日日の演習 d e a b sSSH 課題探究 r a=¡ 9² 19 Ñ すべての自然数 k に対して， Z k+1 (x3 + ax2 + bx + c) dx = k3 k が成り立つように定数 a，b，c の値を定めよ。 Ò めよ。 (1) を用いて，和 13 + 23 + 33 + ÝÝ + n 3 を求上記の考え方と同様に，12 + 22 + 32 + ÝÝ + n 2 Ó を求めよ。 R 赤羽智大君のレポートより Ñ Z k+1 k (x3 + ax2 + bx + c) dx k+1 = = x4 a 3 b 2 + x + x + cx˜ 4 3 2 k (k + 1)4 a(k + 1)3 b(k + 1)2 + + +c(k+1) 4 3 2 ¡ $ = k4 ak3 bk2 + + + ck< 4 3 2 a(k3 + 3k2 + 3k + 1) k4 + 4k3 + 6k2 + 4k + 1 + 4 3 + b(k2 + 2k + 1) + ck + c 2 ¡ $ ak3 bk2 k4 + + + ck< 4 3 2 3ak2 + 3ak + a 4k3 + 6k2 + 4k + 1 + 4 3 2bk + b + +c 2 1 = f12k2 + 18k2 + 12k + 3 12 +12ak2 + 12ak + 4a + 12kb + 6b + 12cg 1 = f12k3 + (18 + 12a)k2 + (12 + 12a + 12b)k 12 +3 + 4a + 6b + 12cg(= k3 ) = この等式が，すべての自然数 k に対して成り立つから，係数を比較して， 18 + 12a = 0 Ò 条件式は， Z k+1 3 2 1 #x3 ¡ x + x; dx = k3 2 2 k となるので， Z2 3 2 1 #x3 ¡ k = 1 のとき， x + x; dx = 13 2 2 1 Z3 3 2 1 #x3 ¡ k = 2 のとき， x + x; dx = 23 2 2 2 Z4 3 2 1 #x3 ¡ k = 3 のとき， x + x; dx = 33 2 2 3 ÝÝ Z n+1 3 2 1 #x3 ¡ k = n のとき， x + x; dx = n 3 2 2 n 辺々を加えて， Z n+1 3 2 1 #x3 ¡ x + x; dx = 13 + 23 + 33 + Ýn 3 2 2 1 また， Z n+1 3 2 1 #x3 ¡ x + x; dx 2 2 1 n+1 x4 x3 x2 ˜ ¡ + 4 2 4 1 = (n + 1)4 (n + 1)3 (n + 1)2 ¡ + 4 2 4 1 1 1 ; ¡ # ¡ + 4 2 4 = n 4 + 4n 3 + 6n 2 + 4n + 1 n 3 + 3n 2 + 3n + 1 ¡ 4 2 = + n 2 + 2n + 1 4 1 f2n 4 + 8n 3 + 12n 2 + 8n + 2 8 = ¡(4n 3 + 12n 2 + 12n + 4) + 2n 2 + 4n + 2g = 2n 4 + 4n 3 + 2n 2 8 = n2 (n + 1)2 4 Ó Z k+1 k (x2 + dx + e) dx = k2 この等式がすべての自然数 k に対して成り立つように，定数 d，e を定める。 Z k+1 (x2 + ex + 3) dx k k+1 X 12 + 12a + 12b = 0 = 3 + 4a + 6b + 12c = 0 12a = ¡18 Ú a = ¡ 3 1 ，b = ，c = 0 2 2 3 2 = dx2 x3 + + ex˜ 3 2 k (k + 1)3 d(k + 1)2 + + e(k + 1) 3 2 3 ; + 12b = 0 2 1 12b = 6 Ú b = 2 1 3 + 12c = 0 3 + 4 ¢ #¡ ; + 6 ¢ 2 2 12c = 0 Ú c = 0 ¡ $ 以上より， = 12 + 12 ¢ #¡ = k3 dk2 + + ek< 3 2 k3 + 3k2 + 3k + 1 d(k2 + 2k + 1) + 2 +bk + b ¡ $ dk2 k3 + + ek< 3 2 1 f6k2 + 6k + 2 + 6dk + 3d + 6eg(= k2 ) 6 日日の演習 d e a b 係数を比較して， U +ff(4) ¡ f(3)g + Ý 6 + 6d = 0 +ff(n) ¡ f(n ¡ 1)g + ff(n + 1) ¡ f(n)g 2 + 3d + 6e = 0 = ¡f(1) + f(n + 1) 6d = ¡6 Ú d = ¡1 1 1 1 ; ¡ + 4 2 4 1 1 1 + (n + 1)4 ¡ (n + 1)3 + (n + 1)4 4 2 4 1 1 1 k = (n + 1)2 S (n + 1)2 ¡ (n + 1) + 4 2 4 1 2 = n (n + 1)2 4 = ¡# 1 2 ¡ 3 + 6e = 0 Ú e = 6 よって， Z k+1 1 #x2 ¡ x + ; dx = k2 6 k n Z k+1 n P P 1 #x2 ¡ x + ; dx = Ú k2 6 k=1 k k=1 Z n+1 n P 1 #x2 ¡ x + ; dx = Ú k2 6 1 k=1 ここで， Z n+1 n+1 x3 x2 x 1 ˜ #x2 ¡ x + ; dx = ¡ + 6 3 2 6 1 1 (n + 1)3 (n + 1)2 n+1 = ¡ + 3 2 6 1 1 1 ; ¡ # ¡ + 3 2 6 1 = f2n 3 + 6n 2 + 6n + 2 ¡ 3n 2 ¡ 6n ¡ 3 + n + 1g 6 2n 3 + 3n 2 + n = 6 n 2 = (2n + 3n + 1) 6 n = (2n + 1)(n + 1) 6 n Ú 12 + 22 + 32 + Ý + n 2 = (n + 1)(2n + 1) 6 n P n(n + 1)(2n + 1) n 2 (n + 1)2 ， k2 = とい q k = 4 6 k=1 k=1 う有名な公式を積分を用いて導く。定積分の計算等を丁寧にやっている。この量の計算をミスなく完成させる計算力を持ちたい。また，計算のポイントとして， Z2 Z3 Z n+1 f(x) dx + f(x) dx + Ý + f(x) dx 1 2 n Z n+1 = f(x) dx n P 1 R 田村知世さんのレポートより Ò 省略 n n Z P P 3 k = k=1 = n P k=1 k (1) と同様に計算して，k についての恒等式となるような d，e の値は， d = ¡1，e = k+1 1 3 1 2 1 x ¡ x + x— = k2 3 2 6 k n P 12 + 22 + 32 + Ý + n 2 = k2 となるので， Ú k=1 g(x) = k=1 k #x3 ¡ 1 3 2 x + x; dx 2 2 k+1 1 3 1 2 1 4 x ¡ x + x — 4 2 4 k k n P k2 = k=1 n P 1 3 1 2 1 x ¡ x + x とおくと， 3 2 6 k=1 g(x)— k+1 k = fg(2) ¡ g(1)g + fg(3) ¡ g(2)g + Ý +fg(n) ¡ g(n ¡ 1)g + fg(n + 1) ¡ g(n)g = ¡g(1) + g(n + 1) 1 1 1 ; ¡ + 3 2 6 1 1 1 (n + 1)2 + (n + 1) + (n + 1)3 ¡ 3 2 6 (n + 1) = f2(n + 1)2 ¡ 3(n + 1) + 1g 6 1 = n(n + 1)(2n + 1) 6 よって， 1 n(n + 1)(2n + 1) 12 + 22 + 32 + Ý + n 2 = 6 = ¡# n P k=1 k+1 1 6 よって， Z k+1 1 #x2 ¡ x + ; dx = k2 6 k q 1 4 1 3 1 2 f(x) = x ¡ x + x とおく。 4 2 4 k+1 n P f(x)— = ff(2) ¡ f(1)g + ff(3) ¡ f(2)g k=1 2 1 13 + 23 + 33 + Ý + n 3 = S n(n + 1)k 2 Z k+1 Ó (x2 + dx + e) dx = k2 とおく。 3 を使っている。 n P n(n + 1) k= も同様に導くことができるので，確かめて 2 k=1 みよ。 Ñ 2 1 n(n + 1)k 2 よって， =S f(x)— k+1 k = n P ff(k + 1) ¡ f(k)g k=1 = ff(2) ¡ f(1)g + ff(3) ¡ f(2)g +ff(4) ¡ f(3)g + Ýff(n + 1) ¡ f(n)g = ¡f(1) + f(n) がポイントである。定積分の性質のひとつ前の計算を使っている n n n P P P が， k， k2 ， k3 の教科書の導き方の仕組みに近いものが k=1 ある。 k=1 k=1