. (対称律) x, y ∈ X について、x ∼ y ⇒ y ∼ x . (推移律) x, y ∈ X

§9. 商空間とその普遍性
位相空間 X 上に同値関係 ∼ が与えられたとき、商集合 X/∼ 上にある方法で位相を導入し、
位相空間にしたい。このような欲求に答える位相が商位相である。ここでは、商空間の概念と
その普遍性について学ぶ。
● 9 - 1 : 同値関係と同値類
同値関係について復習しよう。集合 X 上の関係 ∼ が同値関係であるとは、次の３条件が満
たされるときをいう。
(反射律) 任意の x ∈ X に対して x ∼ x.
(対称律) x, y ∈ X について、x ∼ y ⇒ y ∼ x.
(推移律) x, y ∈ X について、x ∼ y, y ∼ z ⇒ x ∼ z.
各 a ∈ X に対して、a と同値関係 ∼ で結ばれる X の元の全体を [a] で表わし、a が属する
同値類と呼ぶ：
[a] = { x ∈ X | x ∼ a }.
例 9 - 1 m を 2 以上の整数とし、固定する。Z を整数全体からなる集合とする。Z 上の関係
∼ を次で定義する：a, b ∈ Z に対し
a ∼ b ⇐⇒ ∃ q ∈ Z s.t. b − a = mq.
∼ は Z 上の同値関係である。
次の定理の⃝
2 と⃝
3 が同値であることから、同値類同士に共通部分があったとすれば、その２
つは完全に一致してしまう。したがって、集合 X に同値関係が与えられれば、X は互いに共
通部分を持たない同値類に「きれいに」類別されることがわかる (実は、同値関係における３条
件はこれが可能となるための条件である)。
定理 9 - 2
∼ を集合 X (̸= ∅) 上の同値関係とする。x, y ∈ X について、次の３つは同値である。
⃝
1 x ∼ y,
⃝
2 [x] ∩ [y] ̸= ∅,
⃝
3 [x] = [y].
上の定理の証明は演習問題とする。
X 上の同値関係 ∼ が与えられると、∼ の下での同値類をすべて集めてくることにより、新
たに集合を作ることができる。この集合を X の ∼ に関する商集合といい、X/∼ で表わす：
(9 - 1 a)
X/∼ = { [a] | a ∈ X }.
例 9 - 3 X = [0, 1] × [0, 1] とおく。X 上に以下の４種類の同値関係 ∼i (i = 1, 2, 3, 4) を導入
することができる。
⃝
1 (x, y) ∼1 (x′ , y ′ ) ⇐⇒ 「(x, y) = (x′ , y ′ )」または「{x, x′ } = {0, 1}, y = y ′ 」
⃝
2 (x, y) ∼2 (x′ , y ′ ) ⇐⇒ 「(x, y) = (x′ , y ′ )」または「{x, x′ } = {0, 1}, y = 1 − y ′ 」
⃝
3 (x, y) ∼3 (x′ , y ′ ) ⇐⇒ 「(x, y) = (x′ , y ′ )」または「{x, x′ } = {0, 1}, y = y ′ 」または
「{y, y ′ } = {0, 1}, x = x′ 」または「{x, x′ } = {y, y ′ } = {0, 1}」
– 33 –
⃝
4 (x, y) ∼4 (x′ , y ′ ) ⇐⇒ 「(x, y) = (x′ , y ′ )」または「{x, x′ } = {0, 1}, y = 1 − y ′ 」
または「{y, y ′ } = {0, 1}, x = x′ 」または
「{x, x′ } = {y, y ′ } = {0, 1}」
各同値関係 ∼i による商集合 X/ ∼i を “描いて”みると、次のような図形になることがわか
る (但し、⃝
4 については、R3 内に無理矢理描いたため、本当は存在しない自己交叉が出来てし
まっている)。
問. 上に描かれている 4 つの図形に「自然な方法で」位相を入れて位相空間とみなすにはどう
すればよいか？
● 9 - 2 : 商位相
X を集合、∼ を X 上の同値関係とする。このとき、各 x ∈ X に対して、それが属する同
値類 [x] を対応させる写像 p : X −→ X/∼ が定義される。p を自然な射影という。p は全射で
ある。今、X に位相が与えられているとし、この位相を用いて商集合 X/∼ を導入しよう。少
し一般的状況で考える。
補題 9 - 4
(X, O) を位相空間、Y を集合、p : X −→ Y を全射とする。このとき、Y の部分集合族 Op
を次のように定義する：
Op = { U ⊂ Y | p−1 (U ) ∈ O }.
