f の複素線積分に対して次が成り立つ：
∫
∫
f (z)dz = −
f dz.
−C
C
−C 上の複素線積分は，
∫
∫ b
∫ b
d
f (z)dz =
f (z(a + b − t)) z(a + b − t)dt = −
f (z(a + b − t))z ′ (a + b − t)dt
dt
−C
a
a
証明．
である．よって，s = a + b − t とおくと，
∫
∫
−C
b
f (z)dz = −
f (s)z ′ (s)ds
a
となり，結論を得る．
∫
例 2.3 (1) C0 を 0 と 2 + i を結ぶ線分とするとき，
∫
1
2
z dz =
C0
∫
∫
(2 + i)3 t2 dt =
Re(z)dz =
C0
0
1
C0
1
((2 + i)t) ((2 + i)t) dt =
0
∫
′
2
Re(z)dz を計算する．
z dz,
C0
C0 = {(2 + i)t ; 0 5 t 5 1} とすると，
∫
∫
2
′
∫
2t · ((2 + i)t) dt = 2(2 + i)
0
2 + 11i
(2 + i)3
=
,
3
3
1
tdt = 2 + i.
0
∫
∫
(2) C1 を 0 と 2 を結ぶ線分，C2 を 2 と 2+i を結ぶ線分とし，C = C1 ∪C2 として， zdz,
Re(z)dz
C
を計算する：
C1 = {t ; 0 5 t 5 2},
C
C2 = {2 + it ; 0 5 t 5 1}
と，C1 , C2 を媒介変数表示すると，
∫
∫
2
∫
2
1
t dt +
(2 + it)2 idt = 少し計算 =
C
0
0
∫
∫ 2
∫ 1
8
2
Re(z)dz =
t dt +
2 · idt = + 2i.
3
C
0
0
z dz =
2
2 + 11i
,
3
正則関数 z 2 に関しては線積分は一致しているが，正則でない関数 Re(z) に関しては線積分が一致
していないことに注意．
6
|dz| に関する積分
複素積分の応用をする際に必要な積分を用意して，後で用いる結果を述べる．
定義 7 C = {z(t) ; a 5 t 5 b} を区分的に C 1 級の曲線とするとき，
∫
b
∫
′
b
f (z(t))|z (t)|dt =
a
∫
f (z(t))(x′ (t)2 + y ′ (t)2 )1/2 dt
a
f |dz| と書く．
を
C
∫
∫ b
f (z) = 1 のときを考えると， |dz| =
(x′ (t)2 + y ′ (t)2 )1/2 dt は曲線 C の長さである．
C
a
後で用いるのは，次の一見自明に思われる不等式である．
命題 2.4 C を区分的に C 1 級の曲線とすると，次が成り立つ：
∫
∫
f (z)dz 5
|f | |dz|.
C
C
証明のために，次のやはり非常に有用な不等式を示す．
補題 2.5 区間 [a, b] 上の実数値関数 u(t), v(t) に対して，次が成り立つ：
∫ b
∫ b
(u(t) + v(t)i)dt 5
(u(t)2 + v(t)2 )1/2 dt.
a
a
R > 0, θ ∈ R を，
証明．
∫
b
(u(t) + v(t)i)dt = Reθi
a
によって定める (右辺の積分の値を極形式で書く)．すると，g(t) = u(t) + v(t)i とおくと
∫ b
∫ b
(u(t) + v(t)i)dt = R = e−θi
(u(t) + v(t)i)dt
a
a
∫ b
∫ b (
∫ b (
)
)
−θi
−θi
=
e g(t)dt =
Re e g(t) dt + i
Im e−θi g(t) dt
a
a
a
となるが，R > 0(というより R ∈ R) だから
∫
i
b
(
)
Im e−θi g(t) dt = 0
a
である．したがって，
∫ b
∫ b (
)
(u(t) + v(t)i)dt =
Re e−θi g(t) dt
a
a
∫
∫
b
b
であり，実数値関数 h に対する不等式 a h(t)dt 5 a |h(t)|dt を用いると，
∫ b
∫ b
∫ b (
)
−iθ
(u(t)
+
iv(t))dt
5
Re
e
g(t)
dt
5
|g(t)|dt
a
a
a
7
となり，補題の結論を得る．
命題の証明．
補題を u(t) + v(t)i = f (z(t))z ′ (t) として用いると，
∫
∫ b
∫ b
′
f dz = f (z(t))z (t)dt 5
|f (z(t))z ′ (t)|dt
C
a
a
∫ b
∫
′
=
|f (z(t))| · |z (t)|dt =
|f | |dz|
a
となる．
C
8

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