磁気損失性媒質中の伝搬定数科 v1.1f Jul.2014 1. 磁気損失媒質中の波動方程式 √ α = ω µε が，今度は媒質の磁気導電率が σ ∗ [R/m] の場合を考えると ⃗ = jωεE ⃗ ∇×H (1) ∗⃗ ⃗ ⃗ ∇ × E = −jωµH − σ H (2) となる。式 (1) の両辺に ∇× を掛けて，右辺に式 (2) の関係を使うと ⃗ = jωε∇ × E ⃗ ∇×∇×H ( ) ⃗ − σ∗ H ⃗ = ω 2 µεH ⃗ − jωεσ ∗ H ⃗ = jωε −jωµH (3) 2β 2 = ωε σ∗ γ = −ω µε 1 − j ωµ ) ( , γ = ±jω σ∗ µε 1 − j ωµ ⇒ ω 2 µε √ β = ω µε √ ⇒ ω 2 µε 1+ ( σ∗ ωµ )2 −ω 2 µε = ω 2 µε   1+ ( σ∗ ωµ )2 (23)  ( σ∗ )2 ωµ +ω 2 µε = ω 2 µε √   ( 1+ σ∗   )2 ωµ + 1 (24)  √  1 2 ( 1+ σ∗  1 2 )2 ωµ +1 (25)  √ ωεσ ∗ 2 で近似され，同様に式 √ (25) より √ √ 1 σ∗ ωεσ ∗ = β ≃ ω µε 2 ωµ 2 1 σ∗ = 2 ωµ (26) (27) で近似できることが分かる。従って，伝搬定数 γ√ は次式となる。 √ √ (8) γ = α + jβ = ωεσ ∗ +j 2 ωεσ ∗ = (1 + j) 2 ωεσ ∗ 2 (28) 3. 表皮厚み式 (28) から明らかなように，磁気良導体中に電磁界が侵入したとき，その振幅は e−αz で減衰してゆく。磁気導体表面の振幅に対して，その大きさが 1/e = 0.368 (36.8 %) まで減衰するのに必要な距離 z = 1/α を磁気表皮厚み (magnetic skin depth) と呼ぶ。即ち，磁気良導体の磁気表皮厚みは次式で近似計算することができる。 √ δS = 1 = α 2 ωεσ ∗ (29) 4. 良磁気導体中の波動インピーダンス次に磁気良導体中の波動インピーダンスを求めてみる。簡単のために z 方向に進む Ex , Hy の平面波セットを考えると，アンペアの法則 ⃗ = jωεE ⃗ ∇×H (30) において，∂/∂x = ∂/∂y = 0, Ey = Ez = Hx = Hz = 0 より 1 ∂Hy Ex = − (31) jωε ∂z の関係が得られる。仮に Hy の一般解を式 (10) と同じようにおくと，式 (31) から Ex は次のように求まる。 ) ( ) 1 ( Ex = − (32) −γAe−γz + γBeγz = η Ae−γz − Beγz jωε ただし，η は磁気損失性媒質の波動インピーダンスで次式となる。 γ η= (33) jωε ここで，式 (28) の磁気良導体の伝搬定数 γ を式 (33) に代入すると，次式のように波動インピーダンス √ η が複素数となる。 √ 1 + j ωεσ ∗ σ∗ 1−j ∗ η= = (1 − j) = σ δS (34) jωε 2 2ωε 2 式 (34) は，磁気良導体中の電界 E と磁界 H の位相差が π/4 = 45◦ であることを示している。 (21) √ −1 ωµ ω 2 µ2 + σ ∗2 + ω 2 µε 1+ √ α ≃ ω µε ∂ 2 Hy − γ 2 Hy = 0 (9) ∂z 2 となり，式 (9) の一般解を仮に Hy = Hy + + Hy − = Ae−γz + Be+γz (10) とおいて式 (9) に代入すると，式 (10) は明らかに式 (9) の解であることが分かる。所で，式 (8) で σ ∗ = 0 とすると √ γ = ±jω µε (11) となるが，磁性損失を考慮するために複素透磁率 µ˙ (complex permeability) を導入すれば ( ) µ′′ ′ ′′ ′ µ˙ = µ − jµ = µ 1 − j ′ = µ′ (1 − j tan δ) (12) µ と置くことができるので，これを式 (11) に代入すれば √ γ = ±jω µ′ ε (1 − j tan δ) (13) となることが分かる。式 (8) と式 (13) を比べると σ∗ µ′′ = ′ = tan δ (14) ωµ µ の関係があり，磁気導電率を角周波数で割った磁気導電損失項 σ ∗ /ω と磁気損失 µ′′ は類似していて区別できないことが分かる。 2. 磁気損失媒質の α と β の導出さて，式 (8) から減衰定数 α (attenuation constant) と位相定数 β (phase constant) を具体的に求めてみる。 γ 2 = (α + jβ)2 = α2 − β 2 + 2jαβ = −ω 2 µε + jωεσ ∗ (15) 式 (15) の実部と虚部を比較すると，次の連立方程式が導出できる。 α2 − β 2 = −ω 2 µε (16) 2αβ = ωεσ ∗ (17) 2 2 ここで，式 (16) と式 (17) をそれぞれ計算すると ( 2 )2 α − β 2 = ω 4 µ2 ε 2 (18) 4α2 β 2 = ω 2 ε2 σ ∗2 (19) となる。式 (18) + 式 (19) より ( ) α4 + β 4 + 2α2 β 2 = ω 2 ε2 ω 2 µ2 + σ ∗2 = (α2 + β 2 )2 (20) ω 2 µ2 + σ ∗2 が得られる。最後に式 (16) + 式 (27) より √ 2 2 2 ∗2 2α = ωε ω µ + σ − ω 2 µε  1+ 1 2 )2 σ∗ 良磁気導体の条件，σ ∗ √ ≫ ωµ 即ち，σ ∗ /ωµ ≫ 1 のとき式 (23) よりとなる。簡単のため式 (7) を 1 次元のスカラー波動方程式で考えると α2 + β 2 = ωε ( 従って，位相定数 β は次式となる。 ) となる。従って， √ 1 2 √ ⃗ = ∇(∇ • H) ⃗ − ∇2 H ⃗ ∇×∇×H (4) ⃗ = 0 よりを適用すると，µ∇ • H ) ( ∗ ⃗ = ω 2 µε 1 − j σ ⃗ −∇2 H H (5) ωµ したがって，次式 ( (6) の磁気損失性媒質の波動方程式が導出できる。 ) σ∗ ⃗ 2⃗ 2 ∇ H + ω µε 1 − j (6) H=0 ωµ ここで次式 (7) のように γ を使って式 (6) を書き換える。 ⃗ − γ2H ⃗ =0 ∇2 H (7) 式 (6) と式 (7) の比較より √ (  √  となる。同様にして，式 (27) − 式 (16) より √ となる。さらに，式 (3) 左辺に次のベクトル公式 2 番氏名: 従って，減衰定数 α はこれまでは無損失の場合と電気導電率 σ [S/m] の場合を扱ってきた 2 年   − 1 (22)  1