Op は Y の位相である。この位相を Y の p に関する商位相といい、位相空間 (Y, Op ) を p
に関する商空間という。また、p を商写像という。
p : (X, O) −→ (Y, Op ) は連続である。
(証明)
(O1) p−1 (∅) = ∅ ∈ O であるから、∅ ∈ Op である。p−1 (Y ) = X ∈ O であるから、Y ∈ Op
である。
(O2) U, V ∈ Op とすると、p−1 (U ), p−1 (V ) ∈ O である。O は X の位相であるから、
p−1 (U ∩ V ) = p−1 (U ) ∩ p−1 (V ) ∈ O となる。故に、U ∩ V ∈ Op を得る。
(O3) Uλ ∈ Op (λ ∈ Λ) とする。このとき、任意の λ ∈ Λ に対して p−1 (Uλ ) ∈ O であるから、
(∪
)
∪
p−1
Uλ =
p−1 (Uλ ) ∈ O
となる。故に、
∪
λ∈Λ
λ∈Λ
U λ ∈ Op .
□
λ∈Λ
注意：Op を商位相と呼ぶためには p が全射であることが必要なので仮定に入れたが、証明で
は使わない。
– 34 –
例 9 - 5 X を位相空間、∼ を X 上の同値関係とする。このとき、商集合 X/∼ には自然な射
影 p : X −→ X/∼ に関する商位相 Op を導入することができる。商集合 X/∼ には、通常この
位相を入れて、位相空間とみなす。商空間 (X/∼, Op ) は等化空間と呼ばれることもある。 □
例 9 -6 例 9-3⃝
1 の同値関係 ∼1 による等化空間 Y := X/∼1 の開集合を調べよう。p : X −→ Y
を自然な射影とする。
X = [0, 1] × [0, 1] の開集合 U = U (( 21 , 21 ); 14 ) に対して、p−1 (p(U )) = U となるから、p(U )
は等化空間 Y の開集合である。
一方、X の開集合 V = U ((0, 21 ); 14 )∩X に対して、p−1 (p(V )) = V ∪{ (x, 1) ∈ X |
1
4
<x<
3
4
}
となる。これは X における開集合でないから、p(V ) は等化空間 Y の開集合ではない。しか
(
) (
)
し、X の開集合 O = U ((0, 21 ); 41 ) ∩ X ∪ U ((1, 12 ); 14 ) ∩ X に対して、p−1 (p(O)) = O とな
□
る。これは X の開集合であるから、p(O) は等化空間 Y の開集合である。
● 9 - 3 : 商の普遍性
定理 9 - 7 (商の写像普遍性)
X を位相空間、Y を集合、p : X −→ Y を全射とする。Y に p に関する商位相を導入し、
位相空間とみなす。このとき、位相空間 Z と写像 f : Y −→ Z について
f ：連続 ⇐⇒ f ◦ p：連続
定理 9- 7 は、「写像 g : X −→ Z と写像 f : Y −→ Z が与えられていて、右の図式が可換と
なるとき (すなわち、g = f ◦ p となるとき)、Y の位相が p に関する商位相であるならば、g が
連続であることと f が連続であることは同値である」ことを主張している。
特に、Y が位相空間 X 上のある同値関係 ∼ に関する同値類全体
X
のなす集合である場合、自然な射影 p : X −→ X/∼ = Y に関する商
位相を Y に導入することができる。このとき、上の定理から、商空
間 Y からの写像 f が連続であることを知りたければ、
“ 商をとる前
p
@ g
@
? f @
@
R
- Z
Y
の空間 ”X からの写像 g が連続であること示せばよいことがわかる。
(定理 9 - 7 の証明)
=⇒ の証明：
p は連続だから、連続写像の合成として f ◦ p は連続である。
⇐= の証明：
U を Z の開集合とする。f −1 (U ) が Y の開集合であることを示したい。そのためには、商位相
の定義から、p−1 (f −1 (U )) が X の開集合であることを示せばよい。p−1 (f −1 (U )) = (f ◦p)−1 (U )
と書くことができ、f ◦ p は仮定により連続であるから、p−1 (f −1 (U )) は X の開集合である。
□
よって、f は連続である。
例 9 - 8 例 9- 3⃝
1 の同値関係 ∼1 による等化空間 Y := X/ ∼1 を考える。C = { (x, y, z) ∈
R3 | x2 + y 2 = 1, 0 ≤ z ≤ 1 } とおく。写像 f : X −→ C を
