立体図形のまとめ⑵

20 21 22 23 24 25 26 27 28
第回
30 31 立体図形のまとめ⑵
６年
学習日
月日
問題
解答・解説
別冊75ページ
15
エービー
1
右の図のような，1辺の長さが4eの立方体があります。辺AB，
シー
エム
エヌ
ピー
ちょうてん
BCの真ん中の点をそれぞれM，Nとします。点Pは頂点Bを出発して，
エフ
ジー
エイチ
毎秒1eの速さでB→F→G→Hの順に辺上を移動していきます。
このとき，3点P，M，Nを通る平面で立方体を切断したときの，
頂点Bをふくむほうの立体について，次の問いに答えなさい。
⑴ 点Pが頂点Hにくるのは，出発してから何秒後ですか。また，こ
のときの切断面として最も適切なものはどれですか。下の㋐∼㋓の中から選び，記号で答え
なさい。ただし，辺上の×印はその辺の真ん中の点を表しています。
⑵ 4秒後の立体の体積は何kですか。
⑶ 立体の体積が32kになるのは，点Pが出発してから何秒後ですか。
⑷ 8秒後の立体の体積は何kですか。
すい
2
右の図のように，高さ0.7qの長方形の板が地面に垂
ちょく
直に立っています。その板の両はしから前方4.8qのと
ころに，高さ2.8qの街灯を立てたところ，図のように，
ディー
板のかげABCDができました。
このとき，次の問いに答えなさい。ただし，板の厚さ
は考えないものとします。
⑴ ADの長さは何qですか。
⑵ 板のかげABCDの面積は何fですか。
6 年第31回
70
第
3
31
回
立体図形のまとめ⑵
A，B，C，D4つの円柱の容器があり，高さはどれも50eです。また，AとBの底面の半径
の比は2：3です。
このとき，次の問いに答えなさい。
⑴ AとBに等しい量の水を入れたところ，Aの水面の高さは36eになりました。Bの水面の
高さは何eになりましたか。
⑵ Aには深さ20e，Bには深さ46eまで水が入っています。Bの水の一部をAに移して2つ
の容器の水面の高さを等しくすると，水面の高さは何eになりますか。
⑶ Aには深さ18e，Bには深さ22eまで水が入っています。AとBの水の一部を空の容器C
に移したところ，3つの容器の水面の高さはすべて15eになりました。このときAとCの底
面積の比を求めなさい。
⑷ Aには深さ18e，Bには深さ22eまで水が入っています。AとBの水の一部を空の容器D
に移したところ，A，B，Dに入っている水の量の比は1：2：3で，Dの水面の高さは45e
になりました。このとき，BとDの底面積の比を求めなさい。
4
底面積が300gで高さが20eの円柱の容器に，深さ12eまで水が入っています。
ぼう
この容器に，底面積が50gで高さが15eの直方体の棒を，底面が容器の底につくまで1本
ずつ入れていくとき，次の問いに答えなさい。
⑴ 1本目の棒を入れたとき，水面の高さは何eになりますか。
⑵ 2本目の棒を入れたとき，水面の高さは何eになりますか。
⑶ 何本目の棒を入れたときに，容器から水がこぼれ始めますか。
5
大きな容器に水が入っています。そこに，
底面が1辺12eの正方形で高さが20eの
直方体を，図1，図2の2種類の方法でしず
めました。水面の高さは，図1では14e，
図2では17eになりました。
このとき，次の問いに答えなさい。
⑴ 容器の底面積は何gですか。
⑵ 容器に入っていた水の量は何kですか。
6 年第31回
71
問題
解答・解説
エム
別冊77ページ
20
エヌ
1辺の長さが8eの立方体があります。点M，Nはそれぞれ
エービー
シー
辺AB，BCの真ん中の点です。
ディー
この立方体を3点M，N，Dを通る平面で切り，2つの立体に
分けるとき，次の問いに答えなさい。
〈金蘭千里中〉
⑴ 2つの立体のうち，小さい立体の表面積を求めなさい。
⑵ 2つの立体のうち，大きい立体の表面積を求めなさい。
イーエフ
2
右の図の三角柱ABC-DEFにおいて，三角形ABCと三
角形DEFは同じ形の直角三角形で，AB=3e，BC=4e，
CA=5eです。また，AD=4eで，四角形ABEDは長方
ジー
エイチアイ
ジェー
I，Jは，この
