V TV dt 1 =

交流　alternate current
○交流
一定磁場の中でコイルを回転すると誘導起電力が生じた。この電位は直流の場合と異なり、
記号：AC
と共に変化する。Vo
を最大値として電圧が V ＝　で表される時、
時間
VoSin（ωｔ＋θ）
交流電源
これを　という。
交流
Q, モーターに回転を与えて得られる電圧は交流か。図で示せ。また整流させる方法を記せ。
V
整流されているので交流ではない。
ｔ
整流子かダイオードを用いる。
Q1. 図のような一様な地場 B があるなかに辺の長さが a,b のコイル ABCD を辺 AB の速さｖ
で一定の速さで反時計まわりに回転させる。PQ 間は全部で R の抵抗があるとする。
・整流子
図Ａ
D
b
N
Ａ
ア）角速度ωと周期 T を求めよ。また、誘導磁場、誘導電流の向き
a
を図 C に示せ。図 C のθ = ωｔとし、電流は A → B を正とする
S
B
・ブラシ
C
図B
は磁束を消す向き、負
V= ー d Φ /dt Φ＝ BSsin ωｔ　I= －ω BScos ωｔ /R　①
F=IL × B から F=IaB= ω aB2Scos ωｔ /R ②
Ｑ
W=F・S=M・θ
T=2 πｒ / ｖ＝πｂ / ｖ
電流を求めよ。コイルの面積。ab ＝ S としてよい。
Ｐ
○モーメントの仕事
磁束が増えるので誘導電流
イ）コイルの線分 AB に働く力 F とコイルに生じる誘導起電力、誘導
Ｐ
Q
ω＝ｖ / ｒ＝２ｖ / ｂ
A
θ
図C
F
Ｄ
・自己インダクタンス
ＢF
ウ）回転しても電流が流れるようにブラシの様子を図 B に示せ。また、
ｔ＝０で A が図 A のθ＝０の位置にある時、磁束密度Φとコイルの
回転に必要なモーメント M のグラフを描け。横軸はθとする。
ｖ
また、単位時間あたりに外力のモーメントのした仕事を求めよ。
②から M=FbCos ωｔ
= ω B2S ２cos ２ωｔ /R
▽物理数学
＝ω B2S ２/ ２R・(1+Cos2wt)
三角関数の積分
外力のモーメントは正の向き
ｔ
その仕事は単位時間では
W=M・θ＝ω２B2S ２/ ２R・(1+Cos2wt)　③
θ＝ωだから
・モーメントと電力
エ）ウと同様に誘導起電力 V,、抵抗で消費する電力のグラフを描け。
ただし、自己インダクタンスは考えない。これは何と同じになるか。
①から P=I2R
= ω２B2S ２cos ２ωｔ /R
＝ω２B2S ２/ ２R・(1+Cos2wt)
ｔ
これは③に等しい。
①から V= －ω BScos ωｔ
○実効値
電圧、電流の１周期の間の２乗平均の平方根の大きさを　と定義する。
実効値
○交流の実効値はエネ
Q1. V ＝ VoSin ωｔ、I ＝ IoSin ωｔとし、電圧、電流の実効値を求め、１周期 T の間の
ルギーから考える。
エネルギーとの関係を求めよ。その意味を図でも示せ。
実効値 Vr= √ {Vo2/2T・∫ T(1 － Cos2wt)dt} ＝ Vo/ √２　電流も同様に Ir ＝ Io/ √２
Q2.　50Hz、電圧の実効値が 100V の時、電圧の最大値を求めよ。
最大値は√２倍だから 140V　ただし、実効値の定義から１周期より長い時間で考えな
いと意味がない。
交流
実効値
Vr =
1
T
#V
T
2
dt
Vr=Vo/ √２　Ir ＝ Io/ √２
0
交流 —1
交流　alternate current
○交流回路
AC ) は電圧が　VoSin（ωｔ＋θ）　のように変化する。そのために電圧が一定の
交流 (　交流　alternate current
○ LR 回路
図のような LR 回路でスイッチを ON － OFF した時の抵抗を流れる電流のグラフとコイルの
記号：AC
直流 ( DC
・波形
・コンデンサ
コンデンサは直流では過度的な状態以外は　電流は流れない
) とは異なり　として振る舞う。
ベクトル
誘導起電力のグラフを示せ。L が大きくなるとどう変化するか。
コイルがない場合　誘導起電力のみ
XC=1/C ω
しかし交流では　式：
電流は流れる　抵抗としてふるまう
R
導体
ジュール熱
ただし、
は発生しない。
電流 ON の瞬間で　・コイル
・抵抗
・電力
導線と同じ
コイルは直流では過度的な状態以外は　抵抗としてふるまう
XL=L ω
しかし交流では　式：
誘導起電力は負、電源は正その和になる。
ジュール熱
ただし、
は発生しない。電流
ON の瞬間で　絶縁体
コイルがあると図のように立上、下がなめらかになる。
ジュール熱
抵抗は直流でも交流でも同じように　がおこり、
が発生する。
電圧降下
P=V0/ √ 2・I0/ √２＝ V0I0/2
Ｚ
コイルは直流では　としてふるまい、交流では誘導起電力が　向きに働くので
導線
反対
X L[ Ω ]
リアクタンス
としてふるまう。この抵抗値を　という。コイルの場合この値は
抵抗
