( a1 = 1,a2 = 3 an+2 = 3an+1

１３余りに注目した数列
整数からなる数列 {an } を漸化式
{
a1 = 1, a2 = 3
an+2 = 3an+1 − 7an (n = 1, 2, …)
(1)an が偶数となることと、n が３の倍数となることは同値であることを示せ。
(2)an が 10 の倍数となるための条件を (1) と同様の形式で求めよ。
解法１
(1)
{
a1 = 1, a2 = 3…[1]
an+2 = 3an+1 − 7an (n = 1, 2, …)
[1] より
a3 = 3a2 − 7a1 = 3・3 − 7・1 = 2
また
an+3 = 3an+2 − 7an+1
= 3(3an+1 − 7an ) − 7an+1 = 2an+1 − 21an
= an + 2(an+1 − 11an )(n = 1, 2, …）…[2]
よって、an+3 − an は偶数であり、an+3 と an の偶奇は一致する。a1 , a2 は奇数、a3 は偶
数であるから、an が偶数となることと、n が３の倍数となることは同値である。
（証明終）
(2)[1] より
a4 = 3an+3 − 7an+2
= 3(2an+1 − 21an ) − 7(3an+1 − 7an )(∵ [1], [2])
= an − 15(an+1 + an )(n = 1, 2, …)
よって、an が 5 の倍数であれば an+4 も 5 の倍数となり、an が 5 の倍数でなければ
、an+4 も 5 の倍数でない。
いま、a1 , a2 , a3 は５の倍数ではなく、a4 は５の倍数であるから、an が５の倍数とな
ることと、n が４の倍数であることは同値である。…[3]
「an が１０の倍数であること」と「an は偶数であり、かつ５の倍数であること」は
同値である。
(1) と [3] により、これは「n が３の倍数であり、かつ４の倍数であること」すなわ
ち「n が１２の倍数であること」と同値である。
ゆえに、an が１０の倍数となるための条件は、n が１２の倍数となることである
。…（答）
1
解法２
合同式による記述を以下に示す。
(1)mod2 で考えると
3 ≡ 7 ≡ 1 であるから
an+3 ≡ an+2 − an+1 ≡ (an+1 − an ) − an+1 = −an ≡ an (≧ 1)
すなわち an+3 と an の偶奇は一致する。
a1 = 1（奇数）、a2 = 3（奇数）、a3 = 2（偶数）
より、an が偶数となることと n が３の倍数となることは同値である。
（証明終）
(2)mod5 で考えると
an+4 ≡ 3an+3 − 7an+2
≡ 3an+3 + 3an+2
≡ 3(3an+2 + 3an+1 ) + 3an+2
≡ 2an+2 + 4an+1
≡ 2(3an+1 + 3an ) + 4an+1
≡ an
すなわち、an+4 と an とは５で割ったときの余りは等しい。
a1 = 1, a2 = 3, a3 = 2, a4 = −15
であるから「an が５の倍数となること」と「n が４の倍数となること」は同値であ
る。…[1]
「an が１０の倍数であること」と「an が５の倍数かつ２の倍数であること」は同値
である。
(1) と [1] により、これは「n が３の倍数かつ４の倍数となること」と同値である。
よって、n が１２の倍数となることが条件である。…（答）
2

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