形，四角形BCFEは正方形です。4点G，H，
三角柱を面ABEDに平行な平面で切断したとき，切断面が
各辺と交わる点で，HC=1eとなっています。
このとき，次の問いに答えなさい。
〈清風中〉
⑴ GHの長さを求めなさい。
アイ
⑵ 立体GHIJ-ABEDの体積を求めなさい。
アイ
⑶ 立体GHIJ-ABEDを平面GHEDで切断したとき，
① 切り口GHEDの面積を求めなさい。
② 頂点Jをふくむほうの立体の体積を求めなさい。
3
下の図の立方体において，点P，Qはそれぞれ辺AB，ADの真ん中の点です。この立方体を
ちょうてん
ピー
キュー
3つの点P，Q，Gを通る平面で切断し，切り口の一部として辺PQをかきました。
残りの切り口の辺を展開図にかき入れなさい。
6 年第31回
72
〈駒場東邦中〉
第
31
回
立体図形のまとめ⑵
エックス
1辺が6eの正三角形4つで囲まれた立体をXとします。
4
これについて，次の問いに答えなさい。
〈甲陽学院中〉
⑴ 立体Xの1つの頂点Pに集まる3つの辺上にあって，頂点Pからそれぞれ3eはなれた3つ
のぞ
の点を通る面で立体Xを切り，頂点Pをふくむほうの立体を取り除きます。立体Xの残りの
頂点全部で同じように立体を取り除いてできる立体の面，辺，頂点の数を求めなさい。また，
このようにしてできた立体の表面積は，もとの立体Xの表面積の何倍ですか。
⑵ もとの立体Xの1つの頂点Pに集まる3つの辺上にあって，頂点Pからそれぞれ2eはなれ
た3つの点を通る面で立体Xを切り，頂点Pをふくむほうの立体を取り除きます。立体Xの残
りの頂点全部で同じように立体を取り除いてできる立体の面，辺，頂点の数を求めなさい。
また，このようにしてできた立体の表面積は，もとの立体Xの表面積の何倍ですか。
たて
縦3e，横4e，高さ5eの直方体があります。この直方体の面
5
のうち，2辺の長さが3eと4eの長方形の面を面A，4eと5eの
長方形の面を面B，5eと3eの長方形の面を面Cとします。
このとき，次の問いに答えなさい。
〈麻布中〉
⑴ この直方体を面A，面B，面Cに平行な面で，それぞれ1回，
1回，2回切って，小さな直方体をつくります。
① 小さな直方体は何個できますか。
② これらの小さな直方体の表面積の合計を求めなさい。
⑵ この直方体を面A，面B，面Cに平行な面でそれぞれア回，イ回，ウ回切ったとこ
ろ，小さな直方体が90個でき，これらの直方体の表面積の合計は462gでした。
ア，イ，ウにあてはまる数を答えなさい。
6
右の図のような，直方体の形をした2つの容器A，Bがあり
ます。A，Bの底面積の比は3：2です。Aには1200kの水が
入っていて，Bには水が入っていません。
このとき，次の問いに答えなさい。
〈帝塚山学院泉ヶ丘中〉
⑴ AからBにいくらか水を移すと，AとBに入っている水の深
さの比が4：3になりました。AからBに水を何k移しまし
たか。
⑵ ⑴の後，AとBに同じ量の水を加えると，AとBに入っている水の深さの比は12：13にな
りました。Aに加えた水の量は何kですか。
6 年第31回
73
わりあい
7
ふ
しゃせん
一定の割合で雨が降っている庭に，斜線
部分が開いている2つの容器を置きました。
アの容器がいっぱいになったとき，イの
容器の水面の高さを求めなさい。
〈明治大付中野中〉
エーディー
8
ビー
右の図のような，AD=9e，AB=12eの直方体を，
底面積が800gの水そうにうかべたら，図1のようにな
りました。次に，水そうの水を1800kすてて，直方体
の上面を矢印のように手でおしてまっすぐに入れたら，
図2のようになりました。ただし，図1，図2はどちらも，
真正面から見た図です。
このとき，次の問いに答えなさい。
〈南山中女子部〉
シー
⑴ 図1で，ACの長さが15eのときの水
面の高さは何eですか。
イー
⑵ AEの長さは何eですか。
エフジーエイチ
9
アイジェーケーエルエム
エヌ
直方体ABCD-EFGHから直方体 I JKL-MFGNを切り取
った形の水そうがあります。図1は，その水そうの内のり
の長さが表されています。この水そうに水が満たされてい
