(数学 ) 第 3回課題のヒント

埼玉工業大学学習支援センター
平成２７年度入学前教育 (数学 )
第３回課題のヒント
課題に取り組む皆さんを支援するために, 多くの問題に解答のヒ
ントや説明を記し, 各分野の学習内容の要約も載せました。参考に
してください。
目次
要約
ページ
No.15
複素数平面
･････ 1
No.16
式と曲線
･････ 3
No.17
関数と極限
･････ 6
No.18
微分法
･････ 8
No.19
積分法
･････ 10
複素数平面について
･････ 13
式と曲線について
･････ 16
関数と極限について
･････ 20
微分法について
･････ 24
積分法について
･････ 30
No. 15
１
複素数平面
複素数について, 次の各問に答えなさい。
( 1 ) 複素数 z = 1 + √3 𝑖 を極形式で表すと
z =
1 − 1 ( cos
π
1−2
+ 𝑖 sin
π
1−3
)
( 2 ) 複素数 𝑧1 = −√3 − 𝑖 , 𝑧2 = 1 + 𝑖 について ,
𝑧1
𝑧2
の偏角は
2
1−4
12
π
( 3 ) 複素数平面上の点 z = √3 + 𝑖 を原点のまわりに 3 𝜋 だけ回転し
た点を表す複素数は
−√ 1 − 5 + 1 − 6 𝑖
(4) ﾄﾞ･モアブルの定理を用いて計算すると
(−1 + √3 𝑖)
6
=
1−7
+
1−8 𝑖
1
( 5 ) 方程式 𝑧3 = 8 𝑖 の解で , 複素数平面の第 1 象限にあるものは
√1−9 +
1 − 10 𝑖
ヒント
(1)
1
z = 1 + √3 𝑖 = 2 (2 +
√3
𝑖)
2
により , cos 𝜃=
1
2
, sin 𝜃=
√3
2
（ただし
0 ≤ θ < 2π ) を満たす θ を求める。
（ p.14 ＜複素数の極形式＞を参照）
( 2 ) 𝑧1 = −√3 − 𝑖 = 2 (−
1
√3
2
1
− 2 𝑖 ) = 2 (cos 𝜃1 + 𝑖 sin 𝜃1 )
( 0 ≤ 𝜃1 < 2π )
1
𝑧2 = 1 + 𝑖 = √2 ( + 𝑖 ) = √2(cos 𝜃2 + 𝑖 sin 𝜃2 )
√2
√2
𝑧
したがって , a r g (𝑧1 ) = a r g ( 𝑧1) － a r g ( 𝑧2 ) =
( 0 ≤ 𝜃2 < 2π )
𝜃1－ 𝜃2
2
（ p.15 ＜複素数の商＞を参照）
(3)
√3
1
z = √3 + 𝑖 = 2 ( 2 + 2 𝑖) = 2 ( cos 𝜃 + 𝑖 sin θ) , （ 0 ≤ θ < 2π ) を満たす θ
2
を求める。複素数平面上の点を原点のまわりに 3𝜋 だけ回転させ
2
2
る複素数は cos 3 𝜋 + 𝑖 sin 3 𝜋 であるので , 求める複素数は
2
2
2
2
3
3
3
3
z ×( cos 𝜋 + 𝑖 sin 𝜋) = 2 ( cos 𝜃 + 𝑖 sin θ) ( cos 𝜋 + 𝑖 sin 𝜋)
2
2
= 2 {cos(𝜃 + 3 𝜋) + 𝑖 sin(𝜃 + 3 𝜋)}
（ p.14 ＜複素数の積＞を参照）
1
( 4 ) −1 + √3 𝑖 = 2 (− 2 +
√3
𝑖)
2
= 2 ( cos 𝜃 + 𝑖 sin θ) , （ 0 ≤ θ < 2π ) と表わされる
から , ﾄﾞ･モアブルの定理を用いて計算すると
(−1 + √3 𝑖)
6
1
= {2 (− 2 +
6
√3
𝑖)}
2
= {2(cos 𝜃 + 𝑖 sin θ)}6
= 26 (cos6 𝜃 + 𝑖 sin6 θ)
2
（ p.15 ＜ド・モアブルの定理＞を参照）
( 5 ) 方程式 𝑧3 = 8 𝑖 の解で , 複素数平面の第 1 象限にあるものを
z = r (cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃 )
（ただし , r >0 , 0 < θ <
𝜋
2
）とおくと,
𝑧 3 = 𝑟 3 (cos 3𝜃 + 𝑖 sin 3𝜃)
𝜋
𝜋
また , 8 𝑖 = 8 ( 0 + 𝑖) = 8 {cos( 2 + 2𝑘𝜋) + 𝑖 sin ( 2 + 2𝑘𝜋)}
,（ただし , 𝑘は整数）
𝜋
𝜋
であるから , 𝑟 3 (cos 3𝜃 + 𝑖 sin 3𝜃) = 8 {cos( 2 + 2𝑘𝜋) + 𝑖 sin ( 2 + 2𝑘𝜋)}
したがって , 𝑟 3= 8 ,
3
1
3𝜃 = 2 𝜋 + 2 𝑘π
（ただし , 0 < 3θ < 2 π により , 𝑘 = 0 ）
（ p.15 ＜ド・モアブルの定理＞を参照）
複素数平面上に２点－ 2+3 𝑖 , 6+5 𝑖 があるとする。この２点を
２
直径とする円の円周上を動く点 z が満たす方程式を求めると
|𝑧 − ( 1 − 11 + 1 − 12 𝑖 )| = √ 1 − 13
ヒント
２点－ 2+3 𝑖 , 6+5 𝑖 を結ぶ線分の中点が円の中心 , ２点間の距離
1
の2 が半径だから,
1
中心＝ 2 {(－ 2 + 3 𝑖) + (6 + 5 𝑖 )} ,
２点間の距離 = √{6 − (−2)}2 + (5 − 3)2
（ p.16 ＜複素数平面上の２点間の距離＞を参照）
No. 16
１
式と曲線
放物線について, 次の各問に答えなさい。
( 1 ) 放物線 𝑦 2 = 8𝑥 の焦点は（ 1 − 14
, 0 ） , 準線は x = − 1 − 15
この放物線のグラフを描きなさい。その際, 焦点と頂点の位置
を示し , 準線も記入しなさい。（グラフは提出不要です。）
3
(2) 焦点が (0 ,
1
4
1
) , 準線が 𝑦 = − 4 の放物線の方程式は 𝑦 = 1 − 16 𝑥 2
ヒント
( 1 ) 放物線の方程式の標準形 𝑦2 = 4 p x に照らし合わせて p を求める。
このとき , 焦点は F( p , 0) , 準線は x=－ p
(2) 焦点が F( 0, p) , 準線が 𝑦 = － p の放物線の方程式の標準形は
𝑥2 = 4 p 𝑦 したがって , 𝑦 =
２
1
4𝑝
𝑥2 （ p . 1 7 ＜放物線の性質＞を参照）
楕円について, 次の各問に答えなさい。
(1) 楕円
𝑥2
42
2
𝑦
+ 32 = 1 の焦点は（ √ 1 − 17 , 0 ）と（ −√ 1 − 18 , 0 ）
長軸の頂点は（ 1 − 19 , 0 ）と（ − 1 − 20 , 0 ）
短軸の頂点は（0 ,
1 − 21 ）と（ 0 , − 1 − 22 ）
この楕円上の点から２焦点までの距離の和は 1 − 23
この楕円のグラフを描きなさい。その際, 焦点と頂点の位置を
示しなさい。（グラフは提出不要です。）
4
( 2 ) 焦点が（ 0 , √5 ）と（ 0 , −√5 ）の楕円で , この２焦点から楕円
上の点までの距離の和が 6 である楕円の方程式は
𝑥2
1−24
2
𝑦2
+
1−25
2
=1
ヒント
(1) 楕円
𝑥2
𝑎2
𝑦2
+ 𝑏2 = 1 （ 𝑎 > 𝑏 >0 ）に対して , c = √𝑎2 − 𝑏2 とおいたとき ,
２点 F( c, 0 )と F'( － c, 0)が焦点である。
長軸の頂点は (a, 0)と (－ a, 0) , 短軸の頂点は (0, b) と (0,－ b) ,
この楕円上の点から２焦点までの距離の和は 2a
(2) 楕円
𝑥2
𝑎2
𝑦2
+ 𝑏2 = 1
( b > a >0 ) に対して , c = √𝑏2 − 𝑎2 とおいたとき ,
２点 F( 0, c)と F' (0,－ c)が焦点である。
この楕円上の点から２焦点までの距離の和は 2b
（ p.18 ＜楕円の性質＞を参照）
３
双曲線について, 次の各問に答えなさい。
(1) 双曲線
𝑥2
𝑦2
− 32 = 1 の焦点は（ 1 − 26 , 0 ）と（ − 1 − 27 , 0 ）
42
漸近線は𝑦=
1−28
1−29
𝑥 と𝑦=−
1−30
1−31
𝑥
この双曲線上の点から２焦点までの距離の差は
1 − 32
この双曲線のグラフを描きなさい。その際, 焦点と頂点の位置
を示し , 漸近線も記入しなさい。（グラフは提出不要です。）
5
( 2 ) 漸近線が 2𝑥 − 3𝑦 = 0 , 2𝑥 + 3𝑦 = 0 で , 焦点が (√13 , 0) , (−√13 , 0) であ
る双曲線の方程式は
𝑥2
1−33
2−
𝑦2
1−34
2
= 1
ヒント
(1) 双曲線
𝑥2
𝑎2
𝑦2
− 𝑏2 = 1 （ 𝑎 >0 , 𝑏 >0 ）に対して c = √𝑎2 + 𝑏2 とおいたとき ,
𝑏
２点 F(c , 0 )と F'( － c, 0) が焦点である。漸近線は２直線 y =𝑎 𝑥 と
𝑏
y=−𝑎𝑥
この双曲線上の点から２焦点までの距離の差は 2a
(2) 求める双曲線の方程式を
𝑥2
𝑎2
𝑦2
− 𝑏2 = 1 （ 𝑎 >0 , 𝑏 >0 ）とおくと , 漸近
2
2
𝑏
3
3
𝑎
線が y= 𝑥 と y=− 𝑥 であることから ,
=
2
焦点について , √13 ＝ √𝑎2 + 𝑏2 = √𝑎2 + (3 𝑎)
2
2
2
よって 𝑏= 𝑎
3
3
=
√13
3
𝑎
ここから𝑎 , 𝑏 を求める。
（ p.19 ＜双曲線の性質＞を参照）
No.17
１
関数と極限
関数 𝑦 = 4𝑥 2 + 3 ( x ≧ 0) の逆関数は 𝑦 =
1
1−35
√𝑥 − 1 − 36
ヒント
関数 y = 4𝑥 2 + 3 は定義域が x ≧ 0のときは , y の値を定めるとそれに
対応して x の値がただ１つ定まるので x は y の関数となる。y の値
域が逆関数の定義域になる。x を
y の関数として表すために 𝑥2 =
1
x = √4 (𝑦 − 3)
4
(𝑦 − 3) と変形すると , x ≧ 0だから
1
