独自ルールを用いた “ハノイの塔”の拡張

立命館高校３年９組
馬部由美絵
フランスの数学者エドゥアール・リュカが1883年
に発売した数学のゲーム
 ルールは以下の３つ
・左から右の棒へ移動させる
・一回につき一枚のみ移動可能
・小さい円盤の上に大きい円盤は乗せれない

 ハノイの塔について、棒に刺さっているす
べての円盤を、別の棒に移し替えるために
必要な、最小の手数回数を求めるための一
般項を求める。『ハノイの塔』のルールを
変化させ、拡張する。
 ルール
・左から右の棒へ移動させる
・一回につき一枚のみ移動可能
・小さい円盤の上に大きい円盤は乗せれない
〈1枚〉n = 1
〈2枚〉n = 2
〈3枚〉n = 3
a1= 1
a2 = 3
a3 = 7
〈4枚〉n = 4 a4 = 15
an-1 のときと同じ移動
一番下の円盤を隣の棒に移す移動
an  2an 1  1
an  1  2an  1
an  1  an  12 n 1  2 n
an  2 n  1
an = 2n – 1 ・・・① ( n= 1, 2, 3, )
〈証明〉
(1) n = 1の時21 – 1 = 1 ゆえに、①は成り立つ。
(2) n = kの時①が成り立つと仮定する。
a k= 2k - 1・・・②
n = k + 1の時を考えると、②より
ak+1 = 2k – 1 + 2 = 2 k+1 - 1
ゆえに、①はn = k + 1の時も成り立つ。
(1) (2)より、①は全ての自然数 n について成り立つ。
したがって、求める一般項は an = 2n - 1
 ルール
・左から右の棒へ移動させる
・１回につき１枚のみ移動可能
・小さい円盤の上に大きい円盤は乗せれない
・隣の棒にしか移動させることができない
〈1枚〉n = 1
a1= 2
〈2枚〉n = 2
a2 = 8
〈3枚〉n = 3
a3 = 26
〈4枚〉n = 4
a4 = 80
an-1 のときと同じ移動
一番下の円盤を隣の棒に移す移動
an 1  3an  2
a1  2
a1  2
a2  a1  1  a1  1  a1  3a1  2  8
a3  a2  1  a2  1  a2  3a2  2  26
a4  a3  1  a3  1  a3  3a3  2  80

an 1  1  3an  1
bn 1  3bn
b1  a1  1  3
bn  3  3n 1  3n
bn  an  1より
an 1  3an  2
an  bn  1  3n  1
 a n  3n  1
an  3n  1・・・①
〈証明〉
（１）
n  1の時 an  31  1  2ゆえに、①は成り立つ。
（２）
n  kの時①が成り立つと仮定する。


ak  1  3ak  2  3 3k  1  2  3k 1  3  2  3k 1  1
ゆえに、①は n  k  1の時も成り立つ。
（１）（２）より、①
以上より、求める一般
はすべての自然数nについて成り立つ。
項はan  3n  1
 ルール
・左から別の棒へ移動させる
→つまり真ん中の棒へ移動させる
・１回につき１枚のみ移動可能
・小さい円盤の上に大きい円盤は乗せれない
・隣の棒にしか移動させることができない
〈1枚〉 n = 1
a1= 1
〈2枚〉 n = 2
a2 = 4
〈3枚〉 n = 3
a3 = 13
〈4枚〉 n = 4
a4 = 40
an-1 のときと同じ移動
一番下の円盤を隣の棒に移す移動
a1  1
an 1  3an  1
a2  a1  a1  1  a1  3a1  1  4
a1  1
a3  a2  a2  1  a2  3a2  1  13
1
1

an 1   3 an  
2
2

bn 1  3bn
a4  a3  a3  1  a3  3a3  1  40

an 1  3an  1


1 n
3  1 ・・・①
2
〈証明〉
an 
（１）
（２）
1
3  1  1ゆえに、①は成り立つ。
2
n  kの時①が成り立つと仮定する。
n  1の時 a1 

