2015 東北大（文系）前期

２０１５　東北大（文系）前期
第１問
(1)　a n 2 -2a n a n +1 + a n +1 2 = 30a n + a n +11 ……①　とする。
① より
a n +1 2 -2a n +1 a n+2 + a n+2 2 =30 a n+1 + a n +21 ……②
も成り立つので，②-① から
a n +2 2 - a n 2 - 2a n +1 0a n+2 - a n1 =30 a n +2 - a n 1 0a n+2 - a n1 0a n+2 + a n1 - 2a n +1 0a n +2 - a n 1 =30 a n+2 - a n1
条件 a n+1 > a n から a n+2 - a n ' 0 なので，両辺を a n+2 - a n で割って
a n +2 + a n -2a n+1 =3 +　a n + a n + 2 = 2 a n + 1 + 3
(2)　(1) の結果から
a n +2 - a n +1 = a n +1 - a n + 3
とでき， b n = a n+1 - a n とおくと
b n +1 = b n +3
となるから，数列 6 b n7 は公差 3 の等差数列である。また，① から
a 1 2 - 2a 1a 2 + a 2 2 = 30a 1 + a 21 9 - 6a 2 + a 2 2 = 303 + a 21 a 2 0a 2 - 91 = 0　+　a 2 =0 , 9
a 2 > a 1 =3 だから， a 2 = 9 である。よって， b 1 = a 2 - a 1 =9-3 =6 であり
b n =6+3 0 n -1 1 =3 n + 3
(3)　数列 6 a n 7 の階差数列が 6 3n +3 7 なので， n ) 2 において
n -1
1
3
3
a n =3+ P 0 3 k + 3 1 =3+ 0 n -1 1 0 6 +3n 1 = n 2 + n
2
2
2
k =1
n =1 とすると
3 2 3
3
3
n + n = + =3
2
2
2
2
となり， a 1 に等しい。したがって，すべての自然数 n に対して
an =
3 2 3
n + n
2
2
２０１５　東北大（文系）前期
第２問
(1)　明らかに AP >BP なので 4 PAB ) 90 , となることはない。
y
y =U 3 x
よって， ¦ABP が鋭角三角形になる条件は
P
4APB < 90, かつ　4PBA < 90,
>
2
点 P が線分 AB を直径とする円の外側
点 P が直線 x = 2 の左側
であるから，点 P の x 座標に注目して
A
-2
1 < t < 2
O
3t
(2)　t ' 2 のとき BP の傾きが U
なので， A 0 -2 , 0 1 を通り，
t -2
1
x
B
2
x
y
BP に垂直な直線の方程式は
y =-
B
2
P
t -2
0 x +2 1 （これは t = 2 のときも成り立つ。）
U3 t
また，点 P を通り， AB に垂直な直線の方程式は x = t であり，
A
-2
これらの交点が求める垂心である。
4-t 2
+　t ,
U3 t
8
O
9
z
(3)　xyz 空間において，題意の四面体の 3 点 A , B , P が重なる
8
4- t 2
, z
U3 t
点は t ,
4- t 2
t 2 +
U3 t
8
9
2
9
A
0z > 0 1 とおけて， OA= 2 なので
4 - t 4 + 5t 2 - 41
z2= 0
3 t2
+ z 2 =2 2
R
M=O
y
2 -t 4 + 5 t 2 - 4
+　z = U
U3 t
B
Q
P
x
よって，四面体の体積を V0 t 1 とすると
V0 t 1 =
=
1
1 1
3 t 2 -t 4 + 5t 2 - 4
△MQR ･ z = ･･ 2 ･ U ･ U
3
3 2
2
U3 t
1
3
] 8
- t2-
(1) から 1< t 2 <4 なので， t 2 =
5
2
9
2
+
9
4
] のとき V0 t 1 は最大で，その値は
5
1
9
1
V
8 ] 2 9= 3 ] 4 = 2
5
つまり t =
2
5
2
