幾何学序論1

幾何学序論１
K.Ichihara
実数とは
実数の定義
実数の演算
加法について
乗法について
幾何学序論１
逆数
実数の大小関係
練習問題
市原一裕
2015 年 7 月 6 日（月）2 限
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実数の定義の準備（コーシー列）
幾何学序論１
K.Ichihara
注意 3.5.1
実数とは
実数の定義
R. デデキントが考えた「有理数の切断」（「デデキントの切
断」ともよばれる（1872））を使う方法もあるが，ここで紹
介するのは，カントールによる方法（おなじく 1872）．
実数の演算
加法について
乗法について
逆数
実数の大小関係
練習問題
定義 3.5.1【有理数のコーシー列（Cauchy sequence】
各項が有理数である数列 {xn } が以下の条件を満たすとき，
「有理数のコーシー列」または「有理コーシー列」という：
∀ε > 0, ∃N ∈ N s.t. m, n > N ⇒ |xm − xn | < ε
注意 3.5.2
有理数のコーシー列は（Q の中で）収束するとは限らない．
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実数の定義の準備（コーシー列の同値関係）
幾何学序論１
K.Ichihara
注意 3.5.3
実数とは
実数の定義
有理数の絶対値は，通常通り，定義する（ここでは省略）．
実数の演算
定理 3.5.1【有理コーシー列の同値関係】
実数の大小関係
加法について
乗法について
逆数
練習問題
２つの有理コーシー列 {xn } と {yn } の関係 {xn } ∼ {yn } を
次のように定義すると，これは同値関係になる．
∀ε > 0, ∃N ∈ N s.t. n > N ⇒ |xn − yn | < ε
注意 3.5.4
上の条件は，有理数の数列として {xn − yn } が 0 に収束し
ている，とみることができる．つまり， lim (xn − yn ) = 0
n→∞
としても良い．
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実数の定義
定義 3.5.2【実数の集合 R】
集合 A := { {xn } | {xn } は有理コーシー列 } と，3.5.1 で
定義した同値関係 ∼ を用いて，実数の集合 R を A/∼ と定
義する．すなわち実数とは，同値関係 ∼ による有理コー
シー列の同値類のこと．
幾何学序論１
K.Ichihara
実数とは
実数の定義
実数の演算
加法について
乗法について
逆数
実数の大小関係
練習問題
注意 3.5.5
有理数 r に対して，数列 {r, r, r, · · · } とすると，これはコー
シー列．これを r ∈ Q と同一視する．これにより，Q ⊂ R
とみなす．
注意 3.5.6
以下，有理コーシー列 {an } の表す同値類（つまり，実数）
を，[{an }] で表すことにする．
（前の記号では，C( ) と書い
ていたけど，見にくいので変更）
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実数の演算
幾何学序論１
K.Ichihara
定義 3.5.3【実数の四則演算】
2 つの実数 α = [{an }] と β = [{bn }] について，
1. 和 α + β を数列 {cn := an + bn } の定める同値類 [{cn }]
と定義する．
2. 差 α − β を数列 {dn := an − bn } の定める同値類 [{dn }]
と定義する．
実数とは
実数の定義
実数の演算
加法について
乗法について
逆数
実数の大小関係
練習問題
3. 積 αβ を数列 {en := an bn } の定める同値類 [{en }] と定
義する．
α
4. β ̸= 0 のとき，商を次の数列 {fn } の同値類 [{fn }]
β
と定義する．

 an
(bn ̸= 0)
fn := bn
a
(bn = 0)
n
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実数の演算の正当性
幾何学序論１
K.Ichihara
定理 3.5.2【四則演算の well-definedness】
実数とは
実数の定義
実数の演算
1. 上の数列 {cn }，{dn }，{en }，{fn } は全て有理コー
シー列になる．
2. 有理数のコーシー列 {an }，{a′n }，{bn }．{b′n } があり，
{an } ∼ {a′n } かつ {bn } ∼ {b′n } であるとする．このと
き，上のようにして得られる数列 {cn } と {c′n } は同値
（つまり，{cn } ∼ {c′n }）．
{dn } と {d′n }，{en } と {e′n }，{fn } と {fn′ } についても
同様．
加法について
乗法について
逆数
実数の大小関係
練習問題
注意 3.5.7
有理数を表す数列に対する四則演算は，これまでの有理数
の四則演算と一致する．
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実数の加法について
幾何学序論１
K.Ichihara
定理 3.5.3【加法の性質】
実数とは
実数の定義
1. 実数の加法について，結合則と交換則がなりたつ．
つまり，任意の実数 α，β ，γ に対して，次が成り立つ．
実数の演算
加法について
乗法について
逆数
実数の大小関係
α + (β + γ) = (α + β) + γ
,
