解答 - H.Yagyu Web

夏休み明けテスト解答
める k の値は
1.
（２点）
(解) (1) 条件より多項式 A(x), B(x) を用いて
k = −(α + β) = ±8, ±16
答
f (x) = (x2 + x + 1)A(x) + x + 3
g(x) = (x2 + x + 1)B(x) + 2x − 1
±8, ±16
4.
（２点）
(解)
と表される．よって
√
f (θ) = 2 3 sin θ cos θ − 2 sin2 θ + 2
√
1 − cos 2θ
+2
= 3 sin 2θ − 2 ·
2
√
= 3 sin
) 2θ + 1
( 2θ +πcos
+1
= 2 sin 2θ +
6
f (x) + g(x) = (x2 + x + 1)(A(x) + B(x)) + 3x + 2
と表される． (2) (1) のようにおくときある多項式 P (x)
を用いて
f (x)g(x) = (x2 + x + 1)P (x) + (x + 3)(2x − 1)
= (x2 + x + 1)P (x) + 2x2 + 5x − 3
= (x2 + x + 1)P (x) + 2(x2 + x + 1) + 3x − 5
π
π 25
5 2θ + < π より，
6
6
6
と表される．
答
k=
(1)
3x + 2
(2)
π π 5
π 7
2θ + = , π ⇐⇒ θ = , π
6 2 2
6 6
3x − 5
で最大値 3 をとる．
2.
答
（２点）
√
−3 + 17
(解) x =
のとき
2
√
2x + 3 = 17
二乗して (2x + 3)2 = 17
⇐⇒ 4x2 + 12x − 8 = 0
⇐⇒ x2 + 3x − 2 = 0
最大値
3
そのときの θ
π 7
, π
6 6
5.
（２点）
(解) 求める整数を N とおく．条件より整数 a, b を用
いて
N = 101a + 99 = 99b + 97
と表される．よって
が成り立つ．与式を x2 + 3x − 2 で割ると
101a − 99b = −2 · · · ⃝
1
与式 = (x2 + 3x − 2)(x2 + x + 5) + 2x + 3
√
−3 + 17
なので，x =
のとき，代入値は
2
√
√
−3 + 17
2·
+ 3 = 17
2
答
√
17
3.
また
101(−1) − 99(−1) = −2 · · · ⃝
2
⃝,
1 ⃝
2 の辺々引くと
101(a + 1) = 99(b + 1)
101 と 99 は互いに素だから，整数 k を用いて
{
{
a + 1 = 99k
a = 99k − 1
⇐⇒
b + 1 = 101k
b = 101k − 1
（２点）
(解) 2 解を α, β とおく．条件は，解と係数の関係を
と表される．よって
用いて
αβ = 15 (α, β ∈ Z)
N = 101(99k − 1) + 99 = 9999k − 2
と表される．これより α, β の組としては
と表される．1 5 N 5 9999 より，N = 9997
(α, β) = (±1, ±15), (±3, ±5), (±5, ±3), (±15, ±1)
答
（複合同順）が適する．よって，解と係数の関係より，求
9997
6.
7.
（８点）
(解)
（２点）
(解) 図のように座標を設定する．
(Ⅰ) (1)
.D
.E(1,
√
3)
f (x) = (x − a)2 − 2a2 + 4a + 1
よって頂点は (a, −2a2 + 4a + 1)
(2) C は下に凸の放物線だから，頂点が x 軸より上にあ
ればよい．条件は
.I
. (− 21 ,
C
√
3
2 )
−2a2 + 4a + 1 > 0
⇐⇒ 2a2 − 4a − 1 < 0
√
√
2− 6
2+ 6
⇐⇒
<a<
2
2
−2a2 + 4a + 1 = −1
⇐⇒ a2 − 2a − 1 = 0
√
⇐⇒ a = 1 ± 2
(1)
(2)
. (3,
F
.Q 2
.J
√
3
2 )
.P
(3) f (x) の x2 の係数は 1 だから，C の頂点の y 座標が
−1 であればよい．条件は
答
√
3
5 .3
.y =
x+
9
18
√
(a, −2a2 + 4a + 1)
√
√
2− 6
2+ 6
<a<
2
2
√
(3) a = 1 ± 2
(Ⅱ) f (x) の軸の方程式は x = a．軸で場合分けすると
(1) a < 0 のとき，最大値は f (1) = −a2 + 2a + 2．
0 5 a のとき，最大値 f (−1) = −a2 + 6a + 2．
(2) a < −1 のとき，最小値 f (−1) = −a2 + 6a + 2．
−1 5 a 5 1 のとき，最小値 f (a) = −2a2 + 4a + 1．
1 < a のとき，最小値 f (1) = −a2 + 2a + 2．
(3) M (a) − m(a) は次のように表される．
.B(0, 0)
.A(1, 0)
(
√ )
3 3 3
である．
I は BE を 3 : 1 に内分するから，I
,
4
4
(
√ )
7 3 3
AI の中点を J とすると，J
,
8
8
√
直線 AI の傾きは −3 3 だから，折れ線の方程式は
√
√
√
(
)
1
7
3 3
3
5 3
y = √ x−
+
=
x+
···⃝
1
8
8
9
18
3 3
また
√
直線 BC：y = − 3x · · · ⃝
2
√
直線 AF：y = 3(x − 1) · · · ⃝
3
1
⃝,
1 ⃝
2 を連立して x を求めると x = − ．
4
∴BP : PC = 1 : 1
23
⃝,
1 ⃝
3 を連立して x を求めると x = ．
16
∴AQ : QF = 7 : 1
これより適当に比を用いて計算すると，小さい方の図形
29
の面積は，正六角形の面積の倍．
96

−4a (a < −1 のとき)



 a2 − 2a + 1 = (a − 1)2 (−1 5 a < 0 のとき)
M (a)−m(a) =

a2 + 2a + 1 = (a + 1)2 (0 5 a 5 1 のとき)



4a (1 < a のとき)
答
29
倍
96
よって
{
−1 5 a < 0
,
(a − 1)2 = 3
M (a) − m(a) = 3 ⇐⇒
{
{
05a51
−1 5 a < 0
√
√ ,
⇐⇒
a = −1 ± 3
a=1± 3
(1)
(2)
(3)
a<0
のとき −a2
{
05a51
(a + 1)2 = 3
√
√
⇐⇒ a = 1 − 3, −1 + 3
+ 2a + 2, 0 5 a のとき −a2 + 6a + 2
a < −1 のとき −a2 + 6a + 2, −1 5 a 5 1 のとき −2a2 + 4a + 1, 1 < a のとき −a2 + 2a + 2
√
√
a =1 − 3, −1 + 3

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