実効値
交流の電力は　で求める。例えばある電気素子に最大電圧
Vo、最大電流 Io
抵抗
の交流が流れている時、消費電力は次のようになる。ただしこれは　のみである。
○インピーダンス
○リアクタンス
交流が直流のように単純ではないのが回路の全抵抗である　を求め
インピーダンス
抵抗
Ｌω
電流
となる。交流では　共通しているが　以外の電圧は位相がずれる。
・コイルの両端電圧　抵抗での電流が I=I0Sin ωｔで自己インダクタンス L のコイルと抵抗ＲのＬＲ回路がある。　Q1
コイル両端の電圧 VL とコイルの抵抗であるリアクタンス XL の大きさを求めよ。
VL ＝ L Δ I/ Δｔ
コイル L
る場合である。例えば次のようにコイル L、コンデンサ C、抵抗 R の直列回路があるとする。
L　C　R
・リアクタンス
るので VL ＝ L Δ I/ Δｔである。これに I=I0Sin ωｔを入れると
抵抗 R
という）これは抵抗 R を基準とすると下図のような位相関係
ベクトル
になる。つまり抵抗は　のようにふるまう。
複素空間
＊抵抗を実軸に
とる。
Q. 右図のように抵抗 Xc、XL、R がある時全体の抵抗 Z を求めよ。
また図に Z を書き込め。さらに電源の電力を P として L、C、R で
の電力を求めよ。
R
PL=PC=0　PR=P 電力は抵抗でのみ生じる。
□コイル
Z
・コイルと直流、
直流電源 E ＝ Vo、交流電源 E ＝ VoSin ωｔとすると、コイルはどういう働きをするだろうか。
交流　Q2
A は直流電源、
B は交流電源である。コイルの両端の電圧とコイルを流れる電流を求めてみよ。
交流回路でも電流
また、直流電源のスイッチを入れた瞬間の電流はどうなるか。
L1
L1
V1
A
B
100mH
100mH
12 V
VL ＝０
V
50 rad/s
Hz
12 V
I= １.2A
0Deg
R1
R1
は 1 本道なら共通
外は位相 (Sin,Cos)
磁束
電流
コイルに交流を流すとコイルを流れる　が変化するのでコイル内の　が入るので注意す
誘導磁場
誘導起電力
が変化する。するとこの変化を打ち消そうと　が生じ、
を作る。
る。
10.0Ω
自己インダクタンス（L)
この強さを表すのが　である。
自己インダクタンス
記号：　式　コイルの中のはじめの磁場　誘導磁場
Ｖ＝ーＬΔ I/ Δｔ
Ｌ [H]
S
・コイルの電流と電
圧の位相　Q3
さらに詳しくみる。長さｄ、単位長さあたりｎ回巻いたコイルがある。真空の透磁率をμ０と
・位相の進みは左周
＊きっかけは
する。コイルの断面積を S とする。このコイルに電流を流したり、電磁誘導で誘導電流が生じ
りの動径を使う。　電流の変化
反対向き
たりすると　により、
起電力と　に　が生じる。
電流の変化
誘導起電力
V の向きと大きさを求めよ。
・自己誘導これをコイルの　という。これから生じる電位
自己誘導
H
＝ｎ
I
から
B=
μ
ｎ
I　Φ＝
BS、V=
ー
N
ΔΦ
/
Δ
t
から
巻数
N=n/d (n は巻数密度 )
０
巻き数密度 n
n=Nd だから
ｄ
V= －ｎμ０NS Δ I/ Δｔ
B
V ＝－ｎ２μ０Sd・Δ I/ Δｔ
L
ｎ μ０Sd
自己インダクタンス
＊ｎは２回かかる上の結果の定数　を　で表し、これを　という。
２
巻き数は N
Ｖ＝ーＬｄ I/ ｄｔ
Q　自己インダクタンスの式１　式２
での単位を求めよ。
Φ N ＝ LI
Ｈ（ヘンリー）
L[Wb/A]
＝Ｖ・ｓ /A
インピーダンス
自己インダクタンス
Φ N ＝ LI
Ｖ＝ーＬｄ I/ ｄｔ
交流 —2
L= ｎ２μ０Sd
10.0
コイル
赤：電圧
抵抗は同位相
コイル　リアクタンス
I=12/ ５√ 5sin(50t)[A]
＝ 1.1Sin(50・ｔ )[A]
VL=IR より
=I・XL ＝ 12/ √ 5sin(50t)
【コイル】コイルの両端の電圧は VL ＝ L ｄ I/ ｄｔだったから
緑：電流
ｔ
赤：電圧
緑：電流
ｔ
LV
抵抗
= √１２５=5 √ 5 Ω
路のコイルと抵抗の両端の電圧、中を流れる電流を求めてそのグラフをそれぞれ描け。
抵抗
コイルは電圧進み
Z= √ ((L ω )2+R²)
次にコイルの位相部分に注目し、
を流れる電流を I0Sin ω t と決めよう、LR 直列回
抵抗
t
・交流の位相
Ω
XL=5[ Ω ]
=5.4Sin(50t)[V]
コイル
向きは電流と反対方向に誘導電流を流す向き。
VL=I0L ω Cos ωｔで振幅だけとれば VL ＝ I0L ω＝ I0・XL だから
XL ＝ L ωである。
して流れる。抵抗以
XL
回路全体では電源の電圧を V とすると
V ーＬΔＩ / Δｔ＝ IR よって V=L Δ I/ Δ t ＋ IR ＝ VL ＋ VR とみなせ
リアクタンス
コイルの抵抗を XL、コンデンサの抵抗を Xc（　Xc