α+β =β+α
練習問題
2. 0 = [{0, 0, 0, · · · }] は加法の単位元である．
つまり，任意の実数 α に対して，0 + α = α + 0 = α
定理 3.5.4【加法の逆元】
1. 実数 α に対して 0 − α を，−α と略記すると，−α は
加法において α の逆元である．つまり，
α + (−α) = (−α) + α = 0 である．
2. 実数 α と β に対して，α − β = α + (−β) が成り立つ．
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実数の乗法について
幾何学序論１
K.Ichihara
定理 3.5.5【乗法の性質】
実数とは
実数の定義
実数の演算
▶
任意の実数 α, β, γ ∈ R に対して，次が成り立つ．
1. αβ = βα
2. α(βγ) = (αβ)γ
3. α(β + γ) = αβ + αγ
▶
実数 1 は正の実数における乗法の単位元である．
つまり，任意の α ∈ R に対して，α × 1 = 1 × α = α
が成り立つ．
▶
任意の実数 α と実数 0 に対して，α × 0 = 0 × α = 0
が成り立つ．
任意の実数 α に対して，以下が成立．
▶
加法について
乗法について
逆数
実数の大小関係
練習問題
1. −α = (−1) × α
2. −(−α) = α
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実数の逆数
幾何学序論１
K.Ichihara
実数とは
実数の定義
実数の演算
加法について
乗法について
逆数
実数の大小関係
定理 3.5.6【乗法の逆数】
練習問題
ゼロでない実数 α の逆数 α1 を，割り算 1 ÷ α の結果とし
て定義すると， α1 は乗法において α の逆数である．
つまり， α1 × α = α × α1 = 1 が成り立つ．
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大小関係
幾何学序論１
K.Ichihara
定義 3.5.4【実数の大小関係】
2 つの実数 α = [{an }] と β = [{bn }] について，次のように
大小関係を定義する．
実数とは
実数の定義
実数の演算
加法について
乗法について
逆数
▶
（復習）α = β が成り立つのは，それぞれの代表元
（有理コーシー列）{an } と {bn } が次をみたすとき：
実数の大小関係
練習問題
∀ε > 0, ∃N ∈ N s.t. n > N ⇒ |xn − yn | < ε
（つまり， lim |an − bn | = 0）
n→∞
▶
α ̸= β かつ，ある代表元 {an } と {bn } について，
∀n ∈ N について an ≤ bn がなりたつとき，α < β と定
義する．
▶
α ̸= β かつ，ある代表元 {an } と {bn } について，
∀n ∈ N について an ≥ bn がなりたつとき，α > β と定
義する．
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大小関係について
幾何学序論１
K.Ichihara
実数とは
実数の定義
定理 3.5.7【実数の大小関係の性質】
実数の演算
加法について
乗法について
α，β ，γ を実数とする．
▶
次の 3 つのうち一つだけがつねに成立する:
α < β ，α = β ，α > β
▶
推移律が成り立つ: α < β かつ β < γ ならば α < γ
▶
次がつねに成り立つ．
逆数
実数の大小関係
練習問題
1. α < β ならば α + γ < β + γ
2. α < β かつ γ > 0 ならば α × γ < β × γ
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実数の小数表示
幾何学序論１
K.Ichihara
実数とは
実数の定義
実数の演算
定理 3.5.8【実数の十進小数表示】
加法について
乗法について
任意の正の実数 x ∈ R に対して，次の形の有理コーシー列
{an } で x = [{an }] となるものが存在する．
an = x 0 +
x1
x2
xn
+ 2 + ··· + n,
10 10
10
xi ∈ Z,
逆数
実数の大小関係
練習問題
0 ≤ xi ≤ 9
ただし x0 は，x = x0 または x > x0 をみたす最大の整数．
注意
0.999 · · · と 1 のように，唯一つだけ存在する訳ではない．
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練習問題
幾何学序論１
K.Ichihara
練習問題 3.5.1
２つの有理コーシー列 {xn } と {yn } の関係 {xn } ∼ {yn } を
次のように定義したとき，反射律が成り立つことを示しな
さい．
実数とは
実数の定義
実数の演算
加法について
乗法について
逆数
実数の大小関係
練習問題
∀ε > 0, ∃N ∈ N s.t. n > N ⇒ |xn − yn | < ε
練習問題 3.5.2
２つの有理コーシー列 {an } と {bn } に対して，数列
{dn := an − bn } が有理コーシー列になることを示しなさい．
練習問題 3.5.3
有理コーシー列の同値類として実数を定義したとき，
0.9999 · · · = 1 となることを示しなさい．
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