幾何学序論1

幾何学序論１
K.Ichihara
像と逆像
像とは
像と包含関係
逆像とは
逆像と包含関係
幾何学序論１
像と逆像と包含関係
合成写像
合成写像とは
写像の合成と結合律
練習問題
市原一裕
2015 年 5 月 25 日（月）2 限
1 / 10
小テスト
幾何学序論１
K.Ichihara
像と逆像
1. 値域と終域が等しくないような写像の例
を挙げなさい．
像とは
像と包含関係
逆像とは
逆像と包含関係
像と逆像と包含関係
合成写像
2. f (x) = x で定義される関数 f : Z → R と，
g(x) = [x]（[ ] はガウス記号）で定義され
る関数 g : Z → R が，写像として等しい
ことを示しなさい．
合成写像とは
写像の合成と結合律
練習問題
3. 包含写像 iZ : Z → Q に対して，制限写像
iZ |N の定義域と値域を求めなさい．
2 / 10
像の定義
写像 f : X → Y を考える．
定義 2.2.1【像（image）】
幾何学序論１
K.Ichihara
像と逆像
像とは
像と包含関係
X の要素 x に対して，
f (x) ∈ Y で決まる Y の要素を f による x の像という．
逆像とは
逆像と包含関係
像と逆像と包含関係
合成写像
合成写像とは
X の部分集合 A に対して，
{f (a) ∈ Y | a ∈ A} で決まる Y の部分集合を
f による A の像といい，f (A) とかく．
写像の合成と結合律
練習問題
注意
f による定義域 X の像を（単に）f の像といい，
f (X) とかく．これはつまり f の値域のこと．
注意 2.2.1
f (A) は Y の要素ではなくて部分集合であることに注意！
！
3 / 10
像と包含関係
幾何学序論１
K.Ichihara
像と逆像
像とは
像と包含関係
逆像とは
定理 2.2.1
A，B を集合とし，f : A → B を写像とする．
A の部分集合 A1 ，A2 に対して，次が成り立つ．
逆像と包含関係
像と逆像と包含関係
合成写像
合成写像とは
写像の合成と結合律
練習問題
1. A1 ⊂ A2 ⇒ f (A1 ) ⊂ f (A2 )
2. f (A1 ∪ A2 ) = f (A1 ) ∪ f (A2 )
3. f (A1 ∩ A2 ) ⊂ f (A1 ) ∩ f (A2 )
4. f (A1 − A2 ) ⊃ f (A1 ) − f (A2 )
4 / 10
逆像とは
写像 f : X → Y を考える．
定義 2.2.2【逆像（inverse image）】
幾何学序論１
K.Ichihara
像と逆像
像とは
像と包含関係
Y の要素 y に対して，
{x ∈ X | y = f (x) ∈ Y } で決まる X の部分集合を
f による y の逆像という．記号では f −1 (y) であらわす．
逆像とは
逆像と包含関係
像と逆像と包含関係
合成写像
合成写像とは
写像の合成と結合律
Y の部分集合 B に対して，
{x ∈ X | f (x) ∈ B} で決まる X の部分集合を
f による B の逆像という．記号では f −1 (B) であらわす．
練習問題
注意 2.2.2
f −1 とかいても，逆写像ではない．f −1 (x) でひとつの記号．
そして，f −1 (x) は X のひとつの要素ではなくて部分集合
であることに注意！
！
また B の逆像を考える時，B は f の像 f (X) に入っていな
くても良い．例えば，y ∈
/ f (X) のとき，f −1 (y) = ∅ となる．
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逆像と包含関係
幾何学序論１
K.Ichihara
像と逆像
像とは
像と包含関係
逆像とは
定理 2.2.2
A，B を集合とし，f : A → B を写像とする．
B の部分集合 B1 ，B2 に対して，次が成り立つ．
逆像と包含関係
像と逆像と包含関係
合成写像
合成写像とは
写像の合成と結合律
練習問題
1. B1 ⊂ B2 ⇒ f −1 (B1 ) ⊂ f −1 (B2 )
2. f −1 (B1 ∪ B2 ) = f −1 (B1 ) ∪ f −1 (B2 )
3. f −1 (B1 ∩ B2 ) = f −1 (B1 ) ∩ f −1 (B2 )
4. f −1 (B1 − B2 ) = f −1 (B1 ) − f −1 (B2 )
6 / 10
像と逆像と包含関係
幾何学序論１
K.Ichihara
像と逆像
像とは
像と包含関係
逆像とは
逆像と包含関係
像と逆像と包含関係
定理 2.2.3
合成写像
合成写像とは
f : X → Y を写像とし，A ⊂ X ，B ⊂ Y とするとき，次が
成り立つ．
写像の合成と結合律
練習問題
1. f −1 (f (A)) ⊃ A
2. f (f −1 (B)) ⊂ B
7 / 10
合成写像とは
幾何学序論１
K.Ichihara
像と逆像
像とは
像と包含関係
逆像とは
逆像と包含関係
像と逆像と包含関係
合成写像
定義 2.3.1【合成写像（composition map）】
f : X → Y と g : Y → Z という 2 つの写像に対し，
f と g の合成写像 g ◦ f : X → Z を，
g ◦ f (x) := g(f (x)) と定義する．
合成写像とは
写像の合成と結合律
練習問題
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写像の合成と結合律
幾何学序論１
K.Ichihara
像と逆像
像とは
像と包含関係
逆像とは
定理 2.3.1
逆像と包含関係
像と逆像と包含関係
f : X → Y ，g : Y → Z ，h : Z → W とするとき，
合成写像
合成写像とは
写像の合成と結合律
(h ◦ g) ◦ f = h ◦ (g ◦ f )
練習問題
注意 2.3.1
この定理から，(h ◦ g) ◦ f および h ◦ (g ◦ f ) のことを，
h ◦ g ◦ f と書いても大丈夫ということ．
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練習問題
幾何学序論１
練習問題 2.3.1
f : R → R，f (x) = x2 + 2 とするとき，次の集合の像と逆像を求
めなさい．
A1 = [0, 1] , A2 = (2, 3] , A3 = (4, 5)
K.Ichihara
像と逆像
像とは
像と包含関係
逆像とは
逆像と包含関係
像と逆像と包含関係
合成写像
合成写像とは
練習問題 2.3.3
写像 f : X → Y とし，B1 と B2 を Y の部分集合とする．このと
き，次を証明しなさい．
写像の合成と結合律
練習問題
f −1 (B1 ∩ B2 ) ⊃ f −1 (B1 ) ∩ f −1 (B2 )
練習問題 2.3.4
f : R → R，f (x) = 2x + 3 と，g : R → R，g(x) = x2 + x + 1 に
ついて，次に答えなさい．
▶
g ◦ f ，f ◦ g ，f ◦ f ，g ◦ g を式であらわしなさい．
▶
f ◦ f ◦ · · · ◦ f （n 個の合成）を式であらわしなさい
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