誘導起電力Ｖ’ ＝ーＬΔＩ / Δｔは電源と反対に働くので
Ｉ＝ I0・Sin ωｔを代入して VL= ＝ L ω I0・Cos ωｔとなる。
コイルの電流は共通していて I0Sin ωｔである。
【抵抗】
この時、抵抗の電圧はコイルの電流と同じように変化する。
【電源】
電源電圧 V=VL ＋ VR である。ただし、波と同様ベクトル和
π / ２遅れる
交流電源の場合コイルに流れる電流の位相はコイル両端の電圧に比べ、　抵抗は電流と電圧の位相は　。コイルと抵抗の　の位相は同じ。
同じ
電流
コイルのリアクタンスは周波数が大きいと　。電力は　で仕事をしない。
XL=L ω
LV　コイルはπ / ２電圧進み　交流では電流共通
LR 回路では V=VL ＋ VR、ただしベクトル和
交流 —3
交流　alternate current
位相
このように交流に直流にはない　が加わる。これは波の場合と同様にベクトルと
○ LR 回路の位相
交流　alternate current
○ 自己インダクタンス図のように巻き数 N 長さｄのコイルに I(t) の変動電流を流す。自己インダクタンス L
V=VL+VR
して考えると理解し易い。電源電圧 V は常にベクトル和として　である。
と相互インダクタンス
・LR 回路の電圧図
全電圧を V、抵抗の両端電圧を VR、コイルの両端電圧 VL としてグラフとベクトル図を描け。
ｄ
Q4
抵抗の両端電圧を I ０R・Sin ωｔとし、VL,V を求めよ。V のなす角θを求めよ。
＊交流回路
電源、コイル、抵抗の電圧
緑：抵抗
抵抗中心で考える
ベクトル図
VL
赤：コイル
I(t)
V
ア）変動する磁束をΦとして誘導起電力 V を求めよ。
①
イ）誘導起電力を変動電流 I で表せ。
②
ｔ青：電源
θ VR
ウ）アとイの式からΦ、N、I、L の間の関係式を導け、これに対応する電場の式もかけ。
これから L と C、Φと Q( 静電容量 ) の積が何を表す単位になるか確認せよ。
２
２
VR=I0R・Sin ωｔ、VL ＝ I ０L ω・Cos ωｔ、V=VL ＋ VR ＝√ (VL ＋ VR )
２
○ LR 回路インピーダンス
アとイから V を消してｔ＝０でΦ＝ I=0 とすると　N Φ＝ LI を得る。
２
V ＝ I0 √ (R ＋ ( ω L) ) ①　tan θ＝ VL/VR ＝ω L/R
これはコンデンサの Q ＝ CV に対応する　L[wb/A] ＝ [H] C=[C/V] =[F]
Q5 上の結果から交流の RC 回路のインピーダンス Z を求めよ。
L・C=[Wb・C・s/J] ＝ [s²] となる。
２
①式から [Wb]=[V・s] だから Q・Φ＝ [C・Wb] ＝ [J・s] これはプランク定数の単位と同じ
２
Z ＝√ (R ２＋ ( ω L) ２)
①より V=IZ として Z ＝√ (R ＋ ( ω L) )　R とω L の向きは直交している。
○ RL 回路の消費電力
Q6　Q4 の場合コイル、抵抗で１周期の間に消費されたエネルギーを求めよ。
V と I が　なら
W=Pt ＝ VI ｔである。コイルの場合は V と I が直交しているので W=0,　抵抗の場合は
仕事は０
VR=I0R・Sin ωｔ、IR=I0・Sin ωｔから P ＝ I0 R・Sin ωｔ
○変圧器
図のように n1 巻と n2 巻のコイル A,B を鉄芯でつなぎ、V1 は交流電源、V2 は電圧計である。
（　）
トランス
コイル A、B の自己インダクタンスは L1 と L2、磁束をΦ₁、Φ₂、電流 I ₁、I ₂とする。
２
＊自己インダクタンスあり
V1
２
A
n1
B
n2
ア）コイル A,B についてΦ、L、I の間の関係式を記せ。
V2
コンデンサーの Q=CV に対応して
Φ₁ n ₁＝ L ₁ I ₁、Φ₂ n ₂＝ L ₂ I ₂　①
＊ R 方向を実軸にとる
○リアクタンス
イ）磁束が共通している時、V2 を I1、逆に V1 を I2 で表せ。
π/２
この結果のように交流回路では電流と電圧の位相が　だけずれる場合にはその仕事は
０
リアクタンス
になる。これが　の特徴である。
①より　V ₁＝ -n ₁ d Φ₂ /dt ＝ -n ₁ L ₂ /n ₂・dI ₂ /dt　同様に
V ₂＝ -n ₂ d Φ₁ /dt ＝ -n ₂ L ₁ /n ₁・dI ₁ /dt
コンデンサ
コイル
ある電気素子（　、
）の電圧の実効値を
VR, 電流の
VR/IR
実効値を IR とする時、素子のリアクタンスは　と表すことができる。
π/２
仕事
ただし、位相が　ずれているので交流では　をしない。
自己インダクタンスが０．
５[H] のコイルに５０Hz, 実効電圧 100V の交流電圧をかけた。
○相互インダクタンス
M= √ L1L2
変圧器（トランス）には１次側、２次側について　V １=―M・dI ２/dt　V ２=―M・dI １/dt