変数を x , 値を y で表すために, x と y を入れ替えて逆関数をつくる。
２
２つの関数 𝑓 (𝑥 ) = 3𝑥 − 2 , 𝑔(𝑥 ) = 𝑥 2 + 3 について , 合成関数 𝑔( 𝑓(𝑥 ))
を求めると
𝑔( 𝑓 (𝑥 )) = 1 − 37 𝑥 2 –
1 − 38 𝑥 + 1 − 39
ヒント
𝑔( 𝑓 (𝑥 )) では 𝑔(𝑥 ) = 𝑥 2 + 3 の x に 𝑓 (𝑥 ) = 3𝑥 − 2 を代入する。
6
次の極限を求めなさい。収束しないときは解答欄に「 999」を
３
記入しなさい。
( 1 ) lim
5𝑛−3
=
𝑛→∞ 2𝑛+3
1−40
1−41
( 2 ) lim (√𝑛2 + 2𝑛 − 𝑛) =
𝑛→∞
1 𝑛−1
( 3 ) ∑∞
𝑛=1 (− 2)
=
1 − 42
1−43
1−44
ヒント
(1)
3
5𝑛−3
5− 𝑛
=
2𝑛+3
3
2+ 𝑛
及び lim
1
𝑛→∞ 𝑛
=0 を用いる。
(2)
n > 0 において √𝑛2 + 2𝑛 − 𝑛 =
(3)
∑∞
𝑛=1 (− )
1 𝑛−1
2
1 𝑘−1
= lim ∑𝑛𝑘=1 (− )
2
𝑛→∞
1 𝑘−1
和 S𝑛 = ∑𝑛𝑘=1 (− 2)
1
(√𝑛2 +2𝑛−𝑛)(√𝑛2 +2𝑛+𝑛)
√𝑛2 +2𝑛+𝑛
=
2𝑛
√𝑛2 +2𝑛+𝑛
=
2
2
𝑛
√1+
+1
であるから、まず第 𝑛 項までの部分
1 2
1 3
1 𝑛−1
= 1 + (− 2)+ (− 2) + (− 2) + ････＋ (− 2)
を求める。
一般に , 𝑟 ≠1 のとき
∑𝑛𝑘=1 𝑎 𝑟 𝑘−1 = a + 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟 2+ 𝑎𝑟 3 + ････＋ a 𝑟 𝑛−1 =
𝑎(1−𝑟 𝑛 )
1−𝑟
が成り立つ。
（ p.20＜数列の収束・発散＞、p.22＜無限等比級数の収束・発散＞
を参照）
次の極限を求めなさい。収束しないときは解答欄に「 999」を
４
記入しなさい。
(1)
lim
𝑥 2 −𝑥−2
𝑥→2 𝑥 2 −4
=
1−45
1−46
( 2 ) lim {log10(2 + 𝑥 ) − log10 (1 + 𝑥 )} = 1 − 47
𝑥→∞
(3)
(4)
(5)
1
lim 3𝑥 = 1 − 48
𝑥→0
lim
𝑥→0
cos 2𝑥−1
𝑥2
= − 1 − 49
1
lim 𝑥 cos 𝑥 = 1 − 50
𝑥→0
ヒント
7
𝑥2 −𝑥−2
(1)
(𝑥+1)(𝑥−2)
=
𝑥2 −4
=
(𝑥+2)(𝑥−2)
𝑥+1
𝑥+2
（ 𝑥 ≠2 において）
2+𝑥
( 2 ) log10(2 + 𝑥 ) − log10(1 + 𝑥 )= log10 1+𝑥= log10
1
lim
=－ ∞ を用いる。
𝑥→−0 𝑥
( 4 ) cos 2𝑥 = 1 − 2sin2 𝑥 だから ,
lim
(5)
（𝑥>0 において）
1
( 3 ) lim 𝑥 = + ∞ ,
𝑥→+0
ここで
2
+1
𝑥
1
+1
𝑥
sin 𝑥
𝑥
𝑥→0
cos 2𝑥−1
𝑥2
=
−2sin2 𝑥
𝑥2
sin 𝑥 2
=－ 2(
𝑥
)
= 1 を用いる。
1
1
x ≠ 0 のとき |cos 𝑥| ≤ 1 だから |𝑥 cos 𝑥| ≤ |𝑥 |
（ p.22 ＜極限値の性質＞ ,＜無限大に発散＞ , p.23 ＜指数関
数・対数関数の極限＞ ,p.24＜三角関数の極限＞を参照）
No.18
１
微分法
次の関数を微分しなさい。
3
(1)
y ＝ √3𝑥 3 + 𝑥 − 3
(2)
y ＝ sin3 2𝑥
(3)
y ＝ 𝑒 −3𝑥
(4)
y = log|𝑥 3 + 2|
2 +𝑥+1
y'＝
1
( 2 − 2 𝑥 2 + 2 − 3 )(3𝑥 3 + 𝑥 − 3)
2−1
−
2−4
2−5
y ' ＝ 2 − 6 sin2 2𝑥 cos 2𝑥
y ' ＝ (− 2 − 7 𝑥 + 2 − 8 )𝑒 −3𝑥
y'＝
2 +𝑥+1
2−9 𝑥 2−10
𝑥 3 +2
ヒント
y = 𝑔(𝑡)と t = 𝑓( x ) の合成関数 y = 𝑔( f ( x ) ) の導関数は
(1)
1
3
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑 𝑦 𝑑𝑡
𝑑𝑡 𝑑𝑥
1
だから , y ＝ √3𝑥 3 + 𝑥 − 3 = (3𝑥 3 + 𝑥 − 3)3 を y = 𝑡 3 と t = 3𝑥 3 + 𝑥 − 3 の
合成関数と見なすと,
1
1
2
y ' ＝ (𝑡 3 )' (3𝑥 3 + 𝑥 − 3)' = 3 𝑡 −3 (9𝑥 2 + 1)
ここで t を 3𝑥 3 + 𝑥 − 3 に戻す。
(2)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
y ＝ sin3 2𝑥を y = 𝑡 3 , t = sin 𝑢 及び u = 2 x の合成関数と見なすと
=
𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝑑𝑢
𝑑𝑡 𝑑𝑢 𝑑𝑥
だから,
y ' = (𝑡 3 )' (sin 𝑢)' (2𝑥 )' = 3 𝑡 2 ･ cos 𝑢･ 2= 6 𝑡 2 cos 𝑢
8
ここで t を sin 𝑢 に , u を 2 𝑥 に戻す。
y ＝ 𝑒 −3𝑥
(3)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
2 +𝑥+1
𝑑𝑦 𝑑𝑡
=
𝑑𝑡 𝑑𝑥
を y = 𝑒 𝑡 と t = −3𝑥 2 + 𝑥 + 1の合成関数と見なすと ,
y ' = (𝑒 𝑡 )' (−3𝑥 2 + 𝑥 + 1)' = 𝑒 𝑡 (−6𝑥 + 1)
だから,
ここで t を −3𝑥 2 + 𝑥 + 1 に戻す。
対数関数 y = log|𝑥 | の導関数は y ' ＝
(4)
1
𝑥
y = log|𝑥 3 + 2|を y = log|𝑡|と t = 𝑥 3 + 2の合成関数と見なすと ,
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑦 𝑑𝑡
=
𝑑𝑡 𝑑𝑥
1
y ' ＝ (log|𝑡|)' (𝑥 3 + 2)' = 𝑡 (3𝑥 2 ) =
だから,
3𝑥 2
𝑡
ここで t を 𝑥3 + 2 に戻す。
（ p.26＜合成関数の微分法＞ , p.27＜いろいろな関数の導関数
＞を参照）
２
関数 𝑦 = 2𝑒 −3𝑥
2
の増減 , 極値 , 曲線の凹凸を調べて ,グラフを描
きなさい。（増減・凹凸の表とグラフは提出不要です。）
増減・凹凸の表は次の通り。
x
y'
y''
y
x = 2 − 11 のとき , 極大値 2 − 12 をとる。
変曲点の座標は (−
1
√ 2−13
,
2−14
√𝑒
) と (
1
√ 2−15
以上からグラフは次のようになる。
9
,
2−16
√𝑒
)
ヒント
2
𝑦 = 2𝑒 −3𝑥 を 𝑦 = 2 𝑒 𝑡 と t = −3𝑥 2 の合成関数とみなすと
y ' = (2𝑒 𝑡 )' (−3𝑥 2 )' = 2 𝑒 𝑡 ( － 6 x ) = － 1 2 x 𝑒 −3𝑥
2
2
2
2
2
y ' ' = (𝑦′)' = (－ 12𝑥𝑒 −3𝑥 )' = － 1 2 (𝑥𝑒 −3𝑥 )' = － 1 2 {𝑒 −3𝑥 + 𝑥 (−6𝑥 )𝑒 −3𝑥 }
= － 1 2 (1 − 6𝑥 2 )𝑒 −3𝑥
2
y '=0 となる x で極値をとる。
y''=0 となる x の曲線上の点が変曲点となる。
（ p.28＜関数の増減＞ ,＜関数の極大・極小＞ , p.29＜関数の凹
凸と関数のグラフ＞を参照）
積分法
No.19
次の積分の計算をしなさい。（ 𝐶 は積分定数）
１
1
１
𝑥+ 2−18
log |𝑥+
(1)
∫ (𝑥+3)(𝑥+1) 𝑑𝑥 =
(2)
∫ sin(2𝑥 + 3) 𝑑𝑥 = −
(3)
∫ 𝑥 2 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 =
(4)
∫0 √9 − 𝑥 2 𝑑𝑥 =
(5)
∫0 sin 𝑥 cos 3 𝑥 𝑑𝑥 = 2 − 24
(6)
∫1 𝑥 log 𝑥 𝑑𝑥 =
2−17
1
3
2−20
|+ 𝐶
cos(2𝑥 + 3) + 𝐶
3
𝑒𝑥 + 𝐶
2−21
3
1
2−19
2−22
2−23
𝜋
𝜋
𝑒
1
2−25
1
𝑒2 +
2−26
ヒント
(1)
１
(𝑥+3)(𝑥+1)
１
1
1
1
= 2 (𝑥+1 − 𝑥+3) により
1
1
1
1
1
1
∫ (𝑥+3)(𝑥+1) 𝑑𝑥 = ∫ 2 (𝑥+1 − 𝑥+3) 𝑑𝑥 = 2 (∫ 𝑥+1 𝑑𝑥 − ∫ 𝑥+3 𝑑𝑥)
（ p.30 <基本的な関数の不定積分 >, p.31 ＜分数関数（有理関
数）＞を参照）
（以下 (2)～ (5)は p.33＜定積分の置換積分法＞を参照）
( 2 ) 2𝑥 + 3= 𝑡 とおくと ,
𝑑𝑥 =
1
1
2
1
𝑑𝑡 だから
∫ sin(2𝑥 + 3) 𝑑𝑥 = ∫ sin 𝑡･ 2 𝑑𝑡 = 2 ∫ sin 𝑡 𝑑𝑡
10
1
( 3 ) 𝑥 3 = 𝑡 とおくと , 𝑥 2 𝑑𝑥 = 3 𝑑𝑡
3
だから
1
3
1
∫ 𝑥 2 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑒 𝑥 𝑥 2 𝑑𝑥 = ∫ 𝑒 𝑡 ･ 3 𝑑𝑡 = 3 ∫ 𝑒 𝑡 𝑑𝑡
x = 3 sin θ とおくと , x が 0 から 3 まで変化
(4)
するとき, θ は 0 から
π
𝑑𝑥
により 𝑑𝑥 = 3 cos θ 𝑑θ
𝑑
