第2章写像

!  第2章写像
!  第1節写像とは
!  第2節全射，単射，全単射
!  第3節恒等写像，逆写像
!  第4節合成写像
定義2.1
A ，を集合とする．
B
f f :A!B
写像：
A
の任意の要素がのある1つの要素に対応
B
：の定義域，：の値域
B f
A f
f
A
B
! 
定義2.2
f : R ! R はすべて写像．
例2.1：以下のような，
p
!  ，， 2 f (x) = sin x + cos x
f (x) = 10 f (x) = x2 + x
f A
B
A ，を集合，をからへの写像とする．
B
0
とすると，
A ✓A
f
!  次の表で表されるも写像である．
f (A0 ) をによる f
をみたす， A0の像という．
f : {0, 1, . . . , 5} ! 2{a,b,c}
x
0
f (x) {a}
1
2
3
4
5
問2.1：写像でない例をあげなさい．
! 
例2.2：
f (x) {a}
のとき，
1
2
問2.2：
f ([0, ⇡/2])
!  のとき，を求めよ．
f (x) = sin x
= [ 1, 1]
!  f:
{0, 1, . . . , 5} ! 2{a,b,c}
0
3
4
B
A
! 
f (R)
f (x) = sin x
!  のとき，
x
f
{a} {a, b, c} {a, b} {a, c} {b, c}
! 
!  f:
f (A0 ) = {f (a) 2 B : a 2 A0 }
5
{a} {a, b, c} {a, b} {a, c} {b, c}
f ({0, 1, 2, 3, 4, 5}) = {{a}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}
{0, 1, . . . , 5} ! 2{a,b,c}
x
0
f (x) {a}
1
2
3
4
5
{a} {a, b, c} {a, b} {a, c} {b, c}
のとき，を求めよ．
f ({0, 1, 3, 4, 5})
! 
f :A!B
2.1：を写像とすると， f (A0 ) ✓ B
A0 ✓ A
任意のについて．
f
定義2.3
f : A ! B を写像とする．
1．全射： f (A) = B
a, a 2 A
2．単射：任意のについて，
0
B
A
f (a) =
6 f (a0 )
a 6= a0
ならば，
3．全単射：全射かつ単射
f
B
A
! 
f
!  は全射であるか？
f
!  は単射であるか？
f
A
f : R ! R f (x) = x2とする．
問2.4：を B
! 
x
f
A
{a,b,c}
追加問題： f : {0, 1, . . . , 5} ! 2
B
0
f (x) {a}
1
2
3
4
5
{a} {a, b, c} {a, b} {a, c} {b, c}
f
!  は全射？単射？
命題2.1
証明（←）
|A| = |B| = s
であるとする．
一般性を失うことなく，
! 
B
，を有限集合とする．
A
からへの全単射が存在するとき，かつそのときに限
B
A
|A| = |B|
り，である．
A = {a1 , a2 , . . . , as }, B = {b1 , b2 , . . . , bs }
とできる．
f
i:1is
を，任意のについて，
証明（→）
f
からへの全単射が存在すると仮定．
B
A
|A| |B|
f
が全射 ) |A| = |B|
|A|  |B|
f
が単射 ! 
f (ai ) = bi
とする．
f
このは確かに全単射になっている．
定義2.4
命題2.2
f A
A
Aを集合，をからへの写像とする．
a 2 Aについて， f (a) = a であるとき，
このとき，任意 B
A
， f : A ! を全単射とする．
B
g:B!A
このとき，次のような写像が存在する．
g(b) = a
任意の b 2 B について，．
ただし，はを満たす．
a 2 A f (a) = b
f
を恒等写像（または，恒等関数）という．
f
A
A
A
! 
f (x) = 1
問2.5：関数は恒等写像か？
g
f
BA
B
定義2.5
定義2.6
， B
A
B C
f A B
A ，，を集合，をからへの写像，
f : A ! を全単射とする．
B
g : B ! A を，
このとき，命題2.2を満たす， f 1
逆写像，または逆関数とよび，で表す．
f
g=f
B
A
g B からを C への写像とする．
g f をとの合成写像（合成関数）とい
f g
このとき，い，以下が成り立つ．
a 2 A について，
任意の 1
B
A
(g f ) = g(f (a))
f (x) = 2x 1
f : R ! R をとする．
問2.6： 1
f (x)
このとき，を求めよ．
! 
A
f
B
g
命題2.3
C
f : A ! を全単射とする．
B
， A B
1
1
f および，は恒等写像となる．
f
f f
f
f
A
! 
問2.7：f ，とする．
(x)
= x + 1 g(x) = x2 + 2x 3
このとき，合成写像を求めよ．
g f
BA
1
B
! 
1
f
f
証明：が恒等写像となることを示す．
a 2 A を任意とする．
b = f (a)
a = f (b)
とすれば，逆写像の定義より，．
よって，
(f
1
f )(a) = f
1
1
(f (a)) = f
1
(b) = a
(f
f )(a) = a
a2A
任意のについて，なので，
1
(f
f ) は恒等写像である．
1
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!  第3節恒等写像，逆写像
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!  第2章章末問題
命題2.4
f :X!
Y g : Y ! Z を全単射とする．
，このとき，合成写像は全単射である．
g f :X!Z
命題2.5
f : X ! ， Y g : Y ! Z を全単射とする．
g f :X!Z
このとき，合成写像は全単射であり，
(g f )
1
=f
1
g
1

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