f (s, t) = (cos 2πs, sin 2πs, t)
– 35 –
(s, t ∈ [0, 1])
によって定義する。f は
f˜ : R2 −→ R3 ,
f˜(s, t) = (cos 2πs, sin 2πs, t)
(s, t ∈ R)
の X への制限写像となっている。f˜ は連続であるから、f も連続である。さらに、
(s, t) ∼1 (s′ , t′ ) =⇒ f (s, t) = f (s′ , t′ )
を満たすことが容易にわかる。これより、写像 f¯ : Y −→ C を
f¯([s, t]) = f (s, t)
によって矛盾なく定義することができる。f は連続であるから、商の普遍性により、f¯ も連続
□
である。
注意：f¯ が全単射であることは容易にわかる。f¯ は、実は、同相写像である。
例 9 - 9 R 上に関係 ∼ を
s ∼ t ⇐⇒ s − t ∈ Z
によって定める。このとき、∼ は R 上の同値関係である。∼ に関する商集合 R/ ∼ を R/Z で
表わす。等化空間 R/Z は S1 と同相である：
R/Z ∼
= S1 .
ここで、S1 は 2 次元ユークリッド空間 R2 の部分空間と見ている。
解；
f : R −→ S1 を
f (t) = (cos 2πt, sin 2πt)
(t ∈ R)
により定義する。s, t ∈ Z について
s ∼ t =⇒ f (s) = f (t)
となっているので、写像 h : R/Z −→ S1 が
h([t]) = f (t)
(t ∈ R)
によって矛盾なく定義される (well-defined)。h は同相写像である。これを示す。
⃝
1 f は連続なので、商の普遍性により、h も連続である。
⃝
2 h が全単射であることは容易に確かめられる。
⃝
3 h−1 が連続であることを示す。これを示すには、h が開写像である、すなわち、R/Z の
任意の開集合 U に対して h(U ) が S1 の開集合であることを示せばよい。p : R −→ R/Z を自
然な射影とすると、h(U ) = f (p−1 (U )) が成り立つ。したがって、f が開写像であることを示せ
ばよい。これは、任意の a ∈ R と 0 < δ <
1
4
を満たす任意の δ に対して
√
f ((a − δ, a + δ)) = U (f (a); 2(1 − cos 2πδ)) ∩ S1
□
と表わされることからわかる。
– 36 –
No.9
集合と位相 3 演習問題
商空間とその普遍性
2014 年 11 月 27 日
同値関係、同値類、自然な射影、商位相、商空間、等化空間
商写像、商の写像普遍性、well-defined
9-1∗ . X = [0, 1] × [0, 1] 上に同値関係 ∼ を次のように定義する：
(x, y) ∼ (x′ , y ′ ) ⇐⇒「(x, y) = (x′ , y ′ )」または「{x, x′ } = {0, 1}, y = y ′ 」
または「{y, y ′ } = {0, 1}, x = x′ 」または「{x, x′ } = {y, y ′ } = {0, 1}」
∼ による等化空間 Y := X/∼ と自然な射影 p : X −→ Y を考える。
(1) X の開集合 U = U ((0, 0); 14 ) に対して、p(U ) は等化空間 Y の開集合か？
(2) (0, 0) を含む X の開集合 V であって、p(V ) が等化空間 Y の開集合となるものを１つ見つ
けよ (理由を書くこと)。
9-2. R 上に関係 ∼ を
s ∼ t ⇐⇒ s − t ∈ Z
によって定める (ここで、Z は整数全体からなる集合である)。このとき、
(1) ∼ は R 上の同値関係であることを示せ。
(2) f : R −→ S1 を
f (t) = (cos 2πt, sin 2πt)
(t ∈ R)
により定義する。写像 h : R/Z −→ S1 が h([t]) = f (t) (t ∈ R) によって矛盾なく定義されるこ
とを示せ。
(3) R を 1 次元ユークリッド空間と考えて、∼ に関する同値類全体のなす集合 R/Z に、自然
な射影 p : R −→ R/Z に関する商位相を入れる。このとき、(2) の h は同相写像であることを
示せ。但し、S1 = { (x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 = 1 } はユークリッド空間 R2 の部分空間と考える。
ヒント：(3) h が連続な全単射であることは簡単にわかる。h−1 が連続であることを示すには、R/Z