= 𝑑θ (3 sin θ) = 3 cos θ
𝑑θ
また , 0≤ θ ≤
π
2
2
x
まで変化する。
3
では cos θ ≥ 0 だから
o
√9 − 𝑥 2 = √9 − (3 sin θ)2 = √9(1 − sin2 θ)
= 3√cos 2 θ = 3 cos θ
π
3
θ
𝜋
2
π
したがって , ∫0 √9 − 𝑥 2 𝑑𝑥 = ∫02 3 cos θ ･ 3 cos θ 𝑑θ= 9 ∫02 cos 2 θ 𝑑θ
ここで , cos 2θ= 2 cos 2 θ－ 1 だから ,
π
3
∫0 √9 − 𝑥 2 𝑑𝑥 = 9 ∫02
cos 2θ+1
2
𝑑θ =
9
π
∫ 2 (cos 2θ + 1)𝑑θ
2 0
𝑡
t = cos 𝑥 とおくと , x が 0 から π まで変化
(5)
1
するとき, 𝑡 は 1 から－1 まで変化する。
𝑑𝑡
x
o
𝑑
= 𝑑𝑥 cos 𝑥 = － sin 𝑥
𝑑𝑥
π
により sin 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑑𝑡
-1
したがって,
π
π
−1
−1
1
∫0 sin 𝑥 cos 3 𝑥 𝑑𝑥 = ∫0 cos 3 𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥 = ∫1 𝑡 3 (−1)𝑑𝑡 = － ∫1 𝑡 3 𝑑𝑡 = ∫−1 𝑡 3 𝑑𝑡
𝑏
𝑏
部分積分法 ∫𝑎 𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥 )𝑑x = [𝑓 (𝑥 )𝑔(𝑥 )]𝑏𝑎 − ∫𝑎 𝑓 (𝑥 )𝑔 ′(𝑥 )𝑑𝑥
(6)
を適用する。 𝑓′(𝑥 ) = 𝑥 , 𝑔(𝑥 ) = log 𝑥 とおくと ,
𝑒
𝑒
1
𝑒1
1
∫1 𝑥 log 𝑥 𝑑𝑥 = [2 𝑥 2 log 𝑥] − ∫1 2 𝑥 2 𝑥 𝑑𝑥
1
（ p.33 ＜定積分の部分積分法＞を参照）
２
積分法を用いて次の極限値を求めなさい。
𝑦
3
3
3
1 +2 +3 + ････ +𝑛3
𝑛4
𝑥→0
lim
=
2−27
2−28
ヒント
S𝑛 =
13 +23 +33 + ････ +𝑛3
𝑛4
1 31
S𝑛 = (𝑛)
𝑛
2 31
+ (𝑛)
𝑛
とおくと,
3 31
+ (𝑛)
𝑛
+･･･
O
11
𝑘
𝑛
1
𝑥
𝑘 31
+ (𝑛)
𝑛
+･･･+ (
𝑛−1 3 1
𝑛
)
𝑛
𝑛 31
+ (𝑛)
𝑛
𝑘 31
= ∑𝑛𝑘=1 (𝑛)
𝑛
13 +23 +33 + ････ +𝑛3
したがって , lim
𝑛4
𝑛→∞
𝑘 31
= lim S𝑛 = lim ∑𝑛𝑘=1 (𝑛)
𝑛→∞
𝑛
𝑛→∞
1
= ∫0 𝑥 3 𝑑𝑥
ゆえに, この定積分の値が求めるもの。
（ p.33 ＜定積分と区分求積法＞を参照）
３
0≦𝑥≦
𝜋
2
分の面積は
の範囲内で 2 つの曲線 𝑦 = sin 2𝑥と 𝑦 = sin 𝑥
に囲まれた部
1
2−29
ヒント
sin 2𝑥= sin 𝑥 とおくと
y 𝑦
2sin 𝑥 cos 𝑥= sin 𝑥
sin 𝑥 (2 cos 𝑥 − 1) = 0
よって , sin 𝑥 = 0 , cos 𝑥=
0≦𝑥≦
𝜋
2
1
2
の範囲では , x =0,
𝜋
3
したがって, この二つの値が
２曲線の交点の x 座標である。
0≦𝑥≦
𝜋
3
𝑥
𝜋
2
𝜋
3
O
では sin 2𝑥 ≥ sin 𝑥 であるので ,
求める面積は
𝜋
∫03(sin 2𝑥 − sin 𝑥) 𝑑𝑥
（ p.34 ＜面積＞を参照）
４
関数 y = 𝑒𝑥 ( 0 ≦ 𝑥 ≦ 1 ) のグラフが x 軸の周りに 1 回転してできる
立体の体積は
1
2−30
(𝑒 2−31 − 2 − 32 )𝜋
𝑦
ヒント
この立体は関数の値を半径とした
回転体だから, 体積は
1
∫0 𝜋𝑦 2 𝑑𝑥
=
1
∫0 𝜋(𝑒 𝑥 )2 𝑑𝑥
y
=
1
𝜋 ∫0 𝑒 2𝑥 𝑑𝑥
（ p.35 ＜回転体の体積＞を参照）
o
面積
12
𝜋𝑦 2
x
1
𝑥
要約
複素数平面について
＜複素数＞
「数学Ⅱ」で導入された「複素数」を復習します。
２乗して－ 1 になる数 i（すなわち 𝑖 2 = － 1 ）を考え , a , b を実数と
して a + b i の形で表される数を複素数という。a をその複素数の実部 ,
b をその複素数の虚部という。
b=0 のとき , a+0i は実数 a を表すものとする。
b ≠0 のとき , a + b i を虚数という。
特に a = 0 , b ≠0 のときは , 純虚数という。
＜複素数の相当＞
a, b, c, d が実数であるとき ,
a+bi = c+di が成り立つのは a=c かつ b=d のときである。
＜複素数の計算＞
文字の計算と同様に計算して , 𝑖2 が出た時に－ 1 に置き換える。
和
(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i
差
(a+bi)－ (c+di)=(a－c)+(b－d)i
積
( a + b i ) ( c + d i ) = a c + a d i + b c i + b d 𝑖2 = a c + a d i + b c i － b d
=(ac－bd)+(ad+bc)i
商
𝑎+𝑏𝑖
𝑐+𝑑𝑖
実数倍
=
(𝑎+𝑏𝑖)(𝑐−𝑑𝑖)
(𝑐+𝑑𝑖)(𝑐−𝑑𝑖)
=
𝑎𝑐+𝑏𝑑
𝑐2 +𝑑2
k(a+bi)= ka+kbi
+
𝑏𝑐−𝑎𝑑
𝑐2 +𝑑2
𝑖
(k は実数 )
＜共役複素数＞
２つの複素数 a+bi と a－ bi は互いに共役な複素数という。
複素数 α の共役な素数を 𝛼̅ と記す。したがって
̅̅̅̅̅̅̅̅
𝑎 + 𝑏𝑖 = a － b i , ̅̅̅̅̅̅̅̅
𝑎 − 𝑏𝑖 = a + b i
y
＜複素数平面＞
複素数 a+bi を座標平面上の点 (a, b)で
表わしたとき, この平面を複素数平面と
a+bi
b
いう。
実数を表す横軸を実軸, 純虚数を表す
O
縦軸を虚軸という。
13
a
x
＜複素数の極形式＞
y
複素数平面上で , 複素数 z =a+bi
を表す点を P ( z ) とする。 z ≠0 のとき ,
P(z)
b
OP の長さを r , 実軸の正の向きから
OP に測った角を θ とすると ,
θ
r = √𝑎2 + 𝑏2 , a = r cos 𝜃 , b = r sin 𝜃
O
であるから , z = r ( cos 𝜃 + i sin 𝜃)
a
x
と表わされる。これを複素数 z の極形式という。
r を z の絶対値といい , |𝑧 |で表す。すなわち |𝑧 | = √ 𝑎 2 + 𝑏 2
θ を z の偏角といい , arg z で表す。すなわち arg z=θ
例
z = −√3+ i のとき
r = √ (−√3)2 + 12 = √4 = 2 , −√3 = 2 cos 𝜃 , 1 = 2 sin 𝜃
cos 𝜃= −
√3
2
1
, sin 𝜃= 2
だから
5
により 0 ≤ θ < 2π においては θ = 6 𝜋
よって , z = −√3+ i = 2 ( −
√3 1
+ 2 𝑖) =
2
5
5
2 ( cos 6 𝜋 + i sin 6 𝜋 )
<複素数の積 >
２つの複素数 𝑧1= 𝑟1 (cos𝜃1 + 𝑖 sin 𝜃1) , 𝑧2 = 𝑟2 (cos𝜃2 + 𝑖 sin 𝜃2 ) の積は
𝑧1 𝑧2 = 𝑟1 (cos𝜃1 + 𝑖 sin 𝜃1 ) 𝑟2 (cos𝜃2 + 𝑖 sin 𝜃2 )
= 𝑟1 𝑟2 (cos𝜃1 + 𝑖 sin 𝜃1 ) (cos𝜃2 + 𝑖 sin 𝜃2 )
= 𝑟1 𝑟2 {(cos𝜃1 cos𝜃2 − sin 𝜃1 sin 𝜃2 ) + 𝑖(sin 𝜃1 cos𝜃2 + cos𝜃1 sin 𝜃2 )}
= 𝑟1 𝑟2 {𝑐𝑜𝑠(𝜃1 + 𝜃2 ) + 𝑖 𝑠𝑖𝑛( 𝜃1 + 𝜃2 )}
したがって,
①
積の絶対値は, それぞれの絶対値の積に等しい。
|𝑧1 𝑧2 | = |𝑧1 ||𝑧2 |
②
積の偏角は, それぞれの偏角の和に等しい。
a r g ( 𝑧1 𝑧2) = a r g 𝑧1 + a r g 𝑧2
（ただし , 2π の整数倍の違いを無視する。）
③
＜複素数の積を表す点＞
y
① と ② により , 複素数平面上で積 𝑧1𝑧2
を表す点は , 𝑧1 を , 原点のまわりに a r g 𝑧2
b
𝑧1 𝑧2
𝜃1
だけ回転し , 原点からの距離を |𝑧2 |倍した
𝑧2
𝑧1
𝜃1
点である。
O
14
x
<原点のまわりの回転 >
複素数 𝑧1に絶対値が 1 の複素数 𝑧2 = cos 𝜃 + i sin 𝜃
を掛けた複素数 𝑧1 𝑧2 を表す点は , 複素数平面上で点 𝑧1 を原点のまわ
りにθ だけ回転した点である。
𝜋
𝜋
𝑖= cos 2 + i sin 2
特に
𝜋
𝜋
－ 𝑖= cos(− 2 ) + i sin(− 2 )
－ 1 = cos 𝜋 + i sin 𝜋
であるから,
𝜋
点 𝑧1 𝑖 は , 点 𝑧1を原点のまわりに 2 だけ回転した点
𝜋
点 −𝑧1 𝑖 は , 点 𝑧1を原点のまわりに－ 2 だけ回転した点
点－ 𝑧1 は , 点 𝑧1を原点のまわりに 𝜋だけ回転した点
を表す。
<複素数の商 >
𝑧1
𝑧2
𝑟 (cos𝜃 +𝑖 sin 𝜃 )
𝑟 (cos𝜃 +𝑖 sin 𝜃 ) (cos𝜃 −𝑖 sin 𝜃 )
= 𝑟1 (cos𝜃1+𝑖 sin 𝜃1 ) = 𝑟1(cos𝜃 1+𝑖 sin 𝜃 1) (cos𝜃2−𝑖 sin 𝜃2)
2
=
2
2
2
2
2
𝑟1(cos𝜃1 +𝑖 sin 𝜃1 ) {cos(−𝜃2 )+𝑖 sin(−𝜃2 )}
