統計学は面白い（その3) - R Statistics Global

統計学は面白い（その３)
小原堯
（その１）において日経平均株価 (x) と A 社の株価 (y) の相関を 1 次関数
y = a + bx
(1)
を使って調べた．その結果，この回帰式は現実のデータと大きく離れている部
分があることが分かった．このデータに 1 次の回帰式を使うとこのような結果
になる．それではどの様な式を使えば良いだろうか．２次式, ３次式，指数関数，
etc. これらの内どれを選ぶかが問題である．そこで，次のように考える．回帰
式を一般に y = f (x) として次のように置く：
y = f (x) + e.
(2)
e は誤差である．回帰式がデータに一致しない部分をこの e が埋め合わせてく
れる．(f (x), y, e) はすべて時刻 t の関数である．
（その１）では f (x) = a + bx
の場合を考察した．R の関数 lm(y˜x) で作られる結果を result と置いた：
result = lm(y˜x).
(3)
関数 fitted を使うと，y の推定値 yˆ が得られる．それを yhat と書く
yhat = fitted(result).
1
(4)
y と yˆ の差を取る事により e の推定値（残差といい，eˆ と表す）が得られる．
これを R 上では ehat と表す：
ehat = y − yˆ.
(5)
次に，ehat の分布を調べる．それは，ヒストグラムを作ることである．R では
関数 hist である:
hist(ehat).
(6)
出力結果は図 1 である．ヒストグラムのヒストとは短冊状のものを指す．ヒス
15
10
0
5
Density
20
25
Histogram of ehat
−0.04
0.00
0.02
0.04
0.06
ehat
図 1: 残差のヒストグラム
トグラムでなく線でこの分布を表すには，density という関数を使う．これは，
2
確率密度関数 (pd) を作ってくれる：
pd = density(ehat).
(7)
pd のグラフを (6) のグラフに重ねがきをすると図 2 の様になる．残差 eˆ の分布
15
10
0
5
Density
20
25
Histogram of ehat
−0.04
0.00
0.02
0.04
0.06
ehat
図 2: eˆ の分布と密度関数
が density で良く見える（緑の曲線が density である）．この形状が推定方法の
良し悪しを決める．eˆ の分布が，その平均値（0）の周りに多数集中し，0 の外
ヘは広がらない事が望ましい．推定式 y = f (x) が線形であれ，非線形であれ，
残差の分散が小さい推定方法が良い推定方法である．
この方法で，f (x) に色々な関数を仮定して，残差の分散を調べる事は面白い
事である．
3

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