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Ｈ２６年度埼玉県公立高校入試問題解説
公立入試必勝ポイント① 線対称な図形の性質を利用しよう
公立入試必勝ポイント② 三角形の内角と外角の関係を利用しよう
公立入試必勝ポイント③ 特別な角の直角三角形を利用しよう
公立入試必勝ポイント④ 相似な三角形の相似比と面積比を利用しよう
４
(1) 問題の図 3 で，折り返している図形だから，
A
E
D
△ADI と△GDI は線対称である。よって，必勝ポイント①より，
AG⊥DI なので，△ALI は ∠ALI＝90° の直角三角形である。
これに気が付くと，△ALI で，∠AID＋∠BAJ＝90° であり，
L
I
H
また，△DAI で，∠AID＋∠ADI＝90° から，
G
∠BAJ＝∠ADI が導ける。
B
（直角三角形では，直角以外の 2 つの角の和は 90° である。）
F
C
図3
証明例
△ABJと△DAI において，
A
E
D
四角形ABCDは正方形なので，
AB＝DA・・・①
∠ABJ＝∠DAI＝90°・・・②
点AとGが重なるように折っているので，∠ALI＝90°となり，
L
H
I
∠AID＋∠BAJ＝90°
また，△DAIで，∠DAI＝90°だから，
∠AID＋∠ADI＝90°
したがって，∠BAJ＝∠ADI・・・③
①，②，③から，
1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので，
△ABJ≡△DAI
（証明終）
B
FJ
図4
C
(2) 必勝ポイント②より，求める∠DNH は，
A
△ADN の内角と外角の関係より，
E
D
∠ADN（●）と∠DAN（■）の和で求められる。
N
L
必勝ポイント②
H
I
三角形の 1 つの外角は，その外角と隣り合わない
M
2 つの内角の和に等しい（重要！）
G
B
C
FJ
図5
解答例
∠DNH＝∠NDA＋∠DAN・・・①
△ABD は直角二等辺三角形であるから，
∠NDA＝45°・・・②
また，折っているので，△AGD は正三角形であり，
線分 AH は∠DAG を二等分しているから，
∠DAN＝60°÷2＝30°・・・③
①，②，③より∠DNH＝45°＋30°＝75°
答え
(3) 【解法その 1】
A
M から辺 AB に垂線 MK をひくと，
∠KBM＝45°であることから，△MKB は
(8－x)cm
直角二等辺三角形であることが分かる。
よって，MK＝xcm とおくと，KB＝xcm である。
E
30°
8cm
したがって，AK＝(8－x)cm と表せる。
D
2xcm
N
L
H
K
xcm
xcm
ここで，(2)より，∠DAM＝60°と分かっているので，
75°
M
45°
B
G
FJ
C
∠KAM＝30°となる。
となると，△AKM は，3 つの角が 90°，30°，60°（三角定規！）だから，
必勝ポイント③により，3 辺の比は，1：2： 3 である。
それゆえ，AM＝2KM から，AM＝2xcm とおける。
よって，△AKM で三平方の定理により，
x2＋(8－x)2＝ (2x)2 が成り立つ。
これを解くと，x＝－4± 4 3 だが，x＞0 より，x＝－4＋ 4 3
したがって，求める△ABM の面積は，8×(－4＋ 4 3 )× 1 ＝ 16 3 －16
2
答え
16 3 －16 (cm2)
(3) 【解法その 2】
3
△ABJ は 3 つの角が 90°，60°，30°だから，
A
D
必勝ポイント③により，BJ：JA：AB＝1：2： 3 であり
また，AB＝AD＝8cm であるから BJ＝
8 3
3
30°
cm となる。
3
△MBJ∽△MDA だから，その相似比は
8 3
3
M
：8＝1： 3
よって，必勝ポイント④により，面積比は 12：( 3 )2＝1：3 と分かる。
B
J
1
C
ここで，△ABM の面積を am2，△MBJ の面積を bcm2 とおくと，
△MDA の面積は 3bcm2 とおける。
8cm
A
D
よって，△ABM＋△MDA＝32cm2 だから，
a
＋
＝32
3b
また，△ABM＋△MBJ＝
・・・・・①
30°
32 3
cm2 だから，
3
8cm
M
a
＋
b
32 3
＝
3
・・・・・②
B
8 3
cm
3
J
①，②を連立方程式として解くと，a＝ 16 3 －16
答え
16 3 －16 (cm2)
答え
16 3 －16 (cm2)
(3) 【解法その 3】
△ABJ は 3 つの角が 90°，60°，30°だから，
必勝ポイント③により，BJ：JA：AB＝1：2： 3 である。
また，AB＝AD であることを考えると，
AD：BJ＝ 3 ：1 である。
△MDA∽△MBJ だから，その相似比は 3 ：1。
よって，DM：BM＝ 3 ：1。
したがって，求める△ABM の面積＝△ABD の面積×
＝
＝
32
×
1
3＋1
1
3＋1
32( 3－1)
( 3＋1)( 3－1)
＝ 16 3 －16
C

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