本科 ／ 実戦演習期 ／ Z Study 解答解説編 ／ 東大コース 理系数学 見 本 YMARNA-Z1C4-01 n 0 をみたす 実数とする。x の 2 次方程式 x2 + ax + a2 = 0 の 2 つの解を ®，¯ と aをa= し，自然数 m，n に対して ¯m ®m f(m，n) = n + n ® ¯ n 0) に対して とする。1 · m · 20，1 · n · 20 のとき，任意の実数 a (= f(m，n) = 2a10 が成り立つような m，n の組 (m，n) をすべて求めよ。 (25 点) f(m; n) を a の式で表すのが第一歩。もちろん解と係数の関係を利用することになるが，これ だけで式を整理するのは難しい。ここでは，®，¯ が 2 次方程式 x2 + ax + a2 = 0 の解であること から，この 2 次方程式の形に着目して，®，¯ がもつ性質を見抜きたい。あとは，a の式で表した n 0）に対して 2a10 と等しくなるための条件を考えれ f(m; n) の形を見て，これが任意の実数 a（ = ばよい。 ® + ¯ = ¡a，®¯ = a2 ………………………………… ① また x3 ¡ a3 = (x ¡ a)(x2 + ax + a2 ) = 0 であるから ®3 = ¯3 = a3 …………………………………………… ② が成り立つ。 ここで，① より ®m+n + ¯m+n ®m+n + ¯m+n = (®¯)n a2n と変形できる。さて，①，② を用いて，f(m，n) を a で表すことを考 f(m，n) = える。 m + n = 3M (M = 1，2，Ý) のとき ®3M + ¯3M (®3 )M + (¯3 )M f(m，n) = = 2n a a2n 2a3M 2am+n = = 2am¡n a2n a2n m + n = 3M + 1 (M = 1，2，Ý) のとき = f(m，n) = ®3M+1 + ¯3M+1 (®3 )M ® + (¯3 )M ¯ = 2n a a2n ここがポイント。 ▲ の関係より ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ② より，m + n を 3 で割った 余りによって分類することに 気づきたい。 ▲ x の 2 次方程式 x2 + ax + a2 = 0 の 2 解 ®，¯ に対して，解と係数 = am+n¡1 ¢ (¡a) ¢ a¡2n = ¡am¡n m + n = 3M + 2 (M = 0，1，2，Ý) のとき f(m，n) = = ®3M+2 + ¯3M+2 (®3 )M ®2 + (¯3 )M ¯2 = 2n a a2n a3M (®2 + ¯2 ) am+n¡2 (®2 + ¯2 ) = 2n a a2n = am¡n¡2 f(® + ¯)2 ¡ 2®¯g = am¡n¡2 (a2 ¡ 2a2 ) = ¡am¡n ， ， より任意の実数 a に対して f(m，n) = 2a10 が成り立つためには，自然数 m，n について m + n = 3M Tm ¡ n = 10 が成り立てばよく，これを m，n について解くと 3M + 10 ，n = 3M ¡ 10 2 2 となるから，m，n が自然数であることより m= M は偶数 がわかる。 そこで，M = 2N とおくと m = 3N + 5，n = 3N ¡ 5 …………………………… ③ となり，1 · m · 20，1 · n · 20 より 1 · 3N + 5 · 20，1 · 3N ¡ 5 · 20 Ú 6 · 3N · 15 すなわち N = 2，3，4，5 よって，③へ代入すれば，求める組 (m，n) は (m，n) = (11，1)，(14，4)，(17，7)，(20，10) ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ YMARNA-Z1C4-02 任意の a が 2 を素因数にも つわけではなく，(i) の場合， すなわち，m + n = 3M の場 合に限られる。 ▲ a3M (® + ¯) am+n¡1 (® + ¯) = = a2n a2n ・周期性を利用する 本問では，®3 = ¯3 = a3 が成り立つことから，f(m; n) の値に周期性が生まれ，それを利用して n 0）についての恒等式になるような m; n の組を求めた。数列の問題でも， f(m; n) = 2a10 が a（ = いきなり一般項を求めようとすると難しいが，周期性に気づけば一般項が求められることがある。 n = 1; 2; … の場合を具体的に調べて，周期性を見つけるところがポイントである。 以下の問題の (3) のように，次数が高い場合，直接答えを求めるのが難しい場合がある。ここで も”周期性”に着目してみよう。 YMARNA-Z1C4-03 （例）2 次方程式 x2 ¡ 4x ¡ 1 = 0 の 2 つの実数解のうち大きいものを ®，小さいものを ¯ とする。 ® = 1，2，3，Ý に対し，sn = ®n + ¯n とおく。 (1) s1 ，s2 ，s3 を求めよ。また，n ¸ 3 に対し，sn を sn¡1 と sn¡2 で表せ。 (2) ¯3 以下の最大の整数を求めよ。 (3) ®2003 以下の最大の整数の 1 の位の数を求めよ。 （解答）(1)® + ¯ = 4，®¯ = ¡1 だから， s1 = 4，s2 = (® + ¯)2 ¡ 2®¯ = 18， s3 = (® + ¯)3 ¡ 3®¯(® + ¯) = 76 そして，®2 = 4® + 1，¯2 = 4¯ + 1 より ®n = 4®n¡1 + ®n¡2 ，¯n = 4¯n¡1 + ¯n¡2 だから，辺々たして sn = 4sn¡1 + sn¡2 p (2)¯ = 2 ¡ 5 だから，¡1 < ¯ < 0 より ¡1 < ¯3 < 0 だから，¯3 以下の最大の整数は ¡1 である。 (3)¡1 < ¯ < 0 より ¡1 < ¯2003 < 0 であり，sn は整数だから， ®2003 = s2003 ¡ ¯2003 において，®2003 以下の最大の整数は s2003 である。 ここで以下の合同式を 10 を法として書くと s1 ´ 4，s2 ´ 8，s3 ´ 6，s4 ´ 2，s5 ´ 4，s6 ´ 8 だから，4，8，6，2 を繰り返す。2003 = 4 Þ 500 + 3 だから s2003 ´ 6 よって，求める値は 6 である。 （東大）
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