1/4 fx dx dx + fy dy dx = 0 [p.111公式6.1] ∴ fx(x, y) ︸︷︷︸ 1⃝ +fy

126 ページ
章末問題 6.8(1)
解答
1/4
f (x, y) = 0 の両辺を x で微分して
dx
dy
fx + fy
=0
[p.111 公式 6.1]
dx
dx
∴ fx(x, y) + fy (x, y) y ′ = 0
(∗)
| {z } | {z } |{z}
1
2
3
⃝
⃝
⃝
126 ページ
章末問題 6.8(1)
解答
2/4
(∗)の両辺をさらに x で微分して
dx
dy
fxx + fxy
| dx {z dx}
1 ′
⃝
積の微分公式
z(
}|
{
)
′
dx
dy
dy
′
+ fyx + fyy
y + fy
=0
dx
| dx {z dx } |{z} |{z} |{z}
2 ′
3 ′
3
2
⃝
⃝
⃝
⃝
章末問題 6.8(1)
126 ページ
解答
3/4
fxx + 2fxy y ′ + fyy y ′2 + fy y ′′ = 0 [∵ fxy = fyx]
両辺に fy を掛けて，(∗)から fy y ′ = −fx であ
2
ることを用いると
′
2
′ 2
3 ′′
fxxfy + 2fxy fy (fy y ) + fyy (fy y ) + fy y = 0
3 ′′
fxxfy − 2fxy fxfy + fyy fx + fy y = 0
2
2
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章末問題 6.8(1)
解答
4/4
2
2
f
f
−
2f
f
f
+
f
f
xx y
xy x y
yy x
′′
∴ y =−
3
fy


(∗)を y ′ について解くと


f
x
(6.21) 式 y ′ = − が得られる．
fy

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