るものとします。図2は，図1を矢印の方向から見た図で
じょうたい
す。図2の状態から静かにかたむけて図3の状態にします。
このとき，次の問いに答えなさい。
〈弘学館中〉
⑴ 図2の状態の水そうには何kの水が入っていますか。
⑵ 図3のようにしたとき，何kの水がこぼれましたか。
⑶ 図3の状態から再び図2の状態にもどしたとき，水そ
うの水の深さは何eになりますか。
6 年第31回
74
第
問題
解答・解説
31
回
立体図形のまとめ⑵
別冊80ページ
4
すいちょく
左下の図のように，水平な地面に直方体のコンクリートブロックと地点Aから垂直に立つ街
灯があります。街灯に明かりがついたときに，地表上にできるかげの部分
（コンクリートブロ
のぞ
ックの置いてある地面を除く）を真上から見たようすを，右下の図に斜線をつけて示し，その
面積を求めなさい。ただし，左下の図の数字の単位はすべてqとします。
たて
〈開成中〉
ます
下の図Aは，外側の長さが縦20e，横20e，高さ17eの升を表しています。何も入ってい
ないこの升をかたむけずに図1の状態から図2の状態まで，大きな水そうにゆっくりしずめて
とちゅう
いったところ，途中で水そうから水があふれました。次に，升に水が入ったまま図3の状態ま
で，升をかたむけずに引き上げました。
このとき，次の問いに答えなさい。
〈早稲田中〉
⑴ 図1から図2の間であふれた水の量は何kですか。
⑵ 図3の升には何kの水が入っていますか。
⑶ 図2のアの長さは何eですか。
6 年第31回
75
2030 21 22 23 2431 25 26 27 28
30 第回
31 立体図形のまとめ⑵
第
4*3
2*1=6（通り）
規則性のまとめ⑵・第
回
立体図形のまとめ⑵
回
あるから，
7*6=42（通り）
問題
③ 先生と生徒の組合せがないとき。
先生と先生の組合せは，3通り，
解答
生徒と生徒の組合せも，3通り
1
問題
⑴ 12秒後，㋓ ⑵ 2
だから，
⑶ 10秒後 ⑷ 18
3*3=9
（通り）
こと
70ページ
2
k
3
2
k
3
①，②，③より，どの組も異なる中学校から来
2
⑴ 1.6q ⑵ 8.96f
た人の組合せになる4つの組のつくり方は，全部
3
⑴ 16e ⑵ 38e ⑶ 4：5
で，
⑷ 3：1
9+42+9=60
（通り）
4
⑴ 14.4e ⑵ 17e
⑶ 4本目
5
⑴ 288g ⑵ 2016k
ピー
1
⑴ 点Pの動く速さは毎秒1eで，
ビーエフ
ジー
エイチ
BF=FG=GH=4e
ちょうてん
だから，点Pが頂点Hにくるのは，出発してから，
（4+4+4）
/1=12/1=12（秒後）
また，右の図の
エムエヌ
えん
ように，MN の延
ちょう
ディーエー
シー
長と辺 DA，DC
の延長との交わっ
た点を，それぞれ
アイ
ジェー
アイ
I ，J とし，I Pと
イー
辺 AE，JP と辺
ケー
エル
CGとの交わった点をそれぞれK，Lとすると，切
断面は五角形NLPKMとなるから，切断面として
最も適切なものは㋓です。
※ 向かい合う面の切り口の線NLとKP，MKと
LPはそれぞれ平行になっています。
⑵ 出発してから4秒後，
1*4=4
（e）
より，点Pは頂点Fにあり，
BM=BN=4/2=2
（e）
だから，立体の体積は，
1 8
2
（2*2/2）
*4* = =2 （k）
3 3
3
⑶ 立方体の体積は，
4*4*4=64
（k）
6 年第30回・第31回解答
75
だから，立体の体積が
は，
32kとなるのは，3
EA：PH=0.7：
（2.8-0.7）
点P，M，Nを通る平
=
.7：
0
=
.1
2
：
3
面が立方体の体積を2
だから，
等分するときです。
AD：HE=1：3
このとき，点Pは，
➡ AD：4.8=1：3
右の図のように，辺
➡ AD=4.8*1/3=1.6（q）
HGの真ん中の点にあるから，出発してから，
⑵ QB=QA=4.8q
（4+4+4/2）/1=10/1=10（秒後）
より，
※切断面は正六角形になります。
BC=AD=1.6q
⑷ 1*8=8（e）
