f(x, y) - Home Page of Math CM Nagoya Univ.

• f (x, y) = αx2 + βy 2 のグラフ形．
(a) α > 0, β > 0
(b) α < 0, β < 0
(c) αβ < 0
#
$# $
" α γ
α 2 β 2
1!
x
• f (x, y) = x + y + γxy =
のグラフ形．
x y
2
2
2
γ β
y
f (x, y) の (x, y) = (0, 0) でのヘシアン行列 : H =
#
fxx (0, 0) fxy (0, 0)
fyx (0, 0) fyy (0, 0)
$
=
H の固有値が２つとも正： f (x, y) は (0, 0) で極小値をとる．
上図の (a) のようなグラフ形．
H の固有値が２つとも正 ⇐⇒ det H > 0, α > 0.
H の固有値が２つとも負： f (x, y) は (0, 0) で極大値をとる．
上図の (b) のようなグラフ形．
H の固有値が２つとも負 ⇐⇒ det H > 0, α < 0.
H の固有値の符号が異なる： f (x, y) は (0, 0) で極大でも極小でもない．
上図の (c) のようなグラフ形．
H の固有値の符号が異なる ⇐⇒ det H < 0．
#
α γ
γ β
$
.

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