が成り立ち、M を　という。
相互インダクタンス
ウ）
ウの結果から自己インダクタンスと巻き数の関係を利用し、相互インダクタンス M が
このコイルのリアクタンスと電流の実効値を求めよ。（πを用いてよい）
等しくなることを示せ。また、M を L1,L2 で表せ。
XL= ω L ＝ 2 πｆ L=50 π [ Ω ] よって IR=VR/XL=2/ π [A]
先の結果から V １=―L2n1/n2・dI ２/dt　V2=―L1n2/n1・dI １/dt であるが自己インダクタンス
は巻数ｎの 2 乗に比例していたので比例定数をｋとおけば L1= ｋ n1 ２、L2= ｋ n2 ２
○相互誘導
Q １次のように半径ｒ , 長さｄの nA 回巻のコイル A と同じ形状で nB 回巻のコイル B がある。
ｄ
ｄ
それぞれ自己インダクタンスを LA,LB, 透磁率をμとする。
B
となる。これを代入すると、V １=―ｋ n1n2・dI ２/dt、V2=―ｋ n1n2・dI １/dt
よって M= ｋ n1n2 ①とおけば V １=―M・dI ２/dt、V2=―M・dI １/dt という関係を得る。
ア）A,B それぞれに等しくコイル内に磁場 B(t)[T] を与えた。
①は M= √ (L1L2) とかける。
A,B に流れる電流 IA、IB を求めよ。
エ）N、Φ、I と相互インダクタンス M との関係を求めよ。
巻数密度は n=N/d だから H=nI, B= μ H、よって I=H/n=Bd/( μ N)
N1 Φ１＝ MI ₂　N2 Φ 2 ＝ MI ₁　よって IA ＝ Bd/( μ nA ) IB ＝ Bd/( μ nB)
○位相相関図
イ）誘導電圧をそれぞれ求めよ。
インダクタンスと巻数
H=n'I
n=N/L
・
・
VA= ー LAdIA/dt ＝ー LABd/( μ nA) VB= ー LBdIB/dt ＝ー LBBd/( μ nB)
V= ー Nd Φ /dt
ウ）自己インダクタンス LA：LB を巻数の比で表せ。
n は単位長巻数
誘導電圧は巻き数に比例したから上の結果から LA：LB ＝ nA ：nB
N は巻数
２
オ）上の関係から n1,n2,Vo, ω、M を用いて V2 と I2 のグラフを描け、また、2 次コイルで
トランス内では
誘導電流から発生するジュール熱を求めよ。
が同位相
電圧
I、V
n2Vo/n1
V １=―M・dI ２/dt、V2=―M・dI １/dt から V1=VoSin ωｔ
赤：V2
とすれば２次コイル回路では V １＝－ M・dI ２/dt から
I ２＝ー Vo/(M ω )・Cos ωｔまた、V1:V2 ＝ n1：n2 で電位の
ｔ
２
位相は等しいから V2 ＝ n2Vo/n1・Sin ωｔ
よって 2 次コイルも電圧と電流が直交しているので
ー Vo/M ω 緑：I ２
仕事をしない。
コイル　インピーダンス
Z ＝√ (R ２＋ ( ω L) ２)　tan θ＝ω L/R
L=kn2 とおける L= μ (S/L)n2
交流 —4
U=1/2・Li ２
H=n'I　n'=n/L
トランス
V= ー nd Φ /dt
相互インダクタンス　相互インダクタンス M=kL1L2
交流 —5
トランス：電圧は同位相
Φ N ＝ LI
交流　alternate current
世界の教科書から
交流　alternate current
Electromagnetic
MIT OCW(elemnt)
○ LR 回路
・電流が増加する時
○ LR 回路
ここでは誘導起電力
・電流が減少する時
V がεになっている。
・時定数が
τ＝ L/R
交流 —6
交流 —7
交流　alternate current
□コンデンサ
直流回路ではコンデンサには　状態をのぞき、電流は　過度状態
流れない
・電流の式
流れる
交流回路では極板の　が入れ替わるので電流は　正極、負極
Q. 図のように静電容量 C[F] のコンデンサに VoSin ωｔ [v] の交流電圧をかける。
I= Δ Q/ Δｔ
・微分と位相
A
微分すると
π / ２進む
B
ア）各極板 A、B の時刻ｔでの電気量と極板を流れる電流を求めよ
Ｑ＋＝ＣＶｏＳｉｎωｔ
Ｑー＝ーＣＶｏＳｉｎωｔ
交流　alternate current
○交流の RC 回路
次に交流の場合の RC 回路について考えよう。インピーダンス Z はどうなるだろうか。
* 回路の電流基準
静電容量 C[F] のコンデンサと抵抗 R[ Ω ] の回路に VoSin ωｔ [v] の交流電圧をかける。
・この微分方程式の完全な解
法は大学で習う。（非斉次微
A
分方程式）
B
I= Δ Q/ Δｔだから微分して、I=CVo ω Cos ωｔ①
回路全体では　を基準に式を作る。　電流
i）コンデンサの時刻ｔでの電気量をｑとし、電位の式を微分表現
を用いて時刻ｔでの電流 i を用いて立てよ。
R
