Kids Cindyとそのスキーム阿原一志 (明治大学) Kids Cindy • Kids Cindy はシンデレラ(by J. Richter-Gebert , U. Kortenkamp)のサブセットです。 • フリーウエアとして配布予定. • Kids Cindyはインタラクティブな幾何学ソフトで、小学生を対象に考えています。シンデレラにある機能 • 現時点でのKids Cindyのモードを紹介します。 • 点を加える – シングルクリックで点を追加します。 • 直線を加える (2点つき) – １回のマウスドラッグにより2点つき直線を追加します。 • 円を加える (中心と円上の点つき）1回のマウスドラッグにより、中心と円上の点がついた円を追加します。直線を引くだけでも・・ • 「1回のマウスドラッグにより」といっても、さまざまな場合があります。「点のないところから点のないところへ」「既存の点から何もないところへ」「何もないところから既存の点へ」「何もないところから既存の直線上へ」「何もないところから2 直線の交点へ」「何もないところから既存の円上へ（これからサポート予定）」シンデレラにある機能 • 垂線を加える (平行線を加える) すでにある直線に対して、1回のドラッグで、垂線（または平行線)を追加します。 • 中点を加える –1回のドラッグで中点を追加します。頂点を動かす機能 • 作図をした後に、自由頂点を（マウスドラッグにより）動かすことができます。実際には、作図を直接画面に描画しているのではなく、「作図手順｣というクラスを作って、それに従って描画しています。 • 完全に作図が確定するオブジェクトはいいのですが、任意性が残るオブジェクトの処理が問題になります。任意性の残るオブジェクト • 「直線上の点」というオブジェクト：直線が2点で決められているとすれば、直線状に座標が決まるので、その座標を保存するようにすればよい。しかし、「1点および向き」で直線が決まっている場合には、座標が定まらないので、を動かしようがない。（本家シンデレラでもこの部分はバグになっている。）任意性の残るオブジェクト • 「円と直線の交点」「円と円の交点」（以上未対応）は、基本的に2点あるので、そのどちらがユーザの求めている点であるかを連続的に与えなければいけない。（→ユーリのアルゴリズム：自由点を動かすときに、点が連続変形するように代数的に追跡する。自由点はまっすぐ動かさず、虚軸方向にすこし寄り道して動かす。（右回りアルゴリズム））点の表現 • シンデレラ同様、点は複素射影平面 P2(C)の点として扱う。 • つまり、3つの複素数の比 [x:y:z]（ただし [x:y:z]≠[0:0:0]、[x:y:z]=[tx:ty:tz]）を考える。 • x/z と y/z が両方実数のときに限り、 (x/z,y/z) を描画面に表示する。なぜかというと、 • なぜ複素数かというと、例外処理を避けるため：つまり、円と直線の交点というオブジェクトは「交点がなければ消滅｣するのではなく、「複素空間にあるので表示されない｣と解釈する。ほかの理由 • 「2直線の交点」というオブジェクトを考えるときに、射影平面で考えておけば、「平行な場合｣という例外処理をしなくてすむ。（平行線の交点がない、と解釈するのではなく、平行な場合は交点が無限遠点であり表示されない、と解釈する。）直線の表現 • 直線は : {[x:y:z] | ax+by+cz=0} • 比a:b:c が実比の場合に限り、直線 ax+by+c=0 を描画する。（たとえば、2 円の2交点を結ぶ直線は、2円が交わらない場合には複素係数の直線になっている。） 2点を通る直線 • 2点 [x1:y1:z1], [x2:y2:z2], に対して、この 2点を通る直線は次で与えられる。 2直線の交点 • 2直線 a1x+b1y+c1z=0, a2x+b2y+c2z=0 は [b1c2-b2c1:c1a2-c2a1:a1b2-a2b1] で交わる。 (ただし、 a1b2-a2b1=0 の場合には、交点は無限遠点である。) 平行線の表現 • 直線 ax+by+cz=0 が、直線a0x+b0y+c0z=0 と平行であり、かつ点 [x0:y0:z0] を通るならば、 a:b:c=a0z0 : b0z0 : -(a0x0+b0y0) 垂線の表現 • 直線 ax+by+cz=0 が、 a0x+b0y+c0z=0 に垂直でかつ点 [x0:y0:z0] を通るならば a:b:c=-b0z0 : a0z0 : -(-b0x0+a0y0) 角の2等分線 • 2直線 a1x+b1y+c1z=0, a2x+b2y+c2z=0, の角の2等分線は次で与えられる。（2 本ある）具体的なスキーム • • 点、直線、円などの基本的なオブジェクトをサポートするクラス「座標により決まる点（自由点に対応する)」「2点から決まる直線」「2直線の交点」などの作図手順をサポートするクラス例：「2点を結ぶ直線」の近辺 class GConst { public: GPoint *PInput1,*PInput2; GLine *LOutput; GConst *next; short Const_Type; bool Evaluate(void); …… }; 例：「2点を結ぶ直線」の近辺 bool GConst::Evaluate(void) { switch(Const_Type){ case CONST_JOIN: if(PInput1==NULL || PInput2==NULL || LOutput==NULL){ return false; } LOutput->aa = PInput1->yy * PInput2->zz - PInput1->zz * PInput2->yy; LOutput->bb = PInput1->zz * PInput2->xx - PInput1->xx * PInput2->zz; LOutput->cc = PInput1->xx * PInput2->yy - PInput1->yy * PInput2->xx; break; } ... } ふわふわの直線を引くためには • 二つ方法が考えられる。ひとつはベクトルデータにより、描画する方法。もうひとつはビットマップを貼り付ける方法。 • KidsCindyではベクトルデータを採用。自動定理証明機能 • シンデレラには「自動定理証明機能」がある。各自由点を複素方向にパーターブしてみたときの各オブジェクトの一致状況（特定の2点がいつも重なる、特定の点がいつも特定の直線上にある、など）を調査し、それを報告する。（実は非自明であるかどうかの判定をシンデレラでは行っていない。） Future plans 円弧を描けるようにしたい（シンデレラ２では対応）動きを軽やかにしたいアニメーションに対応したい（作図手順をアニメーション表示したい）フォントを変えられるようにしたい音が出るようにしたいシンデレラとのデータ交換をしたい共同研究者募集中です！