の任意の開集合 U に対して h(U ) が S1 の開集合であることを示せばよい。h(U ) = f (p−1 (U ))
が成り立つから、そのためには f が開写像であること、すなわち、R の任意の開集合 I に対し
て f (I) が S1 の開集合であることを示せばよい。これは、任意の a ∈ R と 0 < δ <
す任意の δ に対して
√
(
)
f ((a − δ, a + δ)) = U f (a); 2(1 − cos 2πδ) ∩ S1
と表わされることからわかる (この等式が成立することを確かめよ)。
1
4
を満た
集合と位相３ [第 9 回]・関連図作成シート
学籍番号
2014 年 11 月 27 日
氏名
集合と位相３通信
[No.9]
2014 年 11 月 27 日発行
■ 演習 7-1 について
B(S) の元は {1, 2, 3} ∩ {1, 3, 4} ∩ {2, 3, 4} = {3} だけであると勘違いしている人が多かった
です。答えのみの解答も多く、不十分な解答の仕方が目立ちました。
この問題を解くには、まず、B(S) を求める必要があります。S の中の有限個の共通部分とし
て得られる X の部分集合をリストアップすれば、B(S) が求まります。S は３つの元からなっ
ているので、その中から、任意の組み合わせによる 1 個、2 個、3 個の共通部分をそれぞれとれ
ば、B(S) が求まります。次に、B(S) の中の任意個の和集合をとって、O(S) を求めます。B(S)
の中から任意の 2 個を選んで和集合をとってみましょう。すると、{1, 2, 3, 4} が新たに追加さ
れることがわかります。今度は B(S) に {1, 2, 3, 4} も加えて、任意の 2 個の和集合をとります。
もう、新しい開集合は出てきません。したがって、O(S) は、B(S) と {1, 2, 3, 4} に空集合 ∅
と全体集合 X を加えたものであることがわかります。
■ 第 7 回学習内容チェックシート Q3 と Q5 について
Q3 の枠の中には開直方体の定義を書き入れます。Rn における開直方体とは、開区間の直積
の形をした部分集合
(a1 , b1 ) × · · · × (an , bn ) = { (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn | ai < xi < bi (i = 1, . . . , n) }
のことであり、部分集合族 { (a1 , b1 ) × · · · × (an , bn ) | ai , bi ∈ R, ai < bi (i = 1, . . . , n) } のこ
とではありません。
Q5 の 8 番目の枠の中に「有限」と書き入れられたシートが多かったです。n 次元ユークリッ
1
ド空間 Rn の開基 { U (r, m
) | r ∈ Qn , m ∈ N } は可算集合 Q, . . . , Q, N の直積と同じ分だけ
| {z }
n個
の元を含んでいますから、その個数は可算個です。
■ 第 8 回小テストの [写像の定義に関する問題] について
{1, 2} を定義域とし、{1, 2, 3} を終域とする写像をすべて列挙する問題でした。無回答ある
いは 1 つしか挙げられていない答案が半数以上ありました。
簡単のため、A = {1, 2}, B = {1, 2, 3} とおきます。A から B への写像を与えるには、定義
域である A の中の各元 a に対して、それぞれ B の元を 1 つだけ対応させる規則を与えれば
O.K. です。今の場合、A の元は 1 と 2 の 2 つだけですから、そのような対応規則 f を与える
には、f (1) と f (2) を決めればよいことになります。例えば、f (1) = 1, f (2) = 2 と決めれば、
この規則によって写像 f : A −→ B が 1 つ定まりますし、f (1) = 1, f (2) = 3 と決めれば、こ
の規則によっても写像 f : A −→ B が 1 つ定まります。f (1) と f (2) の決め方はそれぞれ 3 個
づつあり、それらは独立に決めることができるので、A = {1, 2} を定義域とし、B = {1, 2, 3}
を終域とする写像は全部で 3 × 3 = 9 個あります。それらを、
f1 : {1, 2} −→ {1, 2, 3}, f1 (1) = 1, f1 (2) = 1,
f2 : {1, 2} −→ {1, 2, 3}, f2 (1) = 1, f2 (2) = 2,
..