𝑟2 {(cos𝜃2)2 +(sin 𝜃2 )2}
2
=
2
𝑟1
𝑟2
{cos(𝜃1 − 𝜃2 ) + 𝑖 sin(𝜃1 − 𝜃2 )}
したがって,
①
商の絶対値は, それぞれの絶対値の商に等しい。
𝑧
| 1| =
𝑧
2
②
|𝑧1 |
|𝑧2 |
商の偏角は, それぞれの偏角の差に等しい。
𝑧
a r g ( 𝑧1) = a r g 𝑧1－ a r g 𝑧2
y
2
（ただし , 2π の整数倍の違いを無視する。）
③
<複素数の商を表す点 >
①と②により, 複素数平面上で商
𝑧1
𝑧2
1
|𝑧2|
𝜃2
𝑧1 𝑧2
𝑧2
を
表す点は , 𝑧1 を , 原点のまわりに－ a r g 𝑧2
だけ回転し, 原点からの距離を
b
𝑧1
𝜃2
O
x
倍した点である。
<ド・モアブルの定理 >
絶対値が 1 の複素数 z = cos 𝜃 + i sin 𝜃 について , 𝑧2 , 𝑧3 , ・・ , 𝑧𝑛 を考
える。
15
𝑧2 = (cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃)2= ( cos 𝜃 + i sin 𝜃) ( cos 𝜃 + i sin 𝜃)
= cos(𝜃 + 𝜃) + i sin(𝜃 + 𝜃)= cos 2𝜃 + i sin2 𝜃
𝑧3 = (cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃)3 = ( cos 𝜃 + i sin 𝜃) (cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃)2
= ( cos 𝜃 + i sin 𝜃) ( cos 2𝜃 + i sin2 𝜃 )
= cos(𝜃 + 2𝜃) + i sin(𝜃 + 2𝜃)= cos 3𝜃 + i sin3 𝜃
同様にして, 正の整数𝑛 について
(cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃)𝑛 = cos 𝑛𝜃 + i sin 𝑛𝜃
が成り立つ。
また , 正の整数 𝑛 について , 𝑧−𝑛 =
𝑧−𝑛 =
1
𝑧𝑛
1
,
𝑧0 = 1 と定めると ,
𝑧𝑛
1
cos𝑛 𝜃−𝑖 sin𝑛 𝜃
=
=(
cos𝑛 𝜃 +𝑖 sin𝑛 𝜃
cos𝑛 𝜃 +𝑖 sin𝑛 𝜃)(cos𝑛 𝜃−𝑖 sin𝑛 𝜃)
整数𝑛 について
= cos(−𝑛𝜃) + i sin(−𝑛𝜃) により
(cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃)𝑛 = cos 𝑛𝜃 + i sin 𝑛𝜃
が成り立つ。これをド・モアブルの定理という。
６
複素数平面上の２点間の距離
y
複素数平面上の２点 P(𝑧1)と Q(𝑧2 )の距離は ,
Q(𝑧2 )
𝑧2 − 𝑧1
原点 O と点 𝑧2 − 𝑧1を結ぶ線分の長さに等し
いので , ２点間の距離は |𝑧2 − 𝑧1 | である。
P(𝑧1)
したがって , 𝑧1= 𝑥1 + 𝑦1 𝑖 , 𝑧2 = 𝑥2 + 𝑦2 𝑖
のときは , |𝑧2 − 𝑧1|= √(𝑥2 − 𝑥1 )2 + (𝑦2 − 𝑦1 )2
要約
O
式と曲線について
x
y
＜放物線＞
・平面上で, 定点 F と, F を通らな
H
P(𝑥 ,
y)
い定直線 l からの距離が等しい
点の軌跡を放物線といい, 定点
F を放物線の焦点, 定直線 l を放
物線の準線という。
-p
O
p 焦点 F
準線
・ p≠ 0 で焦点が F( p , 0) , 準線が
x =－ p である放物線上の任意の
点を P(x , y) とし , P から準線に
引いた垂線を PH とすると ,
H( － p , y) , P F=PH
により,
√ ( 𝑥 − 𝑝 ) 2 + 𝑦 2 = |𝑥 + 𝑝 |
この式を変形すると, 放物線の方程式の標準形
れる。
16
𝑦2 = 4 p x が得ら
𝑥
・ p ≠ 0 で , 点 F(0, p)を焦点 ,
y
直線 y=－ p を準線とする
放物線の方程式の標準形は,
𝑥2 = 4 p y
1
（すなわち , y = 4𝑝 𝑥 2 ）
P(𝑥 ,
・放物線の焦点を通り, 準線に
焦点 F
p
垂直な直線を, 放物線の軸と
いい, 軸と放物線の交点を,
𝑥
O
放物線の頂点という。
準線
y)
H
-p
＜放物線の性質＞
・放物線 𝑦 2 = 4𝑝𝑥 は
①
焦点は (p , 0 ) , 準線は x = － p
②
軸は x 軸, 頂点は原点, 放物線は軸に関して対称
・放物線 𝑥 2 = 4𝑝𝑦 は
①
焦点は( 0 , p ) , 準線は y = －p
②
軸は y 軸, 頂点は原点, 放物線は軸に関して対称
＜楕円＞
・平面上で , 異なる２定点 F, F' か
らの距離の和が一定である点の
y
軌跡を楕円といい , 定点 F, F' を
B
楕円の焦点という。
𝑏
A'
・ a > 0, c > 0で２つの焦点 F ( c , 0 ) ,
-a
F'(－ c, 0)からの距離の和が 2a で
F'
F
O
-c
c
B'
ある楕円上の任意の点を P(x , y )
とすると
P(𝑥 ,
- 𝑏
PF+ P F'=2a だから ,
√ (𝑥 − 𝑐 ) 2 + 𝑦 2 + √ (𝑥 + 𝑐 ) 2 + 𝑦 2 = 2 a
この式を変形すると, 楕円の方程式の標準形
（ただし , a > 𝑏 >0 , c = √𝑎2 − 𝑏2 ) が得られる。
17
𝑥2
𝑎2
𝑦2
+ 𝑏2 = 1
y)
A
a
x
y
・ b > 0 , c > 0で , 焦点 F ( 0 , c ) , F ' ( 0 , － c )
からの距離の和が 2b である楕円の
方程式の標準形は
𝑥2
c
F
𝑦2
+ 𝑏2 = 1
𝑎2
P(𝑥 ,
y)
（ただし , b > 𝑎 >0 , c = √𝑏2 − 𝑎2 ）
x
O
・２点 F,F'を焦点とする楕円において ,
直線 FF'のうち楕円が切り取る部分を
F'
-c
長軸, 長軸の垂直二等分線のうち楕円
が切り取る部分を短軸という。
また, 長軸と短軸の交点を中心、長軸と
短軸の端点を頂点という。
＜楕円の性質＞
楕円
𝑥2
＋
𝑎2
𝑦2
𝑏2
＝ 1
(ただし , a> 𝑏 > 0) は次の性質をもつ。
①
焦点は ( √𝑎2 − 𝑏2 , 0 ) と ( － √𝑎2 − 𝑏2 , 0 )
②
中心は原点 , 長軸の長さは 2a , 短軸の長さは 2b
③
楕円上の点から２つの焦点までの距離の和は 2a
④
楕円は x 軸, y 軸, 原点に関して対称
⑤
頂点は A(a, 0) , A'(－ a, 0) , B( 0 , b ) , B'( 0 , － b )
楕円
𝑥2
𝑎2
＋
𝑦2
𝑏2
＝ 1
(ただし , b> 𝑎 > 0) は次の性質をもつ。
①
焦点は ( 0 , √𝑏2 − 𝑎2 ) , ( 0 , −√𝑏2 − 𝑎2 )
②
中心は原点 , 長軸の長さは 2b , 短軸の長さは 2a
③
楕円上の点から２つの焦点までの距離の和は 2b
④
楕円は x 軸, y 軸, 原点に関して対称
⑤
頂点は A(a, 0) , A'(－ a, 0) , B( 0 , b ) , B'( 0 , － b )
＜双曲線＞
・平面上で , 異なる２定点 F, F'からの距離の差が０でない一定値で
ある点の軌跡を双曲線といい , この２定点 F, F'を双曲線の焦点と
いう。ただし , 焦点 F, F'からの距離の差は線分 FF'の長さよりも
小さいとする。
18
・ 𝑎 > 0 , c > 0で２つの焦点
y
y = 𝑏𝑎 𝑥
y = - 𝑏𝑎 𝑥
F(c , 0) , F'( － c, 0) からの距
離の差が 2a である双曲線
P(𝑥 ,
について, その上の任意の
焦点 F'
点を P(x , y )とすると
－ c
|PF − PF′|= 2 a
y)
焦点 F
x
c
O
である。この式を変形する
と,
双曲線の方程式の標準形
𝑥2
𝑎2
𝑦2
− 𝑏2 = 1
が得られる。
（ただし , a > 0 , 𝑏 >0 ,
y
c = √𝑎2 + 𝑏2 ）
y = − 𝑏𝑎 𝑥
y = 𝑏𝑎 𝑥
焦点
・ b > 0 , c > 0で , 焦点 F ( 0 , c ) ,
c
F' (0 ,－ c)からの距離の差が
P ( 𝑥, y )
2𝑏 である双曲線の方程式
𝑥2
の標準形は
𝑎2
O
− 𝑏2 = −1
（ただし , a > 0 , 𝑏 >0 ,
c = √𝑎2
+
𝑏2
x
𝑦2
焦点
-c
）
・２定点 F, F'を焦点とする双曲線において , 直線 FF'と双曲線の２
つの交点を頂点 , 線分 FF'の中点を双曲線の中心という。
・曲線上の点が一定の直線に限りなく近づくとき, この直線をその
曲線の漸近線という。
双曲線
𝑥2
𝑎2
𝑦2
− 𝑏2 = 1 ,
𝑥2
𝑎2
𝑦2
− 𝑏2 = −1 において , |𝑥 |が限りなく大きくなると
𝑏
𝑏
き , 曲線は 2 直線 y =𝑎𝑥 ,y =−𝑎𝑥 に限りなく近づくので , この２直
線が双曲線の漸近線である。
＜双曲線の性質＞
双曲線
𝑥2
𝑎2
−
𝑦2
𝑏2
=1
(ただし , a> 0 , 𝑏 > 0 ) は次の性質をもつ。
①
焦点は ( √𝑎2 + 𝑏2 , 0 ) と ( － √𝑎2 + 𝑏2 , 0 )
②
中心は原点 , 頂点は (a, 0) , (－ a, 0)
19
③
双曲線上の点から２つの焦点までの距離の差は 2a
④
漸近線は y =𝑎𝑥 ,
⑤
x 軸, y 軸, 原点に関して対称
𝑏
双曲線
𝑥2
𝑎2
𝑦2
− 𝑏2 = −1
y =－
𝑏
𝑎
𝑥
(ただし , a> 0 , 𝑏 > 0 ) は次の性質をもつ。
①
焦点は ( 0 , √𝑎2 + 𝑏2 ) ,