だから，
より，出発してから8
QC=QD=1.6+4.8=6.4（q）
秒後，点Pは頂点Gに
したがって，板のかげABCDの面積は，
あるから，立体は，右
三角形CQDの面積-三角形BQAの面積
の図のような角すい台
=6.4*6.4/2-4.8*4.8/2
になります。
=20.48-11.52=8.96
（f）
3
EM の延長と FB の
オー
⑴ AとBの底面積の比は，
（2*2）
：
（3*3）=4：9
延長が交わった点をO
だから，Bの水面の高さを□eとすると，
とすると，
そうじ
4*36=9*□
三角形OMBと三角形OEFは相似で，相似比は，
➡ □=4*36/9=16（e）
MB：EF=2：4=1：2
⑵ Aの底面積を④，Bの底面積を⑨とすると，A，
だから，
Bに入れた水の量の和は，
OB：OF=1：2
OB：BF=1：（2-1）=1：1
④*20+⑨*46=苑+ 414 = 494
より，
だから，2つの容器の水面の高さを等しくしたと
OB=BF=4e
きの水面の高さは，
OF=4+4=8（e）
494 /
（④+⑨）
= 494 /⑬=38
（e）
四角すいOMBNと四角すいOEFPは相似で，
⑶ AとBからCに移した水の量の和は，
④*
（18-15）
+⑨*
（22-15）
相似比は1：2だから，体積の比は，
（1*1*1）：（2*2*2）=1：8
=④*3+⑨*7=⑫+園=煙
これより，求める立体の体積は，
1
1
（4*4/2）*8* * 13
8
1 7 56
2
=8*8* * = =18 （k）
3 8
3
3
2 ⑴ だから，Cの底面積は，
（
）
煙/15=⑤
したがって，AとCの底面積の比は，
④：⑤=4：5
⑷ AとBに入っていた水の量の和は，
④*18+⑨*22=演+ 198 = 270
だから，Dに移した水の量は，
3
3
270 *
= 270 * = 135
1+2+3
6
Dの水面の高さは45eだから，Dの底面積は，
135 /45=③
キュー
上の図のように，街灯をPQ，板をAEとする
したがって，BとDの底面積の比は，
と，三角形EDAと三角形PEHは相似で，相似比
6 年第31回解答
76
第
⑨：③=9：3=3：1
4
31
回
立体図形のまとめ⑵
⑶ ① 9.375g ② 9k
⑴ 容器に入っている水の量は，
300*12=3600
（k）
ぼう
だから，1本目の棒を入れたときの水面の高さは，
3600/（300-50）=3600/250=14.4（e）
⑵ ⑴と同じように求めると，2本目の棒を入れた
ときの水面の高さは，
ちょうてん
3600/（300-50*2）
⑴ 面…8，辺…12，頂点…6，
1
表面積… 倍
2
⑵ 面…8，辺…18，頂点…12，
7
表面積… 倍
9
⑴ ① 12個 ② 218g
=3600/（300-100）=3600/200=18（e）
ですが，棒の長さは15eだから，この求め方は
正しくないことがわかります。
2本の棒は完全に水中にしずむから，水面の高
さは，
12+50*15*2/300=12+5=17
（e）
⑵ ア 2 イ 5 ウ 4
⑶ はじめの水面よりも上の部分の容器の容積は，
⑴ 400k ⑵ 640k
300*
（20-12）=300*8=2400（k）
11.75e
だから，
1
⑴ 10e ⑵ 11 e
9
⑴ 8000k ⑵ 4500k
2400/（50*15）=2400/750=3.2
より，容器から水がこぼれ始めるのは，4本目の
⑶ 12.5e
棒を入れたときです。
5
しゃせん
⑴ 下の図で，直方体の斜線部分アと水の斜線
部分イの体積は等しいから，容器の底面積を□
⑴ 小さい立体を
gとすると，
てんかいず
展開図に表すと，右
12*12*（20-14）=□*（17-14）
のように，もとの立
➡ 12*12*6=□*3
方体の面と同じ正方
➡ □=12*12*6/3=288（g）
形になるから，小さ
い立体の表面積は，
8*8=64
（g）
⑵ 切り口の三角形
エムエヌディー
MNDの面積は，
⑵ 容器に入っていた水の量は，
8*8（4*8/2*2+4*4/2）