.
のように、すべて列挙していけばよかったのです。
集合と位相３第 9 回・学習内容チェックシート
学籍番号
2014 年 11 月 27 日
氏名
Q1. 集合 X 上の関係 ∼ が同値関係であるとはどのような 3 条件が満たされるときをいうか？
その 3 条件を、∀, ∃, ⇒ などを使わずに、文章で書け。
(反射律)
(対称律)
(推移律)
Q2. 集合 X 上に同値関係 ∼ が与えられたとする。
(1) a ∈ X が属する同値類 [a] とは、
を満たす x ∈ X 全体からなる X の部分集
合のことである。
a, b ∈ X に対して、[a] と [b] が 1 点でも共有点を持てば、[a] = [b] となる。したがって、
[a] = [b] であることと [a] ∩ [b] ̸= ∅ であることとは同値である。これより、X は互いに共通部
分を持たない同値類に「きれいに」
されることがわかる。
となることと同値である。この言い換えは、商集合
[a] = [b] であることはまた、
X/∼ の世界と X の世界を行き来するときに使われる。
(2) 商集合 X/∼ とはどのような集合か？文章と集合表記の両方で説明せよ。
[文章]
[集合表記]
(3) 自然な射影 p : X −→ X/∼ とはどんな写像のことか？
Q3. 位相空間 X 上に同値関係 ∼ が与えられたとき、商集合 X/∼ にある「自然な」方法で位
相を導入し、位相空間にしたい。このような欲求に答える位相が
である。
(X, O) を位相空間、Y を集合、p : X −→ Y を全射とする。Y の p に関する商位相とは、
次のように定義される Y の部分集合族 Op のことをいう：
Op =
.
のことである。商位相の定義により、p : (X, O) −→
p に関する商空間とは、
(Y, Op ) は常に
である。
Y が X 上のある同値関係 ∼ に関する商集合であって、p が自然な射影 p : X −→ X/∼ = Y
とも呼ばれる。
の場合、p に関する商空間は
Q4. X, Y を位相空間、Y の位相は全射 p : X −→ Y に関する商位
X
相であるとする。位相空間 Z および写像 f : Y −→ Z, g : X −→ Z
が与えられていて、右の図式が可換、すなわち、g = f ◦ p であると
する。このとき、f が
であることと g が
である
p
@ g
@
? f @
@
R
- Z
Y
として引用
こととは同値である。この事実は、
され、商空間からの写像が連続か否かを調べるときに使われる。標語的に「商空間 Y からの写
像 f が連続か否かを知りたければ、
“
をとる前の空間 ”
あること示せばよい」と言われることが多い。
からの写像
が連続で
集合と位相３・第 9 回の学習内容のテーマとまとめ
学籍番号
2014 年 11 月 27 日
氏名
[テーマ]
[学習内容のまとめ] 今回の学習内容を下の破線より下に文章で書いてください。但し、∀, ∃, ⇒
などの論理記号や「(記号)：(その説明)」のような略式的表現法を避けてください。さらに、次
のことに触れてください。
•
•
•
•
同値関係を導入することの意味。商集合とは。
商位相の定義とそれを導入する目的 (特に、等化空間について)。
商の写像普遍性とその意味。
商の写像普遍性の適用例。
[感想](わかりにくかったことや考えたことなどがあれば書いてください)
集合と位相３ [第９回]・関連図作成シートに含めるべき項目
集合 X (̸= ∅) 上の関係 ∼ が同値関係であるとは、次の３条件が満たされるときをいう。
(反射律) 任意の x ∈ X に対して x ∼ x.
