解説 - H.Yagyu Web

高３数 γ
No. 3
図形・確率と極限
（理系問題演習／柳生）
2014/5/14
（平成１２年横浜国大）
問6
半径 1 の円周上に異なる 3 点 A1 , B1 , C1 がある．さらに，An , Bn , Cn (n = 1, 2, 3, · · · ) を次
のように定める．
An−1 を含まない弧 Bn−1 Cn−1 の中点を An ，Bn−1 を含まない弧 Cn−1 An−1 の中点を Bn ，Cn−1 を含まな
い弧 An−1 Bn−1 の中点を Cn とする．
三角形 An Bn Cn の面積を Sn とし，αn = ∠Cn An Bn ，βn = ∠An Bn Cn ，γn = ∠Bn Cn An とする．次の問
いに答えよ．
(1) Sn を αn , βn , γn を用いて表せ．
(2) αn を α1 と n を用いて表せ．
(3) lim Sn を求めよ．
.An
.αn
n→∞
(解) (1) 円周角の定理より ∠Bn OCn = 2αn であるから，
1
△ Bn OCn = sin 2αn
2
△ An OBn , △ Cn OAn についても同様なので，
1
Sn = (sin 2αn + sin 2βn + sin 2γn )
2
(2) 仮定より弧 An−1 Bn = 弧 Cn−1 Bn なので，円周角の定理より
.1
.O.
.2αn
.Cn
.1
.Bn
.Bn
.An−1
∠An−1 An Bn = ∠An−1 Bn−1 Bn = ∠Cn−1 Bn−1 Bn
βn−1
が成り立つ．ゆえに ∠An−1 An Bn =
である．
2
γn−1
同様にして， ∠An−1 An Cn =
も分かる．
.
2
βn−1 γn−1 βn−1 + γn−1 π − αn−1
したがって αn =
+
=
=
である．
2
2
2
2
.Cn
これは
!
"
π
1
π
αn − = − αn−1 −
3
2
3
.Bn−1
π
π
1
と変形できるので， {αn − } は初項 α1 − ，公比 − の等比数列である．
3
3
2
#
$n−1
#
$n−1 !
!
π
1
π"
π
1
π"
ゆえに，αn − = −
a1 −
よって αn = + −
α1 −
3
2
3
3
2
3
.Cn−1
.An
#
$n−1 !
#
$n−1 !
π
1
π"
π
1
π"
(3) 図形の対称性より，βn = + −
β1 −
, γn = + −
γ1 −
が成り立つ．
3
2
3
3
2
3
%
%
% 1%
%− % < 1 なので， lim αn = lim βn = lim γn = π
% 2%
n→∞
n→∞
n→∞
3
√
2π
3
したがって lim sin 2αn = lim sin 2βn = lim sin 2γn = sin =
n→∞
n→∞
n→∞
3
2
√
√
1
3 3 3
よって lim Sn = · 3 ·
=
n→∞
2
2
4
備考：(1) は次の解答でもよい．
「正弦定理より An Bn = 2 sin γn , An Cn = 2 sin βn
1
よって Sn = · 2 sin βn · 2 sin γn · sin αn = 2 sin αn sin βn sin γn 」
2
(2) の図で，それぞれの点線は１点で交わっている（△ An−1 Bn−1 Cn−1 の内心なので）．さらに，この
点は△ An Bn Cn の垂心にもなっている．各自証明を試みよ．
（なお，2007 年に京都大学でこれを証明させる問題が出題されている．
）
（平成１９年東大）
問7
n を 2 以上の整数とする．平面上に n + 2 個の点 O, P0 , P1 , · · · , Pn があり，次の 2 つの条件
をみたしている．
π
(1 " k " n)，∠OPk−1 Pk = ∠OP0 P1 (2 " k " n)
n
1
!
2 線分 OP0 の長さは 1，線分 OP1 の長さは 1 + である．
n
n
!
線分 Pk−1 Pk の長さを ak とし，sn =
ak とおくとき， lim sn を求めよ．
!
1 ∠Pk−1 OPk =
(解) 余弦定理より
n→∞
k=1
#2
"
#
1
1
π
a1 = P0 P1 = 1 + 1 +
−2·1· 1+
cos
n
n
n
"
#
2 1
1
π
= 2+ + 2−2 1+
cos
n $
n
n
n
"
#
2 1
1
π
よって a1 = 2 + + 2 − 2 1 +
cos
n n
n
n
2
2
2
"
.P2
.1 +
.
.
O
.Pn
1
n
.πn
.P1
.P0
1.
1
各三角形 OPk−1 Pk (k = 1, · · · , n) はすべて相似であり，となり合う三角形同士の相似比は 1 + である．
n
1
よって {ak } は初項が a1 ，公比が 1 + の等比数列となるから，
n
"
#n
1
%"
#n
&
1+
−1
n
!
1
n
#
sn =
ak = a1 "
= na1
1+
−1
1
n
k=1
1+
−1
n
である． "
#n
1
ここで 1 +
− 1 −→n→∞ e − 1 である．
n
また
$
' (
"
#
2 1
1
π
π) 2 (
π) 1
na1 = n 2 + + 2 − 2 1 +
cos = n 2 1 − cos + 1 − cos + 2
n n
n
n
n
n
n
n
'
(
)
(
)
π
π
= 2n2 1 − cos + 2n 1 − cos + 1
n
n
'
π
π
= 2n2 · 2 sin2 + 2n · 2 sin2 + 1
2n
2n
*
(π)
(π)
+
2
+
sin2
2 sin
√
√
+
π
2n
2n + 1 −→
2·
2 · 12 + 0 · 12 + 1 =
=+
π
+
·
π
π2 + 1
(
)
(
)
n→∞
,
π 2
π 2
n
2n
2n
である．
√
よって lim sn = π 2 + 1 (e − 1)
n→∞
備考：n → ∞ の極限において，各辺を結んだ曲線は曲線 C : r = e π (0 " θ " π) に近づく．
θ
C は対数螺旋とよばれる曲線である．
この曲線は巻貝の殻や動物の角など，
自然界で広く見られる曲線らしい．
（Wikipedia による）
.
.−e
.
.1

Download Report