problem set 1 answers (New !! on November 13)

Calculus 2 Problem Set 1 Answers October 2014
級数の収束・発散を判定する基本ツール。
Theorem A.
∑
an 収束 ⇒ lim an = 0
Deﬁnition. 全ての n に対して an > 0 であるとき
∑
an を正項級数と呼ぶ。
以下正項級数に関する基本事項。
Theorem B. an ≤ bn (n ∈ N) とする。このとき
∑
∑
∑
∑
bn < ∞ =⇒
an < ∞. 対偶をとって an = ∞ =⇒ bn = ∞.
Theorem C. 極限 lim abnn = ρ が存在し ρ 6= 0 とする。このとき
∑
∑
an < ∞ ⇐⇒
bn < ∞
Theorem D(Ratio Test (比テスト)). 極限 lim an+1
= ρ が存在するとする。
an
∑
∑
(i) ρ < 1 =⇒ an < ∞, (ii) ρ > 1 =⇒ an = ∞, (iii) ρ = 1 =⇒
inconclusive (ケース・バイ・ケース).
√
Theorem E(n-th Root Test (n 乗根テスト)). 極限 lim n an = ρ が存在するとする。
∑
∑
(i) ρ < 1 =⇒ an < ∞, (ii) ρ > 1 =⇒ an = ∞, (iii) ρ = 1 =⇒
inconclusive (ケース・バイ・ケース).
Deﬁnition. 正項級数
∑
an に対して
∑
(−1)n+1 an を交代級数と言う。
Theorem F (Leibniz). もし数列 {an } が単調に減少して 0 に収束するなら、交代級数
∑
(−1)n+1 an は収束する。
∑
∑
Deﬁnition. 正項級数とは限らない級数 an に対して級数 |an | が収束するとき級数
∑
∑
∑
an は絶対収束するという。級数 an は収束するが絶対収束しないとき級数 an は
条件収束するという。
Theorem G. 級数
∑
an が絶対収束すれば、級数そのものも収束し、|
1
∑
an | ≤
∑
|an |.
以下解答。
[1] (1)-(3) 等比級数 (1) 45 , (2) 23
, (3) 17
2
6
4
1
1
=
−
=⇒
(4n − 3)(4n + 1)
4n − 3 4n + 1
(4)(5) 一般項の部分分数展開を用いる。(4)
Sn =
(5)
(1
( 1
1
1) (1 1)
1 )
+
+ ···
=1−
−
−
−→ 1
1 5
5 9
4n − 3 4n + 1
4n + 1
5
5
40n
=
−
=⇒
(2n − 1)2 (2n + 1)2
(2n − 1)2 (2n + 1)2
−
(5
(
)
5
5) (5
5)
5
5
Sn = 2 − 2 + 2 − 2 + · · · +
−
=5−
−→ 5
2
2
1
3
3
5
(2n − 1)
(2n + 1)
(2n + 1)2
[2] (1) 公比 0 < e−2 < 1 の等比級数の和。S =
e2
e2 −1
(2) Divergent. 部分和
Sn = (log 1 − log 2) + (log 2 − log 3) + · · · + (log n − log(n + 1)) = − log(n + 1) −→ −∞,
(3) (2) と同様に部分和を計算する。Convergent. S = 1, (4) (2)(3) と同様。Convergent.
S = − log1 2
∑
[3] (1) 発散。Thm A と lim an → 1 6= 0, (2) 発散。Thm B. Compare with
1/n,
∑
∑
(3) 収束。Thm B. Compare with
1/2n , (4) 発散。Thm B. Compare with
1/n,
√
√
(5) 発散。Thm A. (6) 発散。 n1 ≤ nn ≤ lognn , n ≥ 2, (7) 発散。Thm A. (8) 収束。Thm
∑
B. Compare with
1/2n , (9) 収束。Thm D. (10) 発散。Thm D. (11) 収束。Thm D.
(12) 発散。発散級数ー収束級数＝発散級数。(13) 収束。Thm D. (14) 。収束。Thm D.
1/n
(15) an+1 = an
1/n−1
= (an−1 )1/n = · · · (1/3)1/n! → 1 as n → ∞ 発散。Thm A.
[4] (1) 収束。Thm F. (2) 発散。Thm A. (3) 収束。Thm F.
[5] (1) 発散
∑
1
n
と比較、（２）絶対収束、（３）条件収束、（４）発散。Thm A. (5) 絶対
収束。Thm E.
[6] (1) r = 10, −8 < x < 12, x = −8, 12 で発散、(2) r = ∞, (3)
r = 1, −1 < x < 1, x = −1 で条件収束、x = 1 で発散、(4) r = 1, −1 < x < 1, x = −1, 1
で発散、(5) r = 1, −1 ≤ x ≤ 1, x = ±1 でも絶対収束。このことをキチンと見るには、前
期学習した広義積分が必要となる。
2
[7] 等比級数であるから、公比の絶対値が１未満である条件を見つければよい。(1)
4
2
√
−1 < x < 3,
, (2) 0 < x < 16,
2
3 + 2x − x
4− x
3

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