幾何学序論2

幾何学序論２
K.Ichihara
Rn の連続写像
幾何学序論２
ε-近傍
Rn の同相写像
練習問題
第４章ユークリッド幾何学と位相幾何学
4.4
Rn の連続写像
市原一裕
2014 年 10 月 20 日（月）２，４限
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小テスト
幾何学序論２
K.Ichihara
Rn の連続写像
ε-近傍
1. n 次元ユークリッド空間の定義をかきな
さい．
Rn の同相写像
練習問題
2. R3 上の原点を中心とした点対称移動は等
長写像になることを示しなさい．
3. F ((x, y, z)) = (x, y) で定義される写像
F : R3 → R2 は等長写像でないことを示
しなさい．
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Rn の連続写像
幾何学序論２
K.Ichihara
Rn の連続写像
ε-近傍
定義 4.4.1【連続写像（continuous map）】
Rn の同相写像
練習問題
X ⊂ Rn ，Y ⊂ Rm とし，f : X → Y とし，a ∈ X とする．
このとき，f が a において連続であるとは，次が成り立つ
こと．
f が a において連続 ⇔ ∀ε > 0, ∃δ > 0 s.t.
d(n) (x, a) < δ (ただし，x ∈ X) ⇒ d(m) (f (x), f (a)) < ε
さらに，∀a ∈ X において f が連続であるとき，f は X 上
で連続，または，単に，f は連続写像であるという．
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注意
幾何学序論２
K.Ichihara
Rn の連続写像
ε-近傍
Rn の同相写像
注意 4.4.1
練習問題
n = m = 1 のときは，１次元のときの定義と全く一致．
注意 4.4.2
高校のときのように，lim を使って定義する方法もある．そ
のためには「数列」のかわりに「点列」を考える必要があ
る．詳しくは，次の章で．
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ε-近傍
幾何学序論２
K.Ichihara
定義 4.4.2【ε-近傍（ε-neighborhood）】
ε > 0 に対して，x ∈ Rn の（Rn における）ε-近傍とは，次
の集合のこと．
Rn の連続写像
ε-近傍
Rn の同相写像
練習問題
N (x, ε; Rn ) = {y ∈ Rn | d(n) (x, y) < ε}
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ε-近傍
幾何学序論２
K.Ichihara
定義 4.4.2【ε-近傍（ε-neighborhood）】
ε > 0 に対して，x ∈ Rn の（Rn における）ε-近傍とは，次
の集合のこと．
Rn の連続写像
ε-近傍
Rn の同相写像
練習問題
N (x, ε; Rn ) = {y ∈ Rn | d(n) (x, y) < ε}
注意 4.4.3
境界は含まれないので，より正確に「ε-開近傍」といった
り，また３次元のときのイメージで「ε-開球（ε open ball）」
というときもある．
注意 4.4.4
N (x, ε; Rn ) のセミコロンの後（Rn ）は，前後関係から明ら
かにわかるときは省略してもよい（するかもしれない）．
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連続写像の定義の言い換え
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K.Ichihara
Rn の連続写像
定義 4.4.3【連続写像の定義の言い換え】
f : Rn → Rm とし，a ∈ Rn とする．このとき，
ε-近傍
Rn の同相写像
練習問題
f が a において連続 ⇔
∀ε > 0, ∃δ > 0 s.t. x ∈ N (a, δ) ⇒ f (x) ∈ N (f (a), ε)
さらに，∀a ∈ Rn において f が連続であるとき，
f は Rn 上で連続，または，f は連続写像であるという．
注意 4.4.5
定義域と値域が Rn と Rm の部分集合になる場合は，次の
節で考える．
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Rn の同相写像
幾何学序論２
K.Ichihara
Rn の連続写像
ε-近傍
定義 4.4.4【同相写像（homeomorphism）】
写像 f : Rn → Rn が，同相写像であるとは，f が全単射で
連続写像，かつ，f の逆写像 f −1 も連続写像となること．
Rn の同相写像
練習問題
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Rn の同相写像
幾何学序論２
K.Ichihara
Rn の連続写像
ε-近傍
定義 4.4.4【同相写像（homeomorphism）】
写像 f : Rn → Rn が，同相写像であるとは，f が全単射で
連続写像，かつ，f の逆写像 f −1 も連続写像となること．
Rn の同相写像
練習問題
問題
境界を含む円板（閉円板）{(x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 ≤ 1} と
境界を含まない円板（開円板）{(x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 < 1}
は，平面 R2 の同相写像で移り合うだろうか？
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開集合と閉集合
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K.Ichihara
Rn の連続写像
ε-近傍
Rn の同相写像
練習問題
定義 4.4.5【開集合（open set）
・閉集合（closed set）】
U ⊂ Rn が開集合であるとは，任意の a ∈ U に対して，
ある ε > 0 が存在して，N (a, ε) ⊂ U が成り立つこと．
F ⊂ Rn が閉集合であるとは，R − F が開集合であること．
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連続関数と開集合・閉集合
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K.Ichihara
Rn の連続写像
ε-近傍
Rn の同相写像
練習問題
定理 4.4.1【連続関数と開集合・閉集合】
関数 f : Rn → Rm に対して，f が Rn 上の連続関数
⇔ 終域 Rm の任意の開集合 V に対して，f による V の逆
像 f −1 (V ) が Rn の開集合．
⇔ 終域 Rm の任意の閉集合 W に対して，f による W の逆
像 f −1 (W ) が Rn の閉集合．
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練習問題
練習問題 4.4.1
f ((x, y)) = x で定義される写像 f : R2 → R が点 (1, 2) において
連続写像であることを示しなさい．
練習問題 4.4.2
幾何学序論２
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Rn の連続写像
ε-近傍
Rn の同相写像
練習問題
f ((x, y)) = (2x, 2y) で定義される写像 f : R2 → R2 が原点 (0, 0)
において連続写像であることを示しなさい．
練習問題 4.4.3
R2 の x 軸に沿った平行移動は同相写像になることを示しなさい．
練習問題 4.4.4
{(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y 2 + z 2 < 1} は R3 内の開集合であることを
示しなさい．
練習問題 4.4.5
{(x1 , x2 , · · · , xn ) ∈ Rn | xn ≤ 0 } は Rn 内の閉集合であることを
示しなさい．
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