（288-12*12）*14
=64（32+8）
=64-40=24（g）
=
（288-144）*14=144*14=2016
（k）
したがって，大きい立体の表面積は，
または，
8*8*6（64-24）
+24
288*17-12*12*20
=384-40+24=368
（g）
=4896-2880=2016
（k）
エービーシー
ジーエイチ
そうじ
⑴ 三角形ABCと三角形GHCは相似で，相似
比は，
問題
問題
BC：HC=4：1
72ページ
だから，
解答
AB：GH=4：1
⑴ 64g ⑵ 368g
➡ 3：GH=4：1
⑴ 0.75e ⑵ 22.5k
6 年第31回解答
77
➡ GH=3*1/4=0.75（e）
アイジェイ
より，残りの切り
イー
⑵ 立体GH I J - ABEDは，底面が台形ABHGで，
口の辺は，右の図
のように，2本の
高さがADの四角柱です。
BH=4-1=3（e）
直線 PG，QG に
より，底面積は，
なります。
（0.75+3）*3/2=5.625（g）
高さは4eだから，体積は，
エックス
5.625*4=22.5（k）
立体Xは，1辺の長さが6eの正四面体です。
〈別解〉同じ立体を2つ組み合わせると，
⑴ できる立体は，右の図の
底面積が，3*4=12（g）
かげをつけた部分で，正八
高さが，3+0.75=3.75（e）
面体です。
アイ
の直方体ができるから，立体GH I J - ABEDの体
面の数は8，辺の数は
12，頂点の数は6です。
積は，
12*3.75/2=45/2=22.5
（k）
1つの面の面積は，もと
1
の立体Xの1つの面のだ
4
から，表面積は，もとの立体Xの表面積の，
1
1
*8 /
（1*4）=2/4= （倍）
4
2
⑵ できる立体は，右の図の
⑶ ① 三角形ABCと三角形HBEは合同だから，
HE=AC=5e
切り口GHEDは，GHとDEが平行で，高さが
（
HEの台形だから，面積は，
（0.75+3）*5/2=9.375（g）
）
ちょうてん
② 右の図のように，頂点J
かげをつけた部分で，4つ
をふくむほうの立体を，三
の正三角形と4つの正六角
角柱と三角すいに分ける
形で囲まれた八面体です。
ケー
アイ
面の数は8，辺の数は
と，三角柱KGJ - EH I の
18，頂点の数は12です。
体積は，
4*3/2*0.75
正三角形の面の面積は，
=4.5
（k）
は，右の図のよ
もとの立体Xの1つの面の
1
，正六角形の面の面積
9
は，もとの立体Xの1つの
6
面のだから，表面積は，
9
もとの立体Xの表面積の，
1
6
28
7
*4+ *4 /
（1*4）= /4= （倍）
9
9
9
9
だん
⑴ ① 上下に，1+1=2（段）
うな五角形
縦に，1+1=2
（列）
DK=3-0.75=2.25（e）
だから，三角すいD - KGJ の体積は，
1
4*3/2*2.25* =4.5（k）
3
したがって，求める立体の体積は，
4.5+4.5=9
（k）
（
切り口の図形
）
たて
ピー
エルキュー
PKGLQ になり
横に，2+1=3
（列）
ます。
（切り口
小さな直方体が並ぶから，その個数は，
の求め方は，復
2*2*3=12
（個）
習問題 1 ⑴参
② 面Aに平行な面で1回切るごとに，表面積は，
照）
（3*4）
*2=12*2（g）
なら
ずつ増えます。
これを展開図に表すと，
アイ
同じように，面Bに平行な面で，1回切ると，
PB=I B，QD=JD
6 年第31回解答
78
第
31
回
立体図形のまとめ⑵
エー
（4*5）
*2=20*2（g）
ビー
Aに入っている水の量を⑱，Bに入っている水
の量を⑬とすると，比の差⑱-⑬=⑤が，
面Cに平行な面で1回切ると，
（5*3）*2=15*2
（g）
800-400=400
（k）
ずつ表面積は増えます。
にあたるから，
したがって，小さな直方体の表面積の合計は，
①=400/5=80
（k）
12*
（2+2）+20*（2+2）
これより，Aに入っている水の量は，
+15*（2+2*2）
80*18=1440