②
中心は原点 , 頂点は (0 , b) , (0 ,－ b)
③
双曲線上の点から２つの焦点までの距離の差は 2b
④
漸近線は y=
⑤
x 軸, y 軸, 原点に関して対称
要約
𝑏
( 0 , － √a2 + 𝑏2 )
y =－
𝑥 ,
𝑎
𝑏
a
𝑥
関数と極限について
＜数列の収束・発散＞
・項が限りなく続く数列 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 , ････ , 𝑎𝑛 , ･･･を無限数列といい、
{ 𝑎𝑛 }と記す。
・無限数列 { 𝑎𝑛 }において , n を限りなく大きくするとき , 𝑎𝑛 の値が限
りなく一定の値 αに近づくならば , 数列 { 𝑎𝑛 } は α に収束するとい
い,
このことを
lim 𝑎𝑛 = 𝛼
𝑛→∞
n → ∞のとき 𝑎𝑛 → 𝛼
または
と記す。 αを
数列 { 𝑎𝑛 } の極限値という。
・数列 { 𝑎𝑛 }が収束しないとき , 数列 { 𝑎𝑛 }は発散するという。
・数列 { 𝑎𝑛 }において , n を限りなく大きくするとき , 𝑎𝑛 の値が限りな
く大きくなる場合 , 「数列 { 𝑎𝑛 }は正の無限大に発散する」 , または
「数列 { an } の極限は正の無限大である」といい , このことを
lim 𝑎𝑛 = ∞
𝑛→∞
または
n → ∞のとき 𝑎𝑛 → ∞
と記す。
・数列 { 𝑎𝑛 }において , n を限りなく大きくするとき , 𝑎𝑛 の値が負でそ
の絶対値が限りなく大きくなる場合 , 「数列 { 𝑎𝑛 } は負の無限大に
発散する」 , または「数列 { an } の極限は負の無限大である」とい
い, このことを
lim 𝑎𝑛 = −∞
𝑛→∞
または
n → ∞のとき 𝑎𝑛 → −∞
と記
す。
・例えば , 第 n 項が 𝑎𝑛 = (−3)𝑛−1 である数列 { 𝑎𝑛 }は , n を限りなく大き
20
くするとき , 発散するが、𝑎𝑛 の値は正の無限大にも , 負の無限大に
も発散しない。このような数列は振動するという。
・（まとめ）数列 { 𝑎𝑛 }の極限について
収束する･･･極限値は 𝛼である
････ lim 𝑎𝑛 = 𝛼
𝑛→∞
正の無大に発散する････ lim 𝑎𝑛 = ∞
𝑛→∞
負の無限大に発散する････ lim 𝑎𝑛 = −∞
発散する
𝑛→∞
振動する
{
＜数列の極限の性質＞
数列 { 𝑎𝑛 } , 数列 { 𝑏𝑛 }がともに収束し , lim 𝑎𝑛 = 𝛼 , lim 𝑏𝑛 = 𝛽 ならば
①
②
③
④
lim 𝑘𝑎𝑛 = 𝑘𝛼
𝑛→∞
𝑛→∞
𝑛→∞
（ただし 𝑘は定数）
lim (𝑎𝑛 + 𝑏𝑛 ) = 𝛼 + 𝛽
, lim (𝑎𝑛 − 𝑏𝑛 ) = 𝛼－ 𝛽
𝑛→∞
𝑛→∞
lim 𝑎𝑛 𝑏𝑛 = 𝛼𝛽
𝑛→∞
𝛽≠0 のとき
lim
𝑎𝑛
𝑛→∞ 𝑏𝑛
𝛼
=𝛽
＜無限等比数列の収束・発散＞
・項が限りなく続く等比数列 𝑎𝑛 = 𝑎𝑟 𝑛−1 を無限等比数列という。
・無限等比数列 {𝑟 𝑛 } の極限は次の通り。
①
𝑟>1 のとき
②
𝑟=1 のとき
③
|𝑟| < 1のとき
④
𝑟 ≤ −1のとき
lim 𝑟 𝑛 = ∞
(発散）
𝑛→∞
lim 𝑟 𝑛 = 1
(収束）
lim 𝑟 𝑛 = 0
(収束 )
振動
(発散）
𝑛→∞
𝑛→∞
＜無限級数の極限＞
・無限数列 {𝑎𝑛 }の各項を順に＋の記号で結んだ式
𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ･･････ + 𝑎𝑛 + ････
を無限級数といい,
①
𝑎1 を初項 , 𝑎𝑛 を第 n 項という。
・ ① を ∑∞
𝑛=1 𝑎𝑛 と記すことがある。
∑∞
𝑛=1 𝑎𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ･･････ + 𝑎𝑛 + ････・
すなわち
・無限級数 ∑∞
𝑛=1 𝑎𝑛 について , 数列 {𝑎𝑛 }の初項から第 n 項までの和
𝑆𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ･･････ + 𝑎𝑛
を無限級数 ∑∞
𝑛=1 𝑎𝑛 の第 n 項までの部分
和という。
・部分和のつくる数列 { 𝑆𝑛 }がある値 S に収束する（ lim 𝑆𝑛 = 𝑆）とき ,
𝑛→∞
無限級数
∑∞
𝑛=1 𝑎𝑛
は収束するといい, S =
21
∑∞
𝑛=1 𝑎𝑛
と書いて, S を無限
級数 ∑∞
𝑛=1 𝑎𝑛 の和という。
・数列 { 𝑆𝑛 }が発散するとき , 無限級数 ∑∞
𝑛=1 𝑎𝑛 は発散するという。
＜無限等比級数の収束・発散＞
・初項 𝑎、公比 𝑟 の無限等比数列 { 𝑎𝑟 𝑛−1 }から作られる無限級数
𝑛−1
∑∞
= 𝑎 + 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟 2 + ････ + 𝑎𝑟 𝑛−1 + ････
𝑛=1 𝑎𝑟
を初項 𝑎 ,公比 𝑟 の無限
等比級数という。
𝑛−1
・無限等比級数 ∑∞
の第 n 項までの部分和 𝑆𝑛 =
𝑛=1 𝑎𝑟
𝑛−1
・無限等比級数 ∑∞
について 𝑎≠0 とき
𝑛=1 𝑎𝑟
①
|𝑟 | < 1 ならば
𝑛−1
∑∞
は収束して, その和は
𝑛=1 𝑎𝑟
②
|𝑟 | ≥ 1 ならば
𝑛−1
∑∞
は発散する。
𝑛=1 𝑎𝑟
𝑎(1−𝑟𝑛 )
1−𝑟
𝑎
1−𝑟
＜関数の極限値＞
・関数 f ( 𝑥) において , 変数 𝑥 が a と異なる値を取りながら限りなく a
に近づくとき , f ( 𝑥) の値が一定の値 𝛼 に限りなく近づくならば , f ( 𝑥)
は 𝛼に収束するといい、 lim 𝑓(𝑥 ) = 𝛼 または
𝑥 → 𝑎 のとき f ( 𝑥) → 𝛼
𝑥→𝑎
と記す。 𝛼 を 𝑥 → 𝑎 のときの f ( 𝑥) の極限値（または極限）という。
＜極限値の性質＞
lim 𝑓(𝑥 ) = 𝛼 , lim 𝑔(𝑥 ) = 𝛽 とき , 次の性質が成り立つ。
𝑥→𝑎
𝑥→𝑎
lim 𝑘 𝑓 (𝑥 ) = 𝑘𝛼
①
𝑥→𝑎
（ 𝑘は定数）
lim {𝑓(𝑥 ) + 𝑔(𝑥 )} = α + β
②
、
𝑥→𝑎
lim {𝑓(𝑥 )𝑔(𝑥 )} = αβ
③
lim {𝑓 (𝑥 ) − 𝑔(𝑥 )} = α − β
𝑥→𝑎
𝑥→𝑎
β≠0のとき
④
lim
𝑓(𝑥)
𝑥→𝑎 𝑔(𝑥)
=
𝛼
𝛽
＜無限大に発散＞
・関数 f ( 𝑥) において , 𝑥 が a と異なる値を取りながら限りなく a に近
づくとき , f ( 𝑥) の値が限りなく大きくなるならば , 「 𝑥 → 𝑎 のとき
f ( 𝑥) は正の無限大に発散する」 , または「 𝑥 → 𝑎 のとき f ( 𝑥) の極限は
∞
である」といい , lim 𝑓(𝑥 ) = ∞
𝑥→𝑎
または
𝑥 → 𝑎 のとき f ( 𝑥) → ∞ と記す。
・関数 f ( 𝑥) において , 𝑥 が a と異なる値を取りながら限りなく a に近
づくとき , f ( 𝑥) の値が負でその絶対値が限りなく大きくなるならば ,
「 𝑥 → 𝑎 のとき f ( 𝑥) は負の無限大に発散する」 , または「 𝑥 → 𝑎 のと
22
き f ( 𝑥) の極限は－ ∞ である」といい , lim 𝑓(𝑥 ) = −∞
𝑥→𝑎
のとき f ( 𝑥) → −∞
または 𝑥→𝑎
と記す。
＜右側極限と左側極限＞
・関数 f ( 𝑥) において , 𝑥 が a より大きい値をとりながら限りなく a
に近づくとき , f ( 𝑥) の値が一定の値 𝛼 に限りなく近づくならば ,
𝛼 を「 𝑥 が a に近づくときの f ( 𝑥) の右側極限」といい ,
lim 𝑓(𝑥 ) = 𝛼 と記す。
𝑥→𝑎+0
・関数 f ( 𝑥) において , 𝑥 が a より小さい値をとりながら限りなく a
に近づくとき , f ( 𝑥) の値が一定の値 𝛼 に限りなく近づくならば ,
𝛼 を「 𝑥 が a に近づくときの f ( 𝑥) の左側極限」といい ,
lim 𝑓(𝑥 ) = 𝛼 と記す。
𝑥→𝑎−0
・ a = 0 のとき , 𝑥 → 0 + 0 を 𝑥 → +0
, 𝑥 → 0 − 0 を 𝑥 → −0
と記す。
＜ 𝑥 → ∞ , 𝑥 → −∞ のときの極限＞
・変数𝑥 が限りなく大きくなることを𝑥→∞ と記し、𝑥 が負でその
絶対値が限りなく大きくなることを 𝑥 → −∞ と記す。
・ 𝑥 → ∞ のとき , f ( 𝑥) の値が一定の値 𝛼 に限りなく近づくならば , f ( 𝑥)
は 𝛼 に収束するといい , 値 𝛼 を「 𝑥 → ∞ のときの関数 f ( 𝑥) の極限値
（または極限）」という。このことを
lim 𝑓(𝑥 ) = 𝛼 と記す。
𝑥→∞
・ 𝑥 → −∞ のとき , f ( 𝑥) の値が一定の値 𝛼 に限りなく近づくならば , f ( 𝑥)
は 𝛼 に収束するといい , 値 𝛼 を「 𝑥 → −∞ のときの関数 f ( 𝑥) の極限
値（または極限）」という。このことを
lim 𝑓(𝑥 ) = 𝛼 と記す。
𝑥→−∞
・上記の＜極限の性質＞はこちらの場合にも成立する。
＜指数関数・対数関数の極限＞
lim 𝑎𝑥 = ∞
① a> 1 のとき
② 0< 𝑎 < 1 のとき
③ a> 1 のとき
lim 𝑎𝑥 = 0
𝑥→∞
𝑥→−∞
lim 𝑎𝑥 = 0
lim 𝑎𝑥 = ∞
𝑥→∞
𝑥→−∞
𝑥→∞
𝑥→+0
lim log 𝑎 𝑥 = ∞
④ 0<𝑎<1 のとき
lim log 𝑎 𝑥 = −∞
lim log 𝑎 𝑥 = −∞
𝑥→∞
lim log 𝑎 𝑥 = ∞
𝑥→+0
＜関数の極限と大小関係＞
関数の極限値について, 次の性質がある。