○単位ベクトル化法
ここで位相がずれる。
この時、コンデンサのｑと i は　という関係がある。
i ＝ dq/dt
抵抗での電圧降下は iR であるから V=iR ＋ q/C　両辺をｔで微分し、
特殊解から求める
・交流の i の微分表現イ）交流電源のある回路に流れる電流 i とコンデンサの電気量ｑには　i ＝ dq/dt
という関係があることを用いて電位の式を微分形式で表せ。電源交流電圧をＶとする。
i ＝ dq/dt
・
・インピーダンス
|Z|=Vo/io
ii）
i の式を満たす解 i の関係式を i ＝　として求める。
i ＝ ioSin( ω t ＋θ )
コンデンサ両端電圧をＶ’ とし、V’ =Q/C だから両辺を微分しｄ V’ / ｄｔ＝ｑ /C ＝ i/C　ただし、θは位相とし、回路のインピーダンスの大きさ |Z| ＝　Z=Vo/io
よって電圧の式は V ＝ｑ /C　微分して dV/dt ＝ｑ /C ＝ i/C ②つまり電圧変化がないと I=0
i ＝ i0Sin( ωｔ＋θ）として①に代入する。　ウ）上の関係式から電流 i と回路の抵抗 R の大きさからコンデンサのリアクタンス Xc を求めよ。
ω VoCos ω t ＝ R ω i0Cos( ω t ＋θ ) ＋ i0/C・Sin( ω t ＋θ）
・
・リアクタンス
ω VoCos ωｔ＝ Rdi/dt ＋ i/C ①
である。
先の式①、②からω VoCos ωｔ＝ i/C i= ω CVoCos ω t
ＸＣ＝ 1/ ω C
よってリアクタンスは実効値の比（オームの法則）V/I だからＸ c= １/ ω C　となる。
ｔ＝０と選ぶ
iii）この式は任意のｔで成り立つ。そこでインピーダンス Z が求まり易いｔを選び、
i ₀ω
両辺を　で割ると。
・ハイパスフィルター
1/ ωＣ
よく流れる
Xc ＝　から交流の周波数が高いほどコンデンサを通過する電流は　|Z|=Vo/Io から両辺をω io で割ると　・ローパスフィルター
ωＬ
低い
また、コイルの XL ＝　から逆に周波数が　ほど電流はよく流れる。
ZCos ωｔ＝ RCos( ω t ＋θ ) ＋ 1/ ω C・Sin( ω t ＋θ）
②
○位相相関図
エ）上の結果から交流コンデンサ回路の電流 i と電圧 V のグラフを描け。また消費電力を求
②からｔ＝０（ｎ T）とすれば次を得る。
t
めよ。ただし電流を基準にし I=I ₀ Sin ωｔとする。
赤：電流
緑：電圧
1/ ω C・Sin θ＋ RCos θ＝ Z　③
先の式から V ＝ VoSin ωｔ　i= ω CVoCos ωｔ　○交流のベクトル化
エ）ここで交流をベクトルとして扱うことを考えて上記の関係式を解いてみよう。
P=VI だが V と I が直交しているので電力は０
・単位ベクトル
Cos θ、Sin θはそれぞれ　の条件をみたすから　を
単位ベクトル
抵抗 R
ｔ
ｘ軸に選び、Sin θをｙ軸の単位ベクトルとして、インピーダンス Z を作図し求めよ。
1/ ω C
Z
③式からｘ成分が R,　ｙ成分が１/ ω C となるから図のような
ベクトル図になるよってインピーダンス Z は
交流回路コンデンサでは回路に流れる電流がコンデンサの両端電圧に比べ　だけ
π/２
進む
ことになる。これからコンデンサでの消費電力は　０
となる。
横軸を R に
Q1. 静電容量が０．
５[F] のコンデンサ C1 に５０Hz,100V( 実効値 ) の交流電圧をかけた。
COS の係数に
θ
Z=
R
R2 + c 1 m
~C
2
力率　Cos θ＝ R/Z
・交流の場合の接続ア）このコンデンサのリアクタンスと電流の実効値を求めよ。( πを用いてよい )
Q1. 先の RC 回路で R=20k Ω、C=1000 μ F　V=10sin（t/20）の場合について次に答えよ。
・Xc は抵抗としてもコ
ア）角振動数ωを求めよ。
ンデンサとしても合成
ω＝１００π
３
ＸＣ＝ 1/ ω C ＝ 1/( ５０π ) Ω　I= ５×１０ π A
ω＝ 0.05[rad/s]
の結果は同じ
・合成
イ）同じコンデンサを２つ直列につなぎ、同じ交流電源につないだ。
位相を揃えて和
リアクタンスと電流の実効値を求めよ。（πを用いてよい）
イ）回路のインピーダンスを求めよ。
Z= √ (20k ２＋ (20/1000u)2) ＝ 10 ３√ (20 ２＋ 202) ＝２０√２ｋ＝２８ｋΩ
抵抗として合成すると直列だから 1/( ２５π ) Ω　よって I ＝２. ５×１０３π A
ウ）回路に流れる電流とその実行値を求めよ。
○交流と位相
交流回路でのコンデンサ、コイルの電圧、電流の位相相関図を描き、微分関係式をまとめよ。
I=V/Z ＝０．
３６sin(t/20)mA　よって実効値は１０/（２０√２・√２）＝０．２５mA
電圧進み
コイル　コンデンサ　インピーダンス
赤：電流
V=LdI/dt
