夏休み明けテスト 解答 める k の値は 1. (2点) (解) (1) 条件より多項式 A(x), B(x) を用いて k = −(α + β) = ±8, ±16 答 f (x) = (x2 + x + 1)A(x) + x + 3 g(x) = (x2 + x + 1)B(x) + 2x − 1 ±8, ±16 4. (2点) (解) と表される.よって √ f (θ) = 2 3 sin θ cos θ − 2 sin2 θ + 2 √ 1 − cos 2θ +2 = 3 sin 2θ − 2 · 2 √ = 3 sin ) 2θ + 1 ( 2θ +πcos +1 = 2 sin 2θ + 6 f (x) + g(x) = (x2 + x + 1)(A(x) + B(x)) + 3x + 2 と表される. (2) (1) のようにおくときある多項式 P (x) を用いて f (x)g(x) = (x2 + x + 1)P (x) + (x + 3)(2x − 1) = (x2 + x + 1)P (x) + 2x2 + 5x − 3 = (x2 + x + 1)P (x) + 2(x2 + x + 1) + 3x − 5 π π 25 5 2θ + < π より, 6 6 6 と表される. 答 k= (1) 3x + 2 (2) π π 5 π 7 2θ + = , π ⇐⇒ θ = , π 6 2 2 6 6 3x − 5 で最大値 3 をとる. 2. 答 (2点) √ −3 + 17 (解) x = のとき 2 √ 2x + 3 = 17 二乗して (2x + 3)2 = 17 ⇐⇒ 4x2 + 12x − 8 = 0 ⇐⇒ x2 + 3x − 2 = 0 最大値 3 そのときの θ π 7 , π 6 6 5. (2点) (解) 求める整数を N とおく.条件より整数 a, b を用 いて N = 101a + 99 = 99b + 97 と表される.よって が成り立つ.与式を x2 + 3x − 2 で割ると 101a − 99b = −2 · · · ⃝ 1 与式 = (x2 + 3x − 2)(x2 + x + 5) + 2x + 3 √ −3 + 17 なので,x = のとき,代入値は 2 √ √ −3 + 17 2· + 3 = 17 2 答 √ 17 3. また 101(−1) − 99(−1) = −2 · · · ⃝ 2 ⃝, 1 ⃝ 2 の辺々引くと 101(a + 1) = 99(b + 1) 101 と 99 は互いに素だから,整数 k を用いて { { a + 1 = 99k a = 99k − 1 ⇐⇒ b + 1 = 101k b = 101k − 1 (2点) (解) 2 解を α, β とおく.条件は,解と係数の関係を と表される.よって 用いて αβ = 15 (α, β ∈ Z) N = 101(99k − 1) + 99 = 9999k − 2 と表される.これより α, β の組としては と表される.1 5 N 5 9999 より,N = 9997 (α, β) = (±1, ±15), (±3, ±5), (±5, ±3), (±15, ±1) 答 (複合同順)が適する.よって,解と係数の関係より,求 9997 6. 7. (8点) (解) (2点) (解) 図のように座標を設定する. (Ⅰ) (1) .D .E(1, √ 3) f (x) = (x − a)2 − 2a2 + 4a + 1 よって頂点は (a, −2a2 + 4a + 1) (2) C は下に凸の放物線だから,頂点が x 軸より上にあ ればよい.条件は .I . (− 21 , C √ 3 2 ) −2a2 + 4a + 1 > 0 ⇐⇒ 2a2 − 4a − 1 < 0 √ √ 2− 6 2+ 6 ⇐⇒ <a< 2 2 −2a2 + 4a + 1 = −1 ⇐⇒ a2 − 2a − 1 = 0 √ ⇐⇒ a = 1 ± 2 (1) (2) . (3, F .Q 2 .J √ 3 2 ) .P (3) f (x) の x2 の係数は 1 だから,C の頂点の y 座標が −1 であればよい.条件は 答 √ 3 5 .3 .y = x+ 9 18 √ (a, −2a2 + 4a + 1) √ √ 2− 6 2+ 6 <a< 2 2 √ (3) a = 1 ± 2 (Ⅱ) f (x) の軸の方程式は x = a.軸で場合分けすると (1) a < 0 のとき,最大値は f (1) = −a2 + 2a + 2. 0 5 a のとき,最大値 f (−1) = −a2 + 6a + 2. (2) a < −1 のとき,最小値 f (−1) = −a2 + 6a + 2. −1 5 a 5 1 のとき,最小値 f (a) = −2a2 + 4a + 1. 1 < a のとき,最小値 f (1) = −a2 + 2a + 2. (3) M (a) − m(a) は次のように表される. .B(0, 0) .A(1, 0) ( √ ) 3 3 3 である. I は BE を 3 : 1 に内分するから,I , 4 4 ( √ ) 7 3 3 AI の中点を J とすると,J , 8 8 √ 直線 AI の傾きは −3 3 だから,折れ線の方程式は √ √ √ ( ) 1 7 3 3 3 5 3 y = √ x− + = x+ ···⃝ 1 8 8 9 18 3 3 また √ 直線 BC:y = − 3x · · · ⃝ 2 √ 直線 AF:y = 3(x − 1) · · · ⃝ 3 1 ⃝, 1 ⃝ 2 を連立して x を求めると x = − . 4 ∴BP : PC = 1 : 1 23 ⃝, 1 ⃝ 3 を連立して x を求めると x = . 16 ∴AQ : QF = 7 : 1 これより適当に比を用いて計算すると,小さい方の図形 29 の面積は,正六角形の面積の 倍. 96 −4a (a < −1 のとき) a2 − 2a + 1 = (a − 1)2 (−1 5 a < 0 のとき) M (a)−m(a) = a2 + 2a + 1 = (a + 1)2 (0 5 a 5 1 のとき) 4a (1 < a のとき) 答 29 倍 96 よって { −1 5 a < 0 , (a − 1)2 = 3 M (a) − m(a) = 3 ⇐⇒ { { 05a51 −1 5 a < 0 √ √ , ⇐⇒ a = −1 ± 3 a=1± 3 (1) (2) (3) a<0 のとき −a2 { 05a51 (a + 1)2 = 3 √ √ ⇐⇒ a = 1 − 3, −1 + 3 + 2a + 2, 0 5 a のとき −a2 + 6a + 2 a < −1 のとき −a2 + 6a + 2, −1 5 a 5 1 のとき −2a2 + 4a + 1, 1 < a のとき −a2 + 2a + 2 √ √ a =1 − 3, −1 + 3
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