① 𝑥 が a の近くで不等式 f ( 𝑥) ≤ 𝑔( 𝑥) が成り立ち , かつ lim 𝑓 (𝑥 ) = 𝛼 ,
lim 𝑔(𝑥 ) = 𝛽
𝑥→𝑎
ならば
𝑥→𝑎
α≤β
② 𝑥 が a の近くで不等式 f ( 𝑥) ≤ 𝑔( 𝑥) ≤ ℎ(𝑥) が成り立ち , かつ
23
lim 𝑓(𝑥 ) = 𝛼 ,
𝑥→𝑎
lim ℎ(𝑥 ) = α
𝑥→𝑎
ならば
lim 𝑔(𝑥 ) = α
𝑥→𝑎
＜三角関数の極限＞
・ lim
𝑥→0
sin 𝑥
𝑥
=1 が成り立つ。
＜関数の連続性＞
・関数 𝑓 (𝑥 )がその定義域内の値 a に対して , lim 𝑓(𝑥 )が存在して lim 𝑓(𝑥 ) =
𝑥→𝑎
𝑥→𝑎
𝑓(𝑎)が成り立つとき , 関数 f ( 𝑥) は 𝑥 = a で連続であるという。
・ a が定義域の左端のときは , lim 𝑓 (𝑥 ) = 𝑓(𝑎)が成り立つならば ,
𝑥→𝑎+0
f ( 𝑥) は 𝑥 = a で連続であるという。
・ a が定義域の右端のときは , lim 𝑓 (𝑥 ) = 𝑓(𝑎)が成り立つならば ,
𝑥→𝑎−0
f ( 𝑥) は 𝑥 = a で連続であるという。
・関数 𝑓 (𝑥 )がその定義域内の 𝑥= a で連続でないとき , 𝑓( 𝑥) は 𝑥 = a で不
連続であるという。
𝑥 2 −4
例
𝑓 (𝑥 ) = {
𝑥−2
0
(𝑥 ≠ 2)
y
(𝑥 = 2)
4
で定義された関数 f ( 𝑥) は
f(2)=0
,
lim
𝑥 2 −4
𝑥→2 𝑥−2
であるから , lim
2
= lim (𝑥 + 2) = 4
𝑥 2 −4
x→2 𝑥−2
𝑥→2
o
≠ 𝑓(2)
𝑥
2
したがって , 𝑥 =2 で不連続
＜区間における連続＞
・ 𝑥 について , a< 𝑥 < 𝑏 ,
a< 𝑥 ≤ 𝑏 ,
a≤ 𝑥 < 𝑏 ,
a≤ 𝑥 ≤ 𝑏 を満たす 𝑥
の集合を区間といい , それぞれ (𝑎 , 𝑏) , (𝑎 , 𝑏] , [𝑎 , 𝑏) , [𝑎 , 𝑏] と記す。
( 𝑎 , 𝑏 ) を開区間 , [𝑎 , 𝑏 ] を閉区間という。
・関数 f ( 𝑥) がある区間 I に属するすべての 𝑥 において連続であると
き , 「 f ( 𝑥) は区間 I において連続である」という。
・関数 f ( 𝑥) が定義域内のすべての 𝑥 の値で連続であるとき , f ( 𝑥) を連
続関数という。
24
要約
微分法について
＜扱う関数＞
高校数学の微分法と積分法で扱う関数 f ( 𝑥) は以下の通り。
・多項式関数
例
f ( 𝑥) = 𝑥 2 − 2𝑥 + 3
・分数関数
例
f ( 𝑥) = 𝑥2 +𝑥+3
・無理関数
・指数関数
例
例
f ( 𝑥) = 𝑥 3 = √𝑥
f ( 𝑥) = 2𝑥
・対数関数
例
f ( 𝑥) = log 2 𝑥
・三角関数
例
f ( 𝑥) = sin 𝑥
𝑥+2
1
・これらを組み合わせた関数
・これらの合成関数
例
3
例
2𝑥
f ( 𝑥) = 𝑥−2 sin 𝑥
f ( 𝑥) = sin(√𝑥 2 − 2𝑥 + 3)
y
＜微分係数＞
関数 f ( 𝑥) について , 極限値 lim
ℎ→0
𝑓(𝑎+ℎ)−𝑓(𝑎)
ℎ
f(a+h)
が存在するとき , この値を f ( 𝑥) の 𝑥= a
f(a)
における微分係数といい , 𝑓 ′( a ) と記す。
このとき , f ( 𝑥) は 𝑥= a で微分可能である
o
a
a+h
𝑥
という。
y
関数 y = f ( 𝑥) のグラフを描いたとき , 𝑓 ′( a ) は
傾き 𝑓′( a )
グラフ上の点 (a, f(a))の接線の傾きを表す。
f(a)
関数 f ( 𝑥) がある区間の各点で微分可能の
とき , f ( 𝑥) はその区間で微分可能であるという。
o
a
𝑥
＜導関数＞
関数 f ( 𝑥) がある区間で微分可能であるとき , その区間の x の値 a に微
分係数 𝑓 ′ ( a ) を対応させる関数を f ( 𝑥) の導関数といい , 𝑓 ′ ( 𝑥) と記す。
f ( 𝑥) から 𝑓 ′( 𝑥) を求めることを f ( 𝑥) を微分するという。
𝑓 ′( x ) は lim
ℎ→0
𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)
ℎ
で求められる。
25
𝑑𝑦
（記号） 𝑓 ′( 𝑥) の代わりに y ' ,
𝑑
,
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑓(𝑥) ,
𝑑𝑓(𝑥)
𝑑𝑥
などの記号も用いる。
＜関数の定数倍・和・差・積・商の導関数＞（k , l は定数）
① y = k f ( 𝑥)
ならば
② y = f ( 𝑥) + 𝑔(𝑥 )
ならば
y = f ( 𝑥) － 𝑔(𝑥 )
④ y = f ( 𝑥) 𝑔(𝑥 )
1
y ' = 𝑓 ′ ( 𝑥) + ' ( 𝑥)
y ' = 𝑓 ′( 𝑥) － 𝑔' ( 𝑥)
ならば
③ y = k f ( 𝑥) + l 𝑔(𝑥 )
⑤ y = 𝑔(𝑥)
y ' = k 𝑓 ′( 𝑥)
y ' = k 𝑓 ′( 𝑥) + l 𝑔' ( 𝑥)
ならば
ならば
ならば
y ' = 𝑓 ′( 𝑥) 𝑔(𝑥 )+ f ( 𝑥) 𝑔' ( 𝑥)
𝑔′(𝑥)
y ' = − {𝑔(𝑥)}2
𝑓(𝑥)
（商の導関数）
1
特に y = 𝑔(𝑥) ならば y ' = {𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥)}' = 𝑓 ′(𝑥)
= 𝑓 ′( 𝑥)
(積の導関数）
1
1
1
+ 𝑓(𝑥) {𝑔(𝑥)} ′
𝑔(𝑥)
𝑔′(𝑥)
+ f ( 𝑥) {− {𝑔(𝑥)}2} =
𝑔(𝑥)
𝑓′ (𝑥)𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥)
{𝑔(𝑥)}2
＜合成関数の微分法＞
2 つの関数 y = f ( 𝑢) と u = 𝑔(𝑥 )が微分可能であるとき , 合成関数
y = f ( 𝑔(𝑥 )) は 𝑥 の関数として微分可能で ,
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑦 𝑑𝑢
= 𝑑𝑢 𝑑𝑥
が成り立つ。
＜逆関数の微分法＞
関数 f ( 𝑥) が逆関数 𝑓 −1 (𝑥)をもつとき , y = 𝑓 −1 (𝑥)とおくと 𝑥= f ( y ) であるか
ら , 両辺を 𝑥で微分すると ,
ここで, 左辺＝
𝑑
𝑑𝑥
であることから,
したがって,
例題
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑑
𝑑𝑥
𝑥= 1 , 右辺＝
𝑑𝑥 𝑑𝑦
𝑑𝑦 𝑑𝑥
1
= 𝑑𝑥
𝑥 =
𝑑
𝑑𝑥
𝑑
𝑑𝑥
𝑓(𝑦)=
𝑓(𝑦)
𝑑𝑓(𝑦) 𝑑𝑦
𝑑𝑦 𝑑𝑥
=1
が成り立つ。
𝑑𝑦
4
関数 y = √𝑥 の導関数を求めなさい。
解
4
y = √𝑥 とおくと , 𝑥 = 𝑦 4 により ,
𝑑𝑥
𝑑𝑦
26
= 4 𝑦3
=
𝑑𝑥 𝑑𝑦
𝑑𝑦 𝑑𝑥
したがって,
𝑑𝑦
=
𝑑𝑥
1
𝑑𝑥
𝑑𝑦
1
=
4𝑦3
1
=
4
4 ( √𝑥)
3
=
1
3
1
= 4 𝑥 −4
4
4 √ 𝑥3
＜自然対数の底＞
1
lim (1 + ℎ)ℎ = 2 . 7 1 8 2 8 1 ････（定数）が成り立つことが知られている。
ℎ→0
この極限値を「自然対数の底」といい, e と記す。
e を底とする対数 log 𝑒 |𝑥 |では e を省略して , 単に log|𝑥 |と書くことが多
い。
＜いろいろな関数の導関数＞
(𝑥 α )' = α𝑥 α−1
・ 𝑥 > 0, αが実数のとき
・a が 1 でない正の定数のとき
とくに a=e のとき
(log|𝑥 |)' =
・ (sin 𝑥 )' = cos 𝑥
,
1
𝑥 log 𝑎
1
𝑥
・a が 1 でない正の定数のとき
とくに a=e のとき
(log 𝑎 |𝑥 |)' =
(𝑎𝑥 )' = 𝑎𝑥 log 𝑎
(𝑒 𝑥 )' = 𝑒 𝑥
(cos 𝑥 )' = － sin 𝑥
,
(tan 𝑥 )' =
1
cos2 𝑥
合成関数の微分法により（ 𝑓(𝑥 )は微分可能 , 定数 𝑎 > 0 , 𝑎 ≠ 1のとき）
・αが実数のとき
{( 𝑓(𝑥))α }′ = α 𝑓 ′(𝑥)( 𝑓(𝑥))α−1
𝑓′ (𝑥)
・ (log 𝑎 |𝑓(𝑥)|)' = 𝑓(𝑥)log 𝑎
とくに a=e のとき
・ (𝑎 𝑓(𝑥) )' = 𝑓′(𝑥)𝑎 𝑓(𝑥) log 𝑎
とくに a=e のとき
(log|𝑓(𝑥)|)' =
𝑓′ (𝑥)
𝑓(𝑥)
(𝑒 𝑓(𝑥) )' = 𝑓 ′ (𝑥)𝑒 𝑓(𝑥)
・ {sin 𝑓(𝑥)}′= 𝑓 ′(𝑥) cos 𝑓(𝑥)
・ {cos 𝑓(𝑥)}′= − 𝑓 ′(𝑥) sin 𝑓(𝑥)
・ {tan 𝑓(𝑥)}′=
𝑓′ (𝑥)
cos2 𝑓(𝑥)
y
＜接線と法線＞
曲線 y = f ( 𝑥) の上の点 A （ a , f ( 𝑎) ) における
接線の傾きは , 微分係数 𝑓 ′( a ) で与えられ
法線
接線
る。この曲線上の点 A において接線と垂
直に交わる直線を, この曲線の点Ａにおけ
る法線という。 𝑓 ′( a ) ≠ 0のとき点 A におけ
o
27
𝑥
1
る法線の傾きは − 𝑓′ (𝑎) だから ,
・曲線 y = f ( 𝑥) の上の点 A （ a , f ( 𝑎) ) における接線の方程式は
y － f ( 𝑎) = 𝑓 ′( a ) ( 𝑥 － a )
・曲線 y = f ( 𝑥) の上の点 A （ a , f ( 𝑎) ) における法線の方程式は
1
y － f ( 𝑎) = − 𝑓′ (𝑎) ( 𝑥 － a )
＜関数の増減＞