エ）回路で消費される電力を求めよ。また、この値と Z ベクトルとの関係を求めよ。
電圧おくれ
緑：電圧
I=CdV/dt
・力率
Cos θ＝　を　という。
R/Z　力率
P=I ｒ２R ＝ Ir2ZCos θ＝１．
２５ｍ W
上図から ZCos θ＝ R なので結局抵抗でしか電力を消費していない。
コンデンサ
リアクタンス
ＸＣ＝ 1/ ω C　CIA　電流π / ２進み
交流 —8
交流
インピーダンス
Z=
R2 + c 1 m
~C
2
Cos θ＝ R/Z：力率
インピーダンスを用いて電力を得る時は力率をかける。
交流 —9
交流　alternate current
○交流の RL 回路
Q2. 図のような自己インダクタンス 100mH のコイル L と 10 Ωの抵抗 R を直列に接続し、
１００/ π Hz、最大 44V の交流電源に接続した。
Electromagnetic
ア）コイルの場合は　V ＝ VoCos( ω t)
i ＝ ioCos( ω t ＋θ )
＊コイルもコンデンサも
とおく。抵抗 R, コイル L として、
関係式を作り、位相の図からインピー
抵抗として電圧を下げる。
交流　alternate current
世界の教科書から
MIT OCW(elemnt)
ダンス Z を求めよ。（一般的に L, ω、R で表せ）
＊単位ベクトル化法
＊ i のおき方
R
R
RCos θが残るよう
コイルの誘導起電力 V’ ＝－ Ldi/dt だったから
○電気振動
抵抗での電圧降下は iR であるから V=iR ＋ Ldi/dt
1) t=0
Max:
よって i ＝ i0Cos( ωｔ＋θ）として両辺を io で割ると
ZCos ωｔ＝ RCos( ωｔ＋θ）ー L ω Sin( ωｔ＋θ）ｔ＝０とおくと
に決める。
Z=RCos θー L ω Sin θを得る。
Lω
Z
水平軸に R を選ぶと右のようになる。
1) t=T/4
よってインピーダンス Z ＝√ (R2+(L ω )2)
・コイル L
イ）回路に流れる電流の最大値とその実効値、また消費電力を求めよ。
Max:
ω＝２πｆ＝２００　ω L ＝２０よって　インピーダンス Z= √ (102+202)=10 √５＝２２Ωよって最大値 Imax ＝ V/Z ＝２A
実効値は２/ √２＝１．
４A
消費電力は i2R=20[W]
ウ）交流電源の替りに図のような ON-OFF を繰り返す矩形波を電源に入れ替えた。
1) t=T/2
コイルがある場合とない場合について抵抗、コイルの両端の電圧のグラフを描け
Max:
電圧：抵抗
電圧
電圧：コイル
ｔ
ｔ
ｔ
コイルがない場合
○交流の RLC 直列
1) t=3T/4
Q3. 自己インダクタンス L のコイル L と R Ωの抵抗 R、静電容量 C のコンデンサ C を直列
Max:
に接続し、電源 V ＝ VoSin（ωｔ）の交流電源に接続した。
ア）
電流を i とし、関係式を作り位相の図からインピーダンス Z を求めよ。
コイルの誘導起電力 V' ＝－ Ldi/dt, 抵抗での電圧降下は iR, コンデンサ
は V=q/C から V=iR ＋ Ldi/dt ＋ q/C が成り立つ。この式の両辺を微分し、
２
２
dq/dt=i を利用すると。ω VoCos ωｔ＝ Rdi/dt+Ld i/dt ＋ i/C R
1) t=T
Max:
①前回と同様に i ＝ i0Sin( ωｔ＋θ）を①に代入すると
ω VoCos ωｔ＝ω Ri0Cos( ωｔ＋θ）ーω２Ｌ i0Sin( ωｔ＋θ）＋ i0/C・Sin( ωｔ＋θ）
1/ ω C
Z
・周期 T
この式の両辺をω i0 で割り、ｔ＝０を代入すると
Z ＝ RCos θーωＬ Sin θ＋１/ ω C・Sin θ　よって位相図は
R を水平軸に取り、図のようになる。よってインピーダンスＺは
R
Lω
○共振周波数
Z=
R 2 + c L~ - 1 m
C~
2
○力学との対応
共振周波数
イ）ＲＬＣ回路でインピーダンスが最小になる場合の周波数を　という。
この共振周波数を求め、この時回路に流れる電流の最大値、実効値を求めよ。
L ω＝ 1/ ω C から　ω＝１/ √ (LC) f ＝１/ ２π√ (LC)
よってＩ max ＝Ｖｏ / Ｒ　IR ＝ Imax/ √ 2
交流
RLC 回路
Z=
R 2 + c L~ - 1 m
C~
2
共振：
交流 —10
交流 —11
交流　alternate current
○交流の RLC 並列 Q4. 自己インダクタンス L のコイル L と R Ωの抵抗 R、静電容量 C のコンデンサ C を並列
位相差のない
交流　alternate current
Q1. 図のように 10V の電源に 10 Ω、1000 μ F、１０ｍ H の抵抗 R, コンデンサ C, コイル
□演習
L がある。はじめコンデンサに電気量はない。