（k）
=12*4+20*4+15*6
だから，Aに加えた水の量は，
=48+80+90=218
（g）
1440-800=640
（k）
わりあい
⑵ 小さな直方体の個数より，
（ア+1）*（イ+1）*（ウ+1）
=90=2*3*3*5 柱体
（角柱や円柱）
であれば，底面の形や大きさに
関係なく，一定時間にたまる水の深さは同じにな
①
ります。
また，小さな直方体の表面積の合計より，
12*（2+2*ア）+20*
（2+2*イ）
したがって，アの容器がいっぱいになったと
+15*（2+2*ウ）=462
き，イにたまった水の量は，
➡ 24*ア+40*イ+30*ウ
=462-24-40-30=368 ふ
一定の割合で雨が降っているのだから，容器が
8*8*20=1280（k）
高さが4eのところまでたまった水の量は，
②
②の式の一の位より，
14*14*4=784
（k）
ア=2，7，12
だから，イの容器の水面の高さは，
①の式より，
4+
（1280-784）
/
（8*8）
ア=2
=4+496/64=4+7.75=11.75（e）
シー
これより，①，②の式は，次のようになります。
（イ+1）*（ウ+1）
=2*3*3*5/（2+1）=2*3*5 高さを□eとすると，面積の関係より，
12*9/2=15*□/2
①
➡ □=12*9/15=7.2（e）
40*イ+30*ウ
したがって，水面の高さは，
=368-24*2=368-48=320
➡ 4*イ+3*ウ=32 ⑴ 三角形ABCで，辺ACを底辺としたときの
2.8+7.2=10（e）
②
1
⑵ 図1より，水の体積と直方体の体積のの和は，
2
800*10=8000
（k）
① と② の式より，
イ=5，ウ=4
⑴ AとBの底面積の比が3：2で，水の深さの
（3*4）：（2*3）
=12：6=2：1
図2より，水を1800kすてた後の，水の体積
8
2
と直方体の体積の = の和は，
12 3
800*8=6400（k）
これより，AからBに移した水の量は，
1
1
1200*
=1200* =400（k）
2+1
3
⑵ AとBに同じ量の水を加える前の，Aに入って
したがって，直方体の体積の，
2 1 4 3 1
- = - =
3 2 6 6 6
が，
比が4：3のとき，AとBに入っている水の量の比
は，
6400（8000-1800）
=6400-6200
いる水の量は，
1200-400=800
（k）
=200（k）
AとBに同じ量の水を加えた後の，AとBに入っ
にあたるから，直方体の体積は，
1
200/ =200*6=1200（k）
6
イー
これより，AEの長さは，
ている水の量の比は，
（3*12）：（2*13）
=36：26=18：13
6 年第31回解答
79
100
1
=11 （e）
9
9
⑴ 水そうの底面を，図2の図形と考えると，
1200/（9*12）=
右の図のよ
うに，街灯の
底面積は，
こうげん
オー
20*30-（20-10）*20
光源をO，直
=600-200=400
（g）
方体のコンク
じょうたい
だから，
図2の状態の水そうに入っている水の量は，
リートブロッ
400*20=8000（k）
クの上の面の
アイエム
かくちょうてん
ジェー
各頂点を P，
⑵ I M=BJで，
キュー
アイ
アール
Q，R とする
I MとBJは平行だか
アイ
ら，四角形 I MJB
と，頂点 P，
は平行四辺形です。
Q，Rのかげは，それぞれ点P ，Q ，R です。
アイ
上の図で，三角形OAP と三角形OBPは相似で，
したがって， I Bと
相似比は，
MJは平行だから，図3のようにしたとき，水面
OA：OB=9：
（9-3）=9：6=3：2
アイ
は，上の図のように，2点 I ，Bを通ります。
ピー
アイ
そうじ
上の図で，三角形APBと三角形JB I は相似で，
だから，OP の長さは，OPの長さの，
3/2=1.5（倍）
相似比は，
アイ
AB：J I =30：20=3：2
になります。
だから，
同じように，OQ ，OR の長さは，それぞれ