関数 f ( 𝑥) が閉区間 [𝑎, 𝑏]で連続 , 開区間 (𝑎, 𝑏)で微分可能であるとき ,
次の性質が成り立つ。
① 区間 (𝑎 , 𝑏)でつねに 𝑓 ′( 𝑥) > 0ならば ,
f ( 𝑥) は区間 [𝑎, 𝑏]で増加する。
② 区間 (𝑎 , 𝑏)でつねに 𝑓 ′( 𝑥) < 0ならば ,
f ( 𝑥) は区間 [𝑎, 𝑏]で減少する。
③ 区間 (𝑎 , 𝑏)でつねに 𝑓 ′( 𝑥) = 0ならば ,
f ( 𝑥) は区間 [𝑎, 𝑏]で定数である。
y
y
f'(x)< 0
f ( 𝑥2 )
f'(x)> 0
f ( 𝑥1 )
f ( 𝑥1 )
f ( 𝑥2 )
O
𝑥1
𝑥2
x
𝑥1
O
関数 f ( 𝑥) は増加
𝑥2
x
関数 f ( 𝑥) は減少
関数
＜関数の極大・極小＞
・連続な関数 f ( 𝑥) が 𝑥 = a の前後で増加から減少に変わるとき ,
f ( 𝑥) は 𝑥 = a で極大であるといい , f ( 𝑎) を極大値という。
・連続な関数 f ( 𝑥) が 𝑥= a の前後で減少から増加に変わるとき ,
f ( 𝑥) は 𝑥= a で極小であるといい , f ( 𝑎) を極小値という。
・極大値と極小値を合わせて極値という。
y
関数 f ( 𝑥) が 𝑥 = a , 𝑏 を含む区間で
極大
微分可能であるとき, 上記①, ②
𝑓 ′ ( 𝑥) > 0
𝑓 ′ (𝑥) < 0
により次の性質が成り立つ。
𝑓 ′ ( 𝑥) > 0
28
極小
𝑥
④ a の近くで {
ならば,
𝑥 < 𝑎 のとき 𝑓 ′(𝑥) > 0
f ( 𝑥) は 𝑥 = a で極大である。
⑤ 𝑏 の近くで {
ならば,
𝑥 > 𝑎 のとき 𝑓 ′(𝑥) < 0
𝑥 < 𝑏 のとき 𝑓 ′ (𝑥) < 0
𝑥 > 𝑏 のとき 𝑓 ′(𝑥) > 0
f ( 𝑥) は 𝑥 = b で極小である。
⑥ f ( 𝑥) が 𝑥 = c で極値をとるならば 𝑓 ′( 𝑐) = 0である。
しかし , 𝑓 ′( 𝑐) = 0であっても 𝑥 = c で極値をとるとは限らない。
＜曲線の凹凸と関数のグラフ＞
・関数 y = f ( 𝑥) の導関数 y ' = 𝑓 ′( 𝑥) が微分可能であるとき , これをもう
一度微分した関数を f ( 𝑥) の第２次導関数といい ,
y ' ' , 𝑓 ′ ′( 𝑥) ,
𝑑2 𝑦
𝑑𝑥 2
,
𝑑2
𝑑𝑥 2
f ( 𝑥) などと記す。 y ' = 𝑓 ′( 𝑥) を第１次導関数とい
y
うことがある。
下に凸
・ある区間で第２次導関数 𝑓 ′′( 𝑥) >0 で
あるとき , 第 1 次導関数 y ' = 𝑓 ′ ( 𝑥)
（接線の傾き）は増加するから,
𝑓 ′ ′( 𝑥) >0 である区間では y = f ( 𝑥) の
グラフは右の図のようになる。
𝑥
このようなとき , 曲線 y = f ( 𝑥) は
o
𝑓 ′′( 𝑥) >0
その区間で下に凸であるという。
・ある区間で第２次導関数 f ' ' ( 𝑥) <0 で
y
である区間
上に凸
′
あるとき , 第 1 次導関数 y ' = 𝑓 ( 𝑥)
（接線の傾き）は減少するから,
f ' ' ( 𝑥) <0 である区間では y = f ( 𝑥)
のグラフは右の図のようになる。
このようなとき , 曲線 y = f ( 𝑥) は
その区間で上に凸であるという。
𝑥
o
𝑓 ′′( 𝑥)
・グラフの凹凸が入れかわる点を
変曲点という。
<0 である区間
y
上に凸
・関数 f ( 𝑥) が 𝑓 ′ ′( 𝑎) = 0 であると
変曲点
29
下に凸
き , 𝑥 = a の前後で 𝑓 ′ ′( 𝑎) の符号
が変われば曲線 y = f ( 𝑥) 上の点
(a, f (a))は変曲点である。
要約
積分法について
＜扱う関数＞
以下の説明の中で扱う関数は ,微分法のときと同じく , 多項式関数 ,
分数関数, 無理関数, 指数関数 , 対数関数 , 三角関数, これらを組
み合わせた関数及びこれらの合成関数である。したがって, 以下で
f ( 𝑥) , 𝑔(𝑥 ) , F ( 𝑥) , G ( 𝑥) などの記号で用いる関数とその導関数は , 微
分可能性 ,連続性など必要な条件が仮定されているものとする。
１
不定積分
＜不定積分の定義＞
・関数 f ( 𝑥) に対して , F ' ( 𝑥) = f ( 𝑥) を満たす関数 F ( 𝑥) を f ( 𝑥) の原始
関数という。
・ f ( 𝑥) の原始関数の一つを F ( 𝑥) とすると , f ( 𝑥) の任意の原始関数は
定数 𝐶 を用いて F ( 𝑥) + 𝐶 と表わされる。これを f ( 𝑥) の不定積分と
いい , ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 で表す。すなわち , ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = F ( 𝑥) + 𝐶
ここで , f ( 𝑥) を被積分関数 , 𝑥 を積分変数 , 𝐶 を積分定数という。
f ( 𝑥) の不定積分を求めることを , f ( 𝑥) を積分するという。
＜不定積分の基本的な性質＞
不定積分は次の性質をもつ。（ 𝑘 , 𝑙 は定数）
①
∫ 𝑘𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑘 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
②
∫{𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥 )} 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑔(𝑥 )𝑑𝑥
∫{𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥 )} 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 － ∫ 𝑔(𝑥 )𝑑𝑥
③
∫{𝑘𝑓(𝑥) + 𝑙𝑔(𝑥 )}𝑑𝑥= 𝑘 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + 𝑙 ∫ 𝑔(𝑥 )𝑑𝑥
＜基本的な関数の不定積分＞
次の式が成り立つ。（ 𝐶 は積分定数）
①
∫ 0 𝑑𝑥 = 𝐶
②
∫ 𝑥 α 𝑑𝑥 =
𝑥 α+1
α+1
+ 𝐶
（ α は定数で α ≠ −1 ）
30
1
③
∫ 𝑥 𝑑𝑥 = log|𝑥 | + 𝐶
④
∫ 𝑎𝑥 𝑑𝑥 =
⑤
∫ 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒 𝑥 + 𝐶
⑥
∫ sin 𝑥 𝑑𝑥 = − cos 𝑥 + 𝐶
⑦
∫ cos 𝑥 𝑑𝑥 = sin 𝑥 ＋ 𝐶
⑧
∫ cos2 𝑥 𝑑𝑥 = tan 𝑥 + 𝐶
⑨
∫ sin2 𝑥 𝑑𝑥 = －
𝑎𝑥
+ 𝐶
log 𝑎
（a は定数で a >0 , a ≠1 ）
1
1
1
tan 𝑥
＋𝐶
＜置換積分法＞
・ F ( 𝑥) = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥において , 𝑥 が 𝑡 の微分可能な関数 𝑔(𝑡)によって
𝑥= 𝑔(𝑡)と表わされるとき , 合成関数 F ( 𝑥) = F ( 𝑔(𝑡)) は 𝑡 の関数で , 𝑡
で微分可能である。合成関数の微分法により,
𝑑
𝑑𝑡
F ( 𝑥) =
𝑑
𝑑𝑥
F(𝑥 )･
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= f ( 𝑥) 𝑔' ( 𝑡) = f ( 𝑔(𝑡)) 𝑔' ( 𝑡)
したがって, 両辺を𝑡 で積分すると,
ゆえに,
∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓((𝑡))𝑔′(𝑡)𝑑𝑡
F ( 𝑥) = ∫ 𝑓(𝑔(𝑡)) 𝑔′(𝑡) 𝑑𝑥
が成り立つ。
・（簡便法）置換積分法において , 𝑥 = 𝑔( t ) のとき
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 𝑔′(𝑡) であ
るが , これを 𝑑𝑥 = 𝑔' ( 𝑡) 𝑑𝑡 と書くことにすると , ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 におい
て , 𝑥 = 𝑔(𝑥 ) , 𝑑𝑥 = 𝑔' ( 𝑡) 𝑑𝑡 を代入したものが , ∫ 𝑓(𝑔(𝑡)𝑔′(𝑡) 𝑑𝑡
なっている。今後はこの書き方を使う。
・ ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓((𝑡))𝑔′(𝑡)𝑑𝑡
∫ 𝑓(𝑔(𝑥 ))𝑔′(𝑥)𝑑𝑥 ＝ ∫ 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡
において 𝑥と𝑡を入れ替えると ,
が得られる。
＜部分積分法＞
・関数の積の導関数
{𝑓 (𝑥 )𝑔(𝑥 )}' = 𝑓 ′( 𝑥) 𝑔(𝑥 )+ 𝑓(𝑥 ) 𝑔' ( 𝑥)
により 𝑓 (𝑥 ) 𝑔' ( 𝑥) = {𝑓 (𝑥 )𝑔(𝑥 )}' － 𝑓 ′( 𝑥) 𝑔(𝑥 )
両辺を 𝑥で積分すると ,
∫ 𝑓 (𝑥 )𝑔′(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑓 (𝑥 )𝑔(𝑥 ) − ∫ 𝑓 ′(𝑥 )𝑔(𝑥 )𝑑𝑥
＜分数関数＞
31
が成り立つ。
に
・整式の商
𝐴(𝑥)
𝐵(𝑥)
の形の関数を分数関数または有理関数という。