に接続し、電源 V ＝ VoSin（ωｔ）の交流電源に接続した。
ア）R,C,L それぞれを流れる電流 IR,Ic,IL を求めよ。
抵抗基準！
まず全体を流れる電流を右回りにＩとおく。
R
＊いざとなったら微分
S1
R
抵抗に位相変化はないから Ir ＝ Vo/ Ｒ・Sin ωｔ
S2
A
コンデンサはＶ＝ｑ / Ｃだがｑ＝ i だったから Ic ＝ CdV/dt
B
ＩＣ＝ω CVo・Cos ωｔ
また、時間がたった後、コンデンサの電気量と VAB を求めよ。
瞬間：コンデンサ側に非常に大きな電流が流れる。
・
形！
ア）はじめ S1 のみ閉じる。この瞬間に回路に流れる電流を求めよ。
時間がたてば I ＝１A　V=10V　Q=CV= １０－２C
イ）次に S1 を開き、S2 を閉じる、電気量は Q, 容量は C、自己インダクタンスは L とし、
コイルは V ＝ VL=Ldi/dt だったからこれを満たすためには　IL ＝－ Vo/L ω・Cos ωｔ
i についての関係式を立てよ。
＊ i をおく
並列は逆数で考
える。
イ）回路に流れる全電流とこの回路のインピーダンスを求めよ。
電位については q/C=V=-Ldi/dt この時、dq/dt=i を代入し両辺を微分すると
全体の I ＝ IL ＋ＩＣ＋ Ir ＝ Vo（ω C －１/L ω）Cos ωｔ＋ Vo/ Ｒ・Sin ωｔ
d2i/dt2= ー 1/LC・i　これはω２＝ 1/LC とおけば単振動である。
＝ Vo｛
（ω C －１/L ω）Cos ωｔ＋１/ Ｒ・Sin ωｔ｝　ここで Y ＝ 1/Z とすると
ウ）回路を流れる電流の振動数を求めよ。
Y=（ω C －１/L ω）Cos ωｔ＋１/ Ｒ・Sin ωｔ　よってｔ＝π / ２＋θと選べば
Y=（１/L ω－ω C）Sin θ＋１/ Ｒ・Cos θ　よってこの Y が図のような位相図を満たす。
2
ｆ＝１/( ２π√ LC) ＝１００√１０/ ２π≒５０Hz
2
よって Y= √｛（ω C －１/L ω）＋ ( １/ Ｒ ) ｝
1/ ω L
エ）S1 を入れてから充電するまでに抵抗で消費した熱量と電源が供給したエネルギーを求
これから Z=1/Y ＝１/ √｛（ω C －１/L ω）2 ＋ ( １/ Ｒ )2｝
Y
めよ。
1/R
エネルギー保存則から抵抗でのジュール熱はコンデンサに蓄えられた静電エネルギーに等し
Cω
１J
い U=CV2/ ２＝ QV/ ２＝５×１０－２J　電源は２倍の０．
ウ）
抵抗に流れる電流を IoSin ωｔとして抵抗、コイル、コンデンサの両端の電圧と時間の
Q2 図のように 20V の電源に 10 Ω、
500 μ F、
50 ｍ H の抵抗 R, コンデンサ C, コイル L がある。
グラフを描け。また、時刻ｔで回路で消費する消費電力を求めよ。
はじめコンデンサに電気量はない。電流の向きは A から B を正とする。S はスイッチである。
抵抗は電流と電圧の位相は電源の位相と同じ上の図から見るように
コイル内では電圧がπ / ２進み、コンデンサでは電圧がπ / ２おくれる。
また、AB 間の電圧を求めよ。
A
よってグラフは次のようになる。よってコイルやコンデンサではリアクタンス
V
はあるが電力は０，抵抗では
２
ア）はじめ S を閉じた。B 点を流れる電流を求めよ。
S
コイル側を電流は流れるのでコンデンサには帯電しない。
よって VAB=0V である。
２
Io RSin ωｔの電力を消費する。
ｔ
＊実効値にすると平均化されるので
R
B
IB ＝ V/R ＝ 20/10 ＝２A
イ）次に S を閉じた。この時をｔ＝０とする。この振動の角速度ωを求めよ。
ここでは最大値を用いて表す。
赤：抵抗、青コイル、緑コンデンサ
○周波数特性曲線　エ）
振動数ｆを変化させた時の回路に流れる電流 I とインピーダンスのグラフ I,Z-f グラフを
描け。極値をとる場合はそのｆの値も書き込むこと。
また、A を流れる電流を求めその I-t グラフを描け。さらに B 点を基準とした A 点の電位
VA-t も求めて重ねてグラフに描け。　コンデンサに電荷がないので点 A を流れる電流は最大で２A だが、
単振動をする。その角速
度はω＝ 1/ √ LC からω＝ 0.2 ｋ [rad/s] よって I= ２・Cos ωｔ＝２Cos0.2kt である。
インピーダンス Z の式から L ω＝１/C ωの時に極値をとる。ω＝２πｆから
f=1/(2 π√ LC)　この時、Z=R となり I ＝ V/ R となる。
コイルで考えれば
VL=LdI/dt= ー 0.2k × 50mSin0.2kt ＝ー 20Sin0.2kt である。
I
青：電圧
コイルで考えれば図のように電圧がπ / ２進む、コ
グラフは右のようになる。青：電流　赤：インピーダンス
Z=
R 2 + c L~ - 1 m
C~
2
Vo/Z
I
ｔ
赤：電流
Z