《注》　RQSAB だから，題意の通りに折り曲げたとき，点 P の xy 平面への正射影 P- の軌跡は， P
を通る AB の垂線である。点 A , B についても同様なので， A , B , P が重なる点は (2) で求めた
垂心を z 軸方向に移動した位置にある。
なお，¦ABP の垂心が¦ABP の周および外部にあると，題意のような四面体は作ることができ
ない。そして，¦ABP の垂心が内部にあるのは鋭角三角形のときである。
２０１５　東北大（文系）前期
第３問
(1)　2 次方程式 (*) が実数解をもつ条件は
判別式 D = p 2 2 -4 ･ 2p 1 ･ 2p 3 ) 0 +　p2 2 ) 16p 1 p3
これを満たすのは
p2 =1 , 2 , 3 のとき　1 > p 1 p3 なので，なし
p2 =4 , 5
のとき　1 ) p 1 p3 なので，0p 1 , p 31 = 0 1 , 1 1
のとき　2 ) p 1 p3 なので，0p 1 , p 31 = 0 1 , 1 1 , 0 1 , 2 1 , 0 2 , 1 1
p2 =6
よって，求める確率は
2 ･ 1+ 1 ･ 3
5
=
216
63
(2)　解と係数の関係から
ab = 1
p3
=1
p1
p 3= p 1
これを満たし， (1) に適さないのは
p2 =1 , 2 , 3 のとき　0p 1 , p 31 = 0 1 , 1 1 , 0 2 , 2 1 , … , 0 6 , 6 1
p2 =4 , 5 , 6 のとき　0p 1 , p 31 = 0 2 , 2 1 , … , 0 6 , 6 1 よって，求める確率は
3･6+ 3･5
11
=
3
72
6
２０１５　東北大（文系）前期
第４問
(1)　f 0 t 1= -4t 3 + 0 a +3 1 t , a >0 より
8 ]
f -0t 1= -12 t 2 + a +3=-12 t +
a=
]
98t -]
a +3
12
a+3
12
9
a +3
とおくと f -0 t 1 = -12 0 t + a 10 t - a 1 なので，次のように場合分けできる。
12
ⅰ） a < 1 つまり 0< a <9 の場合　ⅱ） 1 ( a つまり 9 ( a の場合
0
t
f -0 t 1
f 0 t1
…
a
…
+
0
-
9
1
t
0
……
f -0 t 1
f 0 t1
:
1
+
9
ここで
f 0a 1= -4a 3 + 0a + 3 1 a =-4 a 3 +12 a 2 ･ a = 0 2a 13 =
より，最大値 M 0 a 1 は
0 < a <9 のとき M 0a 1 =
(2)　(1) から
g 0x 1 =
F
1
x + 31 3
27 0
0x -1 1
8
a+ 3
3
9
3
2
9
3
2
f 0 1 1 = a -1
,
， 9 ( a のとき M 0a 1 = a - 1
y =0 x - 1 1 2
00 < x < 9 1
2
8
a +3
3
y
09 ( x 1
であるから， y = g 0 x 1 のグラフは右の太線部。
原点を通る接線を考えるので， 0< s <9 としてよく，
このとき接線の方程式は
y = g -0 s 10 x - s 1 + g 0 s 1 =
1
1
s +3 120x - s 1+
s +31 3
90
27 0
これが原点を通るので
-3
1
1
- s 0s + 3 1 2 +
s + 3 1 3= 0
9
27 0
s=
3
2
O 1
y=
9
x
1
x+ 313
27 0
0 8 s +3 ' 0 1
このとき，接線の傾きは　g -
2
3
1 3
9
=
+3 =
2
9 2
4
8 9 8
9
M a
(3)　k = 0 1 の両辺を 2 乗して
Ua
M a
k 2 = 6 0 17
a
2
k 2a = g 0 a 1
これが正の実数解 a をもつのは， y = k 2 x , y = g 0x 1 のグラフが x >0 の部分で交わるときだから，
(2) より
k2 )
9
4
k)
3
2
3
0 8 k >0 1 +　最小値： 2

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