実力試験III(2014年6月23日実施)

電気磁気学 I 及び演習
平成 26 年度実力試験Ⅲ
試験問題（6 月 23 日）
注 1：答だけでなく、計算過程を必ず記述すること。
注 2：クーロン定数 k  1/ 4 0 を用いてもよい。
注 3：問題１，２，３，４をそれぞれ別々の解答用紙に書くこと。また、解答用紙は裏面を用いても
良い。
問題１
図１に示すように、A 点(a,0)に電荷 q1、B 点(-a,0)に電荷 q2 がある。無限遠点の電位を 0 とし
て、以下の小問に答えよ。(25 点)
(1) A 点の電荷 q1 のみを考えるとき、一般に q1 が r 離れた点
につくる電位を求めよ。さらに、その点における電場
Er を、電位と電場の関係を使って求めよ。
(2) 二つの点電荷(A 点： q1 、B 点： q2 )があるとき、これら
二つの電荷が P 点(0,a)につくる全電位 V を求めよ。
(3)
A 点に電荷 q1 、B 点に電荷 q2 がある状態で、電荷 q3 を
y 軸上正方向の無限遠点から P 点まで運ぶのに必要な仕
事 W を求めよ。
(4) A 点、B 点、P 点にある３電荷 q1、q2、q3 の全ポテンシ
ャルエネルギー U (3 粒子系ポテンシャルエネルギー)を
図
1
求めよ。
問題２
図 2 に示すように、中心に半径 a の丸い穴の開いた一様に帯電した半径 b の円板がある。円
板の面電荷密度をσとして、以下の小問に答えよ。(25 点)
(1) 円板内に半径 r で微小な幅 dr のリングを考
える。このリング上の微小な領域(電荷 dq)
が中心軸上の P 点(リング中心からの距離
x)につくる電位 dVP を求めよ。
(2) 半径 r で微小な幅 dr のリングの全電荷が P
点につくる電位 VP を求めよ。また、その結
果から円板の中心(x＝0)における電位 VP
(0) を求めよ。
(3) 半径 a～b の円板の全電苛が P 点につくる電
位 V を求めよ。
(4) (3)の結果を用いて、電位と電場の関係から
P 点における電場の x 成分 Ex を求めよ。ま
た、その結果から円板の中心(x=0)における
電場の大きさ Ex(0)を求めよ。
図
２
図３に示すように， y 軸に沿って長さ l の棒が，原点 (0, 0) から点 (0, l) までの間に置かれてい
問題３
る。この棒は線電荷密度  で一様に分布した電荷をもっている。無限遠点の電位を 0 として、次の小
問に答えよ。
（25 点）
(1) 棒上の全電荷 Q を求めよ。
(2) 棒上の点 (0, y) にある長さ dy の電荷要素を dq とする
とき，この dq が x 軸上の点 P (x, 0) につくる電位 dV を
 , dy, y, x などを用いて表せ。
(3) (2)の電位 dV を y について 0 から l まで積分して，棒の
全電荷がつくる電位 V を計算せよ。参考までに不定積
分の 2 つの公式を示しておく。


dx
x c
xdx
2
x c
2
2
2

 ln x  x 2  c 2

 x2  c2
(4) 電位から電場を求める方法を用いて、点 P における電
場の x 成分、 E x を求めよ。
問題４
図
３
図
４
図４に示すように，内半径 a および外半径 b の厚
さのある導体球殻の中心に点電荷 Q を置いた。導体球殻
に正味の電荷はないものとする。無限遠点の電位を 0 と
して、以下の小問に答えよ。（25 点）
(1) 導体球殻の内面および外面に存在する電荷 Qin および
Qout を求めよ。
(2) 領域 r  b における電位を求めよ。
(3) 領域 a  r  b における電位を求めよ。
(4) 領域 0  r  a における電位を求めよ。
電気磁気学 I 及び演習
問題 1
実力試験 III の略解（6 月 23 日）
(25 点)
q1
dV A
q
。したがって電場は、E  
 k 12
(6 点)
r
dr
r
q1
kq
q2
kq
 1 、 q2 が点 P につくる電位は k
 2 。
(2) q1 が点 P につくる電位は k
2a
2a
a2  a2
a2  a2
q
q
k q1  q 2 
重ね合わせの原理より、 V  k 1  k 2 
(6 点)
2a
2a
2a
k q1  q 2 q3
(6 点)
(3) W  q3V の関係から、 W 
2a
(4) U123 は、電荷 q1 , q2 , q3 の各電荷対（ q1 - q2 , q2 - q3 , q3 - q1 ）がつくるポテンシャルエネルギーの和
(1)
q1 が r 離れた点につくる電位は、V A  k
に等しいので、
U 123  U 12  U 23  U 31 
問題 2

kq1 q 2 kq 2 q3 kq3 q1 k q1 q 2  2 q1  q 2 q3



2a
2a
2a
2a

(7 点)
(25 点)
dq
dV P  k
(1)
dq から P 点までの距離が r 
r 2  x 2 なので、電位は
(2)
リングの全電苛は 2rdr なので、リングがつくる電位は V P 
(5 点)
r 2  x2
k
r 2  x2
 dq 
2krdr
r 2  x2
(4 点)
2krdr
 2kdr
r
中心での電位は x=0 より、 V P 0  
(3)
(3 点)
半径 a～b の円板が P につくる電位は
b
2kr
a
r 2  x2
V 
b

dr  2k  r  x
a
2

1
2 2

rdr  2k  x 2  r 2



1
2
b

 2
2
  2k x  b
a


  x
1
2
2
 a2

1
2
(4 点)
(4)
P 点の電場は
Ex  
dV
d 
 2k  x 2  b 2
dx
dx 

  x
1
2
2
 a2
円板の中心での電場は x=0 より、 E x 0   0

1
2


1

  2kx 2
2


x
b

(3 点)



x2  a2 
1
(4 点)



問題 3 (25 点)
(1)
(2)
(3)
Q   b. （5 点）
dV 
V


dq
40 x  y
2
 dy
40 x  y
2
40
2
.(7 点)，

 dy
l
0
2


l
 
2
2 

log y  x  y 
0
x 2  y 2 40 
 


l  x2  l 2


log l  x 2  l 2  log x 
log
. (8 点)
40
40
x

V
x
 1

 
（3） E x  
2
2
x 4 0  x
x  l l  x2  l2





 (5 点)
.

問題 4（25 点）
（実力試験Ⅱ問題 3 と同じ配位）
まずガウスの法則を用いて電場分布を求めておく
(1)
まず、 Qin  Qout  0 。また導体内で電場はゼロでなければならないので、 Q  Qin  0.
よって、 Qin  Q, Qout  Q.
(2)
領域 r  b の電場強度は E 
(6 点)
Q
4 0 r 2
であるから、
Q 1
Q
V r    E dr   
dr 

(6 点)


2


40  r  40 r
40 r

(3)
r
r
r
Q
導体内 a  r  b では E  0 であるので、
 


V r V b    E dr  0. よって、 V r V b 
(4)
r
b
領域 0  r  a の電場強度は E 
 
V r V a    E dr   


V a V b 
Q
4 0 r 2
40b
. (6 点) 。
であるから、
Q 1
Q
Q
dr


.
  
2
40  r a 40 r 40 a
40 r
Q
r
r
a
a
Q
より、 V r 
40b
Q

r
Q 1 1
Q 1 1 1
Q

  
   . (7 点)
40  r a  40b 40  r a b 

Download Report