OQ，ORの長さの1.5倍になります。
AP：JB=3：2
真上から見ても，OP ，OQ ，OR の長さは‚
➡ AP：10=3：2
それぞれOP，OQ，ORの長さの1.5倍になりま
➡ AP=10*3/2=15（e）
す。
これより，こぼれた水の量は，
また，PQとP Q ，QRとQ R は平行で，P Q
15*30/2*20=4500（k）
⑶ 水そうに残った水の量は，
の長さはPQの長さの1.5倍，Q R の長さもQRの
8000-4500=3500（k）
長さの1.5倍になります。
これらのことを考えて，かげを図に表すと，下
で，水そうを図2の状態にもどしたとき，水の深
しゃせん
の斜線部分のようになります。
さが10eまでの水の量は，
10*
（30-20）*20
=10*10*20=2000
（k）
だから，水そうの水の深さは，
10+
（3500-2000）
/（30*20）
=10+1500/600=10+2.5=12.5
（e）
問題
問題
75ページ
解答
また，かげの面積は，2つの台形の面積の和と
かげ…解説の図参照，面積…40.5f
して求められます。
⑴ 4400k ⑵ 3840k
上底4q，下底4*1.5=6
（q）
の台形の高さは，
⑶ 2.4e
（3+6.6）
*
（1.5-1）=9.6*0.5=4.8（q）
また，上底6.6q，下底6.6*1.5=9.9
（q）
の台形の高さは，
6 年第31回解答
80
20 21 3122 23 24 25 3226 27 28 29
32 33速さのまとめ⑵
34 35 36 37 38 39
30 31 第回
第
4*
（1.5-1）
=4*0.5=2（q）
だから，かげの面積は，
回
立体図形のまとめ⑵・第
回
速さのまとめ⑵
（4+6）*4.8/2+
（6.6+9.9）*2/2
問題
=24+16.5=40.5（f）
ます
⑴ 満水時の水そうに升をしずめたときにあふ
問題
76ページ
解答
れる水の量は，
1
⑴ 154°
⑵ 115°
1
10
⑶ 9時49
分 ⑷ 8時10 分
11
11
10
7
⑸ 5時10
分と5時43 分
11
11
2 ⑴ 5秒 ⑵ 160q ⑶ 秒速20q
20*20*17=6800
（k）
図1の水そうの水の量は，満水時より，
40*40*1.5=2400（k）
少ないから，図1から図2の間であふれた水の量
は，
6800-2400=4400（k）
⑵ 図3の水の量は，図1の水の量より，
40*40*（6.65-1.5）
=40*40*5.15=8240（k）
3
⑴ 7秒 ⑵ 77秒
4
⑴ 秒速15q ⑵ 300q
5
2：1
6
⑴ 上り…時速12r，下り…時速20r
⑵ 船の静水時の速さ…時速16r
少なくなっています。
川の流れの速さ…時速4r
このうち，4400kは，升を入れたためにあふ
⑶ 10時間
れた水の量なので，図3の升に入っている水の量
は，
8240-4400=3840（k）
7
80r
8
⑴ 290q ⑵ 分速40q
⑶ 升に入った水の量は，
40*40*ア
（k）
1
だから，
はり
時計の針は，1分間に，
ちょうしん
長針が，360°
/60=6°
40*40*ア=3840
短針が，360°
/12/60=0.5°
➡ ア=3840/40/40=2.4
（e）
ずつ進みます。
⑴ 12時に，長針と短針がつくる角度は0°
です。
28分間に，
長針は，6°
*28=168°
短針は，0.5°*28=14°
進むから，12時28分に長針と短針がつくる角の
うち，小さいほうの角度は，
168°
-14°
=154°
⑵ 10時に，長針は短針より，
360°
/12*
（12-10）=60°
先にあり，10分間に，
長針は，6°
*10=60°
短針は，0.5°*10=5°
進むから，10時10分に長針と短針がつくる角の
うち，小さいほうの角度は，
60°
+60°-5°
=115°
⑶ 9時に，短針は長針より，
6 年第31回・第32回解答
81

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