5 三角多項式による近似

大阪大学基礎工学部 2014 年度後期数学 C 講義ノート
5 三角多項式による近似
周期 2π の関数 f (x) を考える．f (x) が２乗可積分であるとは，
∫
π
f (x)2 dx < +∞
−π
を満たすことをいう．以下，この節では f (x) は２乗可積分関数であるとし，f (x) のフーリエ級数を
∞
∑
f (x) ∼ a0 +
(an cos nx + bn sin nx)
n=1
とする．このとき，和を有限で打ち切った三角多項式
N
∑
fN (x) = a0 +
(an cos nx + bn sin nx)
n=−N
は f (x) の「良い近似」と言えるだろうか？
以下，N ∈ N を一つ固定する．一般に A0 , An , Bn (1 ≤ n ≤ N ) を係数に持つ三角多項式
FN (x) = A0 +
N
∑
(An cos nx + Bn sin nx)
n=1
に対し，f に対する FN の全２乗誤差
∫
EN =
π
−π
2
(f (x) − FN (x)) dx
を考える．EN が小さいほど，FN は f の良い近似だと言える．
定理 5.1. EN は FN = fN （つまり，A0 = a0 , An = an , Bn = bn (1 ≤ n ≤ N )）の場合に限り最小となり，
∗
その最小値 EN
は
∗
EN
=
∫
[
π
−π
f (x)2 dx − π 2a20 +
N
∑
(
)
2
]
a2n + bn
n=1
で与えられる．
この定理は，N 次までの三角多項式全体の中で f の最も良い近似（EN を小さくするという意味で）は，f
のフーリエ級数の部分和であることを示している．
以下，定理 5.1 の証明を述べる．まず初回でも用いた次の補題を思い出そう．
補題 5.2. (i)
∫
∫
π
π
cos nxdx = 0,
−π
cos nxdx = 0
−π
(ii)
∫
{
π
cos nx cos mxdx =
−π
∫
{
π
sin nx sin mxdx =
−π
1
(n ∈ N).
π （n = m のとき）,
0 （それ以外）,
π （n = m のとき）,
0 （それ以外）.
(ii)
∫
π
(n, m ∈ N).
cos nx sin mxdx = 0
−π
定理 5.1 の証明. 補題 5.2 より，
∫
∫
π
(
π
2
−π
FN (x) dx =
−π
∫
π
A0 +
A20
−π
+
(An cos nx + Bn sin nx)
N
∑
(
A2n
2
cos nx +
n=1
(
2A20
=π
)2
dx
n=1
(
=
N
∑
+
N
∑
(
A2n
+
Bn2
)
)
2
Bn2
sin nx
)
)
dx
.
n=1
一方，
∫
∫
π
−π
f (x)FN (x)dx =
(
π
−π
f (x) A0 +
∫
= A0
(
N
∑
)
(An cos nx + Bn sin nx) dx
n=1
π
−π
∫
N (
∑
f (x)dx +
An
−π
n=1
N
∑
= π 2a0 A0 +
∫
π
f (x) cos nxdx + Bn
)
)
π
f (x) sin nxdx
−π
(an An + bn Bn ) .
n=1
以上より，
∫
EN =
π
−π
∫ π
=
∫
−π
2
(f (x) − FN (x)) dx
∫ π
∫
f (x)2 dx − 2
f (x)FN (x)dx +
−π
−π
[
π
f (x) dx − 2π 2a0 A0 +
2
=
−π
∫
=
−π
N
∑
FN (x)2 dx
]
[
(an An + bn Bn ) + π
2A20
+
n=1
[
π
π
2
f (x)2 dx + π 2 (A0 − a0 ) +
N
∑
(
A2n
n=1
N (
∑
2
2
(An − an ) + (Bn − bn )
)
]
+
Bn2
− π 2a20 +
[
π
f (x) dx − π
2
=
−π
2a20
N
∑
(
+
a2n
+
b2n
)
]
n=1
を取る．
命題 5.3 (ベッセルの不等式). f (x) は周期 2π を持つ２乗可積分関数とする．このとき
2a20 +
∞
∑
(
n=1
N
∑
(
n=1
この式の右辺は，A0 = a0 , An = an , Bn = bn (1 ≤ n ≤ N ) のときに限り，最小値
∫
]
[
n=1
∗
EN
)
)
1
a2n + b2n ≤
π
が成立する．
2
∫
π
f (x)2 dx
−π
)
2
a2n + bn
]
.
∗
証明. N ∈ N とする．EN は定義から常に 0 以上であることに注意すると，定理 5.1 から EN
≥ 0 が分かる．
従って，
2a20
N
∑
(
+
a2n
+
b2n
)
n=1
1
≤
π
∫
π
f (x)2 dx
−π
が成立する．上式は任意の N について成立するので，N → ∞ として，
2a20
∞
∑
(
+
a2n
+
b2n
)
n=1
1
≤
π
∫
π
f (x)2 dx
−π
を得る．
命題 5.4 (パーセバルの等式). f (x) は周期 2π ，２乗可積分かつ，f のフーリエ級数が f (x) に一様収束して
いるならば，
∞
∑
(
2a20 +
n=1
)
1
a2n + b2n =
π
∫
π
f (x)2 dx
−π
が成立する．
証明. 項別積分より，
∫
∫
π
π
f (x)2 dx =
−π
−π
(
a0 +
[
=π
2a20
+
∞
∑
n=1
∞
∑
(
)2
(an cos nx + bn sin nx)
a2n
+
b2n
)
dx
]
.
n=1
注意 5.5. 実際は，f (x) が周期 2π かつ２乗可積分という仮定だけからパーセバルの等式を導くことができる
が，証明は省略する．
3

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