(対称律) x, y ∈ X について、x ∼ y ⇒ y ∼ x.
(推移律) x, y ∈ X について、x ∼ y, y ∼ z ⇒ x ∼ z.
∼ を集合 X 上の同値関係とする。
各 a ∈ X に対して、
∼ を集合 X 上の同値関係とする。
X/∼ := { [a] | a ∈ X }
[a] = { x ∈ X | x ∼ a }
を ∼ に関する X の商集合という。
を a が属する同値類と呼ぶ。
∼ を集合 X 上の同値関係とする。x, y ∈ X について、次の３つは同値である。
⃝
1 x ∼ y,
⃝
2 [x] ∩ [y] ̸= ∅,
1
⃝
3 [x] = [y].
3
2
4
∼ を集合 X 上の同値関係とする。全射
p:
X
∪
x
−→
7−→
X/∼
∪
[x]
を自然な射影という。
f ：連続 ⇐⇒ f ◦ p：連続.
Op = { U ⊂ Y | p−1 (U ) ∈ O }
は Y の位相である。この位相を Y の p に関する商位相といい、
位相空間 (Y, Op ) を p に関する商空間という。p を商写像という。
p : (X, O) −→ (Y, Op ) は連続である。
X を位相空間、Y を集合、p : X −→ Y を全射とする。
Y に p に関する商位相を導入し、位相空間とみなす。
このとき、位相空間 Z と写像 f : Y −→ Z について
(X, O) を位相空間、Y を集合、p : X −→ Y を全射とする。
このとき、
∼ を位相空間 X 上の同値関係とする。
自然な射影 p : X −→ X/∼
に関する商位相が導入された商空間
(X/∼, Op ) を等化空間と呼ぶ。
R 上に同値関係 ∼ を
s ∼ t ⇐⇒ s − t ∈ Z
によって定めると、R/Z ∼
= S1 .
⃝
∵
写像 f : R −→ S1 を f (t) = (cos 2πt, sin 2πt) (t ∈ R) により定義する。
f は同相写像 h : R/Z −→ S1 を引き起こす。
集合と位相３・小テスト [第９回]
2014 年 11 月 27 日
学籍番号
氏名
[文章化問題] (X, OX ), (Y, OY ) を位相空間、O を X × Y の部分集合とします。次の論理式 (∗)
で書かれた命題を、∀, ∃, ⇒ および ∈, ⊂ を使わずに、さらに、“U ∈ OX ”, “V ∈ OY ” を適
当な日本語に読み替えて、文章で書きなさい。
∀ (a, b) ∈ O, ∃ U ∈ OX , ∃ V ∈ OY s.t. (a, b) ∈ U × V ⊂ O.
(∗)
[写像の定義に関する問題] 区間 [0, 1] の各元 t に対して、(cos 2πt, sin 2πt) という単位円周 S1
の元を対応させる写像を、写像の表現形式に倣って、書きなさい。
[学習内容の確認問題] 以下の下線部分をうめなさい (O の定義を記述する箇所を除き、∀, ∃, ⇒
などの論理記号や「(記号)：(その説明)」のような略式的表現法を避けてください)。
2 つの位相空間 (X, OX ),
(Y, OY ) が与えられたとき、直積集合 X × Y
は X × Y
位相を定めたい。残念ながら一般に、
に
の位相にならない。
となるためである。
、
を開基とする位相を導入することはできる。そこで、X × Y の位相 O を次のよ
うに定め、位相空間 (X, ×Y, O) を
と呼ぶ：
O={
}.
T, X, Y を位相空間とし、X × Y を X と Y の積空間とする。f : T −→ X, g : T −→ Y
を写像とし、h : T −→ X × Y を h(t) = (f (t), g(t)) (t ∈ T ) によって定義される写像と
となる。こ
する。このとき、
の事実は
を調べるときに有効である。標語的に
、
と言われることが多い。n 次元ユークリッド空間 Rn は
とみなされるから、例えば、写像 f : S1 −→ R2 , f (x, y) = (xy, x + y), ((x, y) ∈ S1 ) が連続であ
るか否かは、
および
によって定義される 2 つの関数 fi : S1 −→ R (i = 1, 2) が連続であるか否かに帰着される。

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