・分数関数を変形して, 整式＋簡単な分数関数の形に変形すること
を部分分数分解という。
例
２
𝑥3
𝑥2 −4
=𝑥 +
4𝑥
𝑥2 −4
=𝑥 +
2
𝑥+2
+
2
𝑥−2
定積分
＜定積分の定義＞
・ある区間で連続な関数 𝑓 (𝑥 )の原始関数の一つを F ( 𝑥) とするとき ,
区間内の２つの実数 a , b に対して , F ( b ) － F ( a ) を関数 𝑓 (𝑥 )の a から
𝑏
b までの定積分といい , ∫𝑎 𝑓(𝑥 )𝑑𝑥 で表す。
・この定積分を求めることを「 𝑓 (𝑥 ) を a から b まで積分する」とい
い, a , b をそれぞれこの定積分の下端, 上端という。
また , F ( b ) － F ( a ) を [F(𝑥 )]𝑏𝑎 と書く。
𝑏
すなわち , F ' ( 𝑥) = 𝑓(𝑥 ) のとき ∫𝑎 𝑓 (𝑥 )𝑑𝑥 = [F(𝑥 )]𝑏𝑎 = F ( b ) － F ( a )
・関数 𝑓 (𝑥 )の原始関数の一つを F ( 𝑥) とすると , 𝑓 (𝑥 )の任意の原始関数
G ( 𝑥) は , ある定数 𝐶を用いて , G ( 𝑥) = F ( 𝑥) + 𝐶
と表わされる。した
がって, 区間内の２つの実数 a , b に対して
G ( b ) － G ( a ) = {F(𝑏) + 𝐶 } － {F(𝑎) + 𝐶 } = F ( b ) － F ( a )
が成り立つ。すなわち , 積分定数 𝐶 とは関係なく , 関数 𝑓 (𝑥 )と実数
a , b のみによって１つの値 F(b)－ F(a) が定まる。
＜定積分の基本的な性質＞
・定積分は次の性質をもつ。 (𝑘 ,𝑙 は定数 )
𝑏
𝑏
①
∫𝑎 𝑘𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑘 ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
②
∫𝑎 {𝑓 (𝑥) + 𝑔(𝑥)}𝑑𝑥 = ∫𝑎 𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 + ∫𝑎 𝑔(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑏
𝑏
𝑏
𝑏
𝑏
∫𝑎 {𝑓 (𝑥) − 𝑔(𝑥)}𝑑𝑥 = ∫𝑎 𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 − ∫𝑎 𝑔(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑏
𝑏
③
∫𝑎 {𝑘𝑓(𝑥) + 𝑙𝑔(𝑥)}𝑑𝑥 = 𝑘 ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + 𝑙 ∫𝑎 𝑔(𝑥)𝑑𝑥
④
∫𝑎 𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 = 0
𝑎
32
𝑏
𝑎
⑤
∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = − ∫𝑏 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
⑥
∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫𝑐 𝑓 (𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑐
𝑏
＜定積分の置換積分法＞
F ( 𝑥) = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 において , 𝑥 = 𝑔(𝑡) のとき , 不定積分の置換積分法
により
F ( 𝑥) = F ( 𝑔(𝑡)) = ∫ 𝑓(𝑔(𝑡))𝑔′(𝑡) 𝑑𝑡である。
したがって、変数 𝑥 が a から b まで変化するとき , 変数 𝑡 が α から
βまで変化するならば
𝛽
𝛽
∫𝛼 𝑓(𝑔(𝑡))𝑔′(𝑡) 𝑑𝑡 = [F(𝑔(𝑡))]𝛼 = F ( 𝑔(𝛽)) － F ( 𝑔(𝛼 ))
𝑏
= F ( b ) － F ( a ) = ∫𝑎 𝑓(𝑥 )𝑑𝑥
が成り立つ。
すなわち , 𝑥 = 𝑔 (𝑡 ) のとき , 変数 𝑥 が a から b まで変化するとき , 変
数 𝑡が α から βまで変化するならば
𝑏
𝛽
∫𝑎 𝑓(𝑥 )𝑑𝑥 = ∫𝛼 𝑓(𝑔(𝑡))𝑔′(𝑡) 𝑑𝑡
＜定積分の部分積分法＞
不定積分の部分積分法
により,
∫ 𝑓 (𝑥 ) 𝑔′(𝑥 )𝑑𝑥 = 𝑓 (𝑥 )𝑔(𝑥 ) − ∫ 𝑓 ′ (𝑥 )𝑔(𝑥 )𝑑𝑥
𝑏
𝑏
∫𝑎 𝑓 (𝑥 )𝑔′(𝑥 )𝑑𝑥 = [𝑓(𝑥 )𝑔(𝑥)]𝑏𝑎 − ∫𝑎 𝑓 ′(𝑥 )𝑔(𝑥 )𝑑𝑥
が成り立つ。
＜定積分の図形的意味＞
関数 𝑓( 𝑥) が区間 a ≤ 𝑥 ≤ 𝑏で 𝑓( 𝑥) ≥ 0 のとき , 曲線 𝑦 = 𝑓( 𝑥) と 𝑥 軸お
よび２直線 𝑥= a , 𝑥= b で囲まれた図形の面積 S は
である。（第２回課題のヒント
𝑏
S ＝ ∫𝑎 𝑓 (𝑥 ) 𝑑𝑥
２８ページ参照）
＜定積分と区分求積法＞
y
・区分求積法・・・図形の面積や体積
を簡単な図形の面積や体積の和の極
限として求める方法
・関数 𝑓 ( 𝑥 ) が区間 [ 𝑎 , 𝑏 ]で連続で
𝑓 (𝑥 ) ≥ 0 であるとき ,
曲線 y = 𝑓 (𝑥 ) ,
𝑥 軸 , 直線 𝑥 =a と 𝑥 =b で囲まれた
図形の面積 S は＜定積分の図形的
意味＞により S＝
𝑏
∫𝑎 𝑓 (𝑥 ) 𝑑𝑥
である。
・次に面積 S を区分求積法で求める。
33
O
a
𝑘
𝑛
𝑥
b
いま区間 [𝑎 , 𝑏 ] を 𝑛 等分して a から b までの分点を順に
a = 𝑥0 , 𝑥1 , 𝑥2 , ･･････ , 𝑥𝑛−1 , 𝑥𝑛 = b
とする。
⊿x=
𝑏−𝑎
𝑛
とおくと 𝑥𝑘 = a + k ⊿ x である。
小区間の幅を底辺とし , その小区間の右端の 𝑥座標に対する 𝑓(𝑥 )の
値を高さとする短冊（長方形）の面積を考える。
例えば [𝑥𝑘−1 , 𝑥𝑘 ] については , 区間の幅
⊿x=
𝑏−𝑎
, 右端の座標は 𝑥𝑘
𝑛
だから , 短冊の面積は 𝑓 (𝑥𝑘 )⊿ x である。 𝑛個の短冊の面積の和を S𝑛
とすると
S𝑛 = 𝑓( 𝑥1 ) ⊿ 𝑥 + 𝑓( 𝑥2 ) ⊿ 𝑥 + ････ + 𝑓( 𝑥𝑛 ) ⊿ 𝑥 = ∑𝑛𝑘=1 𝑓(𝑥𝑘 ) ⊿ 𝑥
ここで n → ∞ のとき S𝑛 → S であるから ,
𝑏
lim ∑𝑛𝑘=1 𝑓 (𝑥𝑘 )⊿ 𝑥 = ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
が成り立つ。
𝑛→0
y
＜面積＞
①
区間 [𝑎, 𝑏] において
𝑓 (𝑥 ) ≥ 0
であるとき , 曲線 y = 𝑓 (𝑥 ) , 𝑥 軸
と２直線 𝑥 = a ,
y = b とで囲ま
𝑥
o
a
b
れた図形の面積 S は
S =
②
𝑏
∫𝑎 𝑓(𝑥 )𝑑𝑥 である。
区間 [𝑎, 𝑏] において
y
y = 𝑓 (𝑥 )
𝑓 (𝑥 ) ≥ 𝑔 (𝑥 )
であるとき , ２曲線 y = 𝑓 (𝑥 ) ,
y = 𝑔 (𝑥 ) と２直線 𝑥 = a , y = b とで
囲まれた図形の面積 S は
S =
o
𝑏
a
∫𝑎 { 𝑓 (𝑥 ) − 𝑔(𝑥 ) }𝑑𝑥 である。
𝑥
b
y = 𝑔 (𝑥 )
y
③
区間 [𝑎, 𝑏] において
𝑓 (𝑥 ) ≤ 0
であるとき , 曲線 y = 𝑓 (𝑥 ) , 𝑥 軸と
２直線 𝑥 = a ,
y =b とで囲まれ
a
b
o
た図形の面積 S は , 𝑥軸の方程式が
y =0 であることから , (2)により
𝑏
𝑏
S = ∫𝑎 {0 − 𝑓(𝑥)}𝑑𝑥 = － ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
である。
𝑆(𝑥)
＜体積＞
・ある立体の ,平行な２平面 α , β で
34
𝑥
挟まれた部分の体積を求めたい。
α , β に垂直な直線を𝑥軸にとり、
𝑥軸とα , β との交点の座標をそれ
ぞれ a ,b とする。
さらに座標が 𝑥 である点で 𝑥軸に垂直に交わる平面を γ とし , γ に
よる立体の切り口の面積を 𝑆(𝑥)とすると , 立体の２平面 α , βで挟
Ｖ=
まれた部分の体積は
𝑏
∫𝑎 𝑆(𝑥)𝑑𝑥
である。
＜回転体の体積＞
・平面上の曲線 y = 𝑓 (𝑥 ) と２直線 𝑥 = a , 𝑥 = b および 𝑥軸で囲ま
れた図形を 𝑥軸の周りに１回転してできる回転体の体積Ｖは
𝑏
𝑏
Ｖ = π ∫𝑎 𝑦 2 𝑑𝑥 = π ∫𝑎 {𝑓(𝑥)}2 𝑑𝑥
である。( ただし, a < b )
説明
この回転体を 𝑥軸上の座標 𝑥の点を通り , 𝑥軸に垂直な平面で切った
時の切り口は半径 |𝑦| の円だから , その面積Ｓ ( 𝑥) は
Ｓ ( 𝑥) = π𝑦 2 = π{ 𝑓(𝑥 ) }2
𝑏
𝑏
Ｖ = ∫𝑎 π {𝑓(𝑥)}2 𝑑𝑥= π ∫𝑎 {𝑓(𝑥)}2 𝑑𝑥
したがって,
曲線 y = sin 𝑥 ( 0 ≤ 𝑥 ≤ π ) と 𝑥軸とで囲まれた図形を 𝑥軸
例題
の周りに１回転してできる回転体の体積Ｖを求めなさい。
解
Ｖ
𝜋
𝜋
𝜋
= π ∫0 𝑦 2 𝑑𝑥 = π ∫0 (sin 𝑥 )2 𝑑𝑥 = π ∫0 sin2 𝑥 𝑑𝑥
𝜋 1−cos 2𝑥
= π ∫0
2
𝑑𝑥 =
𝜋
2
1
[ 𝑥 − sin 2𝑥 ]
2
35
𝜋
0
=
𝜋2
2

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