1 3

2 2
1
3
bn   3n 1   3n
2
2
1
bn  an  より
2
1 1
1
a n   3n   3n  1
2 2
2
1
 a n  3n  1
2
b1  a1 



1
1 1
1

ak 1  3ak  1  3 3k  1   1   3k 1   3k 1  1
2
2 2
2

ゆえに、①は n  k  1の時も成り立つ。
（１）（２）より、
①は全ての自然数nについて成り立つ。
1
以上より、求める一般項はan  3n  1
2






 ルール
・左から別の棒へ移動させる
→つまり真ん中の棒へ移動させる
・１回につき１枚のみ移動可能
・小さい円盤の上に大きい円盤は乗せれない
・隣の棒にしか移動させることができない
・一方通行のみの移動
〈1枚〉n = 1 a1= 1
〈2枚〉n = 2 a2 = 5
〈3枚〉n = 3 a3 = 15
an 1  1
と同じ移動（下２枚より上に乗っている円盤を２個先の棒へ）
2
一番下の円盤を隣の棒に移す移動
二番目に下にある円盤を隣の棒に移す移動
an-1と同じ移動（下２枚より上に乗っている円盤を１個先の棒へ）
an  2an 1  an  2   3
a1  1

a2  5

a*  2 a*  a*  3
a 1
a 1
a 1
a 1
a3  2  1  a1  1  2  1  2  1  a1  1  2  2a2  a1   3  15
2
2
2
2
a 1
a 1
a 1
a 1
a4  3  1  a2  1  3  1  3  1  a2  1  3  2a3  a2   3  43
2
2
2
2

a *  1
an  bn  a *  bn  1とおく
an  1  bn  0
bn  1  2bn 1  1  bn  2  1  3
an  2an1  an2   3
bn  2bn 1  bn  2 斉次式
bn  cx nとおく
〈 bnの証明〉




cx n  2 cx n 1  cx n  2


bn  c1  1  3  c2  1  3 と
x n  2 x n 1  x n  2
右辺  2bn 1  bn  2 　x2  2x  2
n
n
x  0とする
bn  2bn 1  bn  2 　において
   2c  1  3   2c  1  3   2c  1  3 
 c 21  3   1  3   c 21  3   1  3  
 c 21  3   1  3  1 c 21  3   1  3  1
 c 1  3  4  2 3  c 1  3  4  2 3 
 c 1  3  1  3   c 1  3  1  3 
 c 1  3   c 1  3 
n 1
 2c1  1  3
n 1
n2
2
1
n 1
n2
1
n 1
n2
n2
1
2
n2
n2
2
n2
n2
2
1
2
n
1
 bn  左辺
n
2
n2
2
2
1


2
n2
x  1 3

bn  c1  1  3
an  bn  1より

an  c1  1  3

 c2  1  3



 c2  1  3


n
n
n
n
1



ルール①と、一般的なルールの場合の一般項を比較す
ると、公比が異なるよく似た数式になることがわかり
ます。どちらも等比数列の式から－１という式になり
ます。シンプルできれいな数式になりました。
ルール①と、ルール②の一般項を比較すると、ルー
ル①の数の２分の１がルール②の時の数になることが
わかります。円盤の移動先の棒の位置を、一つ手前に
変えたことにより、数が２分の１になりました。ここ
から、もし円盤の異動先の棒の位置を、一つ先に変え
ると、ルール①の数の２倍になるのではないかと考え
られます。
ルール③の一般項は、他の一般項とは少し違ってお
り、二段階の漸化式になりました。一般項に無理数が
入っているのにも関わらず、自然数 n 代入すると整
数となって出てきます。
 ルール③の時の一般項のｃ１、ｃ２を求める。
 一般項ａｎの証明をする。
 別の独自のルールを考えて拡張する。
 今までは独自のルールによって円盤の移動
の条件を限定してきたので、逆に円盤の移
動の条件を広げられるような新しいルール
を考える。

Download Report