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情報基礎/コンピュータ数学
写像
情報基礎/コンピュータ数学
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1
写像とは？
2
全射・単射・全単射
3
恒等写像
4
合成写像
5
練習問題
情報基礎/コンピュータ数学
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写像とは？
定義 2.1
A，B を集合とする．A の任意の要素が B のある 1 つの要素に対応して
いるとき，その「対応」f を A から B への写像または関数といい，
f : A → B と表す．このとき，A を f の定義域，B を f の値域という．
f
A
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B
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例 2.1，問 2.1
例：以下のような，f : R → R はすべて写像である．
(1) f (x) = 10
√
(2) f (x) = x2 + x − 2
(3) f (x) = sin x + cos x
また，以下の表で示された f : {0, 1, 2, 3, 4, 5} → 2{a,b,c} も写像で
ある．
x
0
1
2
3
4
5
f (x) {a} {a} {a, b, c} {a, b} {a, c} {b, c}
問 2.1
写像でない例をあげよ．
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像
定義 2.2
A，B を集合とし，f を A から B への写像とする．また，A′ ⊆ A とす
る．このとき，以下で定義される f (A′ ) を，f による A′ の像という．
f (A′ ) = {f (a) ∈ B : a ∈ A′ }
f
A
A0
B
f (A0 )
事実 2.1
f を A から B への写像とすると，任意の A′ ⊆ A について，f (A′ ) ⊆ B ．
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例 2.2，問 2.2，問 2.3
例：f (x) = sin x のとき，像 f (R) = [−1, 1]．
以下の表で示された f : {0, 1, 2, 3, 4, 5} → 2a,b,c において，
x
f (x)
0
{a}
1
{a}
2
{a, b, c}
3
{a, b}
4
{a, c}
5
{b, c}
像 f ({0, 1, 2, 3, 4, 5}) = {{a}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}} である．
問 2.2，問 2.3
f (x) = sin x のとき，像 f ([0, π/2]) を求めよ．
以下の表で示された f : {0, 1, 2, 3, 4, 5} → 2{a,b,c} において，像
f ({0, 1, 3, 4, 5}) を求めよ．
x
f (x)
0
{a}
1
{a}
2
{a, b, c}
3
{a, b}
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4
{a, c}
5
{b, c}
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全射・単射・全単射
定義 2.3
A，B を集合，f を A から B への写像とする．
f が全射，単射，全単射であるとは，それぞれ以下を満たすときをいう．
全射 f (A) = B ．
単射任意の a, a′ ∈ A について，a ̸= a′ ならば f (a) ̸= f (a′ )．
全単射全射かつ単射であるとき．
f
f
B
BA
A
f
B
A
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問 2.4
問 2.4
f : R → R を f (x) = x2 とする．f は全射であるか？また，f は単射であ
るか？
問
以下の表で示された f : {0, 1, 2, 3, 4, 5} → 2{a,b,c} は，全射であるか？ま
た，単射であるか？
x
f (x)
0
{a}
1
{a}
2
{a, b, c}
3
{a, b}
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4
{a, c}
5
{b, c}
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命題 2.1
命題 2.1
A，B を有限集合とする．A から B への全単射が存在するときかつその
ときに限り，|A| = |B| である．
【証明】以下の 2 つを証明すればよい．
(⇒)：A から B への全単射が存在するとき，|A| = |B| である．
(⇐)：|A| = |B| であるとき，A から B への全単射が存在する．
詳しい証明は次スライド．
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命題 2.1 の証明
【証明 (⇒)：A から B への全単射が存在するとき，|A| = |B| である】
A から B への全単射 f が存在すると仮定すると，
f は全射より，|A| ≥ |B| であり，単射より，|A| ≤ |B| である．
よって，|A| = |B| が成り立つ．
【証明 (⇐)：|A| = |B| であるとき，A から B への全単射が存在する】
|A| = |B| = s とする．一般性を失うことなく，以下のようにできる．
A = {a1 , a2 , . . . , as }，B = {b1 , b2 , . . . , bs }
ここで，写像 f を任意の i (1 ≤ i ≤ s) について，以下のように定義する．
f (ai ) = bi