ンデンサで考えると電流の向きが B から A になるの
で電圧が電流よりπ / ２遅れる。
ウ）コンデンサーに最大に蓄えられるエネルギーと最大の VAB を求めよ。またこの時回路で消
費する電力を求めよ。
U=1/2・ｃ V2+1/2・Li2 のエネルギー保存が成り立つが単振動しているのでコンデンサに蓄え
1/(2 π√ LC)
ｆ
られる最大のエネルギーはコイルの最大のエネルギーでもある。I を最大の２A に選ぶと
U=1/2LI ２＝ 1/2・50m × 22 ＝ 100 ｍ J ＝０．
１J、コンデンサのエネルギーも U=1/2・CV2 だか
LC 共振
並列インピーダンス
d2i/dt2= ー 1/LC・i　これはω ２＝ 1/LC と
おけば単振動である。
交流 —12
1
b1l
b C~ - 1 l
Z = R +
L~
2
2
ら先の結果から V2= ２U/C=0.2/0.5 × 10 ３＝ 400 よってはじめと同じ V=20V である。
単振動しているので消費電力は０W である。　＊ V と I は直交している。
交流 —13
交流　alternate current
世界の教科書から
５D 交流
○周波数特性曲線　交流回路では周波数を変化させると、インピーダンスは大きく変化することがある。
2
その特性をグラフにしてみよう。　Electromagnetic
R 2 + c L~ - 1 m
C~
Z=
MIT OCW(elemnt)
Q．次の回路のインピーダンスを Z 同一グラフ上に振動数ｆ（横軸）とし、Z －ｆ、I －ｆのグラフを描け。
ア）
カ）
○ RLC 回路
赤Z
・減衰振動
青I
R
ｆ
イ）
共振点でＺが０になりＩが発散する。
ｆ
キ）
コンデンサは高周波ほどよく流れる
R
ｆ
ｆ
共振点はあるが抵抗のせいでＺは有限、Ｉも発散しない。
赤Z
ウ）
ク）
青I
R
ｆ
コイルは低周波ほどよく流れる
ｆ
並列は逆数だからＩとＺを入れ替えてオと同じ
エ）
ケ）
R
R
ｆ
基本はイ抵抗があるため収束値がある。
ｆ
並列は逆数だからＩとＺを入れ替えてエと同じ
オ）
コ）
R
ｆ
２
基本はウ√の中にω が分母になる。
ｆ
並列は逆数だからＩとＺを入れ替えてカと同じ
有限値からスタート
周波数特性
交流 —14
グラフは指数（対数）関数　抵抗があれば限界値がある。
交流 —15
交流　alternate current
時間
電場
○電磁波
ここまでで時間的な磁場の　的な変化が　の　的変化を新しく作る
空間
ヘルムホルツ
ことが予想される。１９世紀の終わりに　によりこのことが確かめられる。
マクスウエル
アインシュタイン
後に電磁気の理論は　によりまとめあげられるが、
一定
はこの式の中に既に光の速さがあらゆる観測系からも　であることが含まれて
いることを見抜いた。
・電磁波
光速
電磁波
質量
電場と磁場を伴い真空中を　で伝搬する波を　という。
がない。
・発生
短く
大きい
光や電波はその仲間で振動数が大きいほど波長は　く、エネルギーが　加速
電磁波を発生させる簡単な方法は電子を　させればよい。
Q 次の電磁波の様子を図示せよ。
i) スイッチ ON,OF を繰り返す。 ⅱ）振動電流をアンテナに流す。
誘導電場
r またはｃ
光速で伝搬
ON,Off の繰り返しで
電子が加減速される。
○電磁波の伝搬
誘導磁場
電流
ダイポールアンテナ
Q1. 真空中の電磁場の伝搬の様子を下に描いてみよ。
光速で伝搬、横波
電磁場の伝達する速さはどれだけか。また横波か縦波か。
大きい
Ｑ２．次は全て電磁波の仲間である。周波数の小さい順、波長の　順に並べよ。
1 ＡＭ波　2 ＦＭ波　3 携帯電話　4 赤外線　5 可視光（赤）　6 可視光（青）　7 紫外線　8 Ｘ線
波長
１Km　１ｍ　1cm　1mm
振動数
0.1MHz　100MHz　10GHz
エネルギー
小さい←
100GHz
600nm
500GHz
400nm
750 GHz
100nm
1nm
1THz
100THz
→大きい
Ｑ３．　Ｑ２の中で真空中の伝搬速度が最も速いもの、物質中の伝搬速度がもっとも速いも
のはどれか、このように速さが変化することを何というか。その原因も考えよ。
・分散
真空中では電磁波の速さはどれも同じ、しかし物質中では分散があるので
エネルギーの大きい電磁波ほどおそくなる。
Ｑ４．　Ｑ２の中で真空から物質中に入射する屈折角の大きくなるのはどれか。、
また、もっとも回折が大きくなるのはどれか。
振動数が大きいと屈折も大きくなる。
スネルの法則から波長が大きいほど回折は大きい
Ｑ５．静止した人と時速６００ｋｍのリニア電車の中にいる人から電車と同じ進行方向に
電車の中から電磁波を発生させる。電磁波の速さはどちらが速いか。
光、電磁波の速さは慣性系の速さに依存せず、一定である。従って同じ。
交流 —16

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