この f が全単射になっていることは明らかである．
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恒等写像
定義 2.4（恒等写像）
A を集合，f を A から A への写像とする．
このとき，任意の a ∈ A について，f (a) = a であるとき，f を恒等写像
（または，恒等関数）という．
f
A
A
問 2.5
写像 f (x) = 1 は恒等写像か？また，写像 f (x) = x は恒等写像か？
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逆写像
命題 2.2
A，B を集合，f : A → B を全単射とする．
このとき，次のような写像 g : B → A が存在する．
任意の b ∈ B について，g(b) = a．ただし，a ∈ A は，f (a) = b を満たす．
【証明】g : B → A を以下のように定義する．
a ∈ A について，f (a) = b であるとき，g(a) = b．
あとは，この g が確かに写像となっていることを示せばよい．
f が全単射であることより，任意の b ∈ B に対して，f (a) = b を満たす
唯一の a ∈ A が存在する．このことから，B の任意の要素が A のある 1
つの要素に対応していることがわかる．これは g が B から A の写像と
なっていることを意味する．
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逆写像
定義 2.5（逆写像）
A，B を集合，f : A → B を全単射とする．このとき，前のスライドの命
題 2.2 を満たす写像 g : B → A を，f の逆写像（または逆関数）といい，
f −1 で表す．
f
A
g=f
B
A
1
B
問 2.6
f : R → R を f (x) = 2x − 1 とする．このとき，f −1 (x) を求めよ．
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合成写像
定義 2.6（合成写像）
A，B ，C を集合，f を A から B への写像，g を B から C への写像とす
る．このとき，g ◦ f を f と g の合成写像（または合成関数）といい，次
のように定義する．任意の a ∈ A について，
(g ◦ f )(a) = g(f (a))
A
x
f
B
f (x)
g
C
g(f (x))
問 2.7
f (x) = x + 1，g(x) = x2 + 2x − 3 とする．このとき，合成写像 g ◦ f を
求めよ．
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命題 2.3
命題 2.3
A，B を集合，f : A → B を全単射とする．
このとき，合成写像 f −1 ◦ f および，f ◦ f −1 は恒等写像となる．
【証明】f −1 ◦ f が恒等写像となることを示す．
（f ◦ f −1 も同様の証明．
）
A から任意の要素 a をとりだす．b = f (a) とすると，逆写像の定義より，
a = f −1 (b) が成り立つ．よって，
(f −1 ◦ f )(a) = f −1 (f (a)) = f −1 (b) = a
任意の a ∈ A について，(f −1 ◦ f )(a) = a が成り立つので，f −1 ◦ f が恒
等写像であることが示される．
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命題 2.4，命題 2.5
命題 2.4
f : X → Y ，g : Y → Z を全単射とする．このとき，合成写像
g ◦ f : X → Z は全単射である．
【証明】略．教科書を参照すること．
命題 2.5
f : X → Y ，g : Y → Z を全単射とする．このとき，
(g ◦ f )−1 = f −1 ◦ g −1 である．
【証明】略．教科書を参照すること．
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練習問題
練習問題 1
以下の表で示された各 f : {0, 1, 2, 3, 4} → 2{a,b,c} は写像であるかないか
答えよ．写像でない場合は，その理由も答えよ．
x
0
1
2
3
4
(a)
f (x) {a} {a, b} {a, b, c} {b, c} ∅
(b)
x
f (x)
0
{a}
(c)
x
f (x)
0
{a, b}
1
{a, b}, {a, c}
1
2
{c}
2
{a, b, c}
3
{a, b, c}
3
{b, c}
4
{b}
4
{b, c}
練習問題 2
f (x) = log2 x とする．このとき，f ([2, 4])，f [ 12 , 1])，f ([512, 1024]) を求
めよ．
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練習問題
練習問題 3
以下の写像 f : R → R は単射，全射，全単射またはそのいずれでもない
か答えよ．また全単射であるならば，その逆写像を求めよ．
(a) f (x) = x
(b) f (x) = sin x
(c) f (x) = x2
練習問題 4
以下の写像 f (x)，g(x) について，合成写像 f ◦ g を求めよ．
√
(a) f (x) = x，g(x) = x4 − x2 + 1
(b) f (x) = log2 x，g(x) = 2x
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練習問題
練習問題 5
以下の表で示された各 f : {0, 1, 2, 3, 4} → {0, 1, 2, 3, 4} について，合成写
像 f ◦ f を求めよ．
(a)
x
f (x)
0
1
1
2
2
3
3
4
4
0
(b)
x
f (x)
0
3
1
1
2
4
3
0
4
2
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