問題 5 自然数 a, b はどちらも 3 で割り切れないが、 a3 + b3 は 81 で

問題 5
自然数 a, b はどちらも 3 で割り切れないが、a3 + b3 は 81 で割り切れる。この
ような a, b の組 (a, b) のうち、a2 + b2 の値を最小にするものと、そのときの
a2 + b2 の値を求めよ。
【2014 京都大学】
解答
b
自然数 a, b はどちらも 3 で割り切れないから、
a ≡ ±1 (mod3) , b ≡ ±1 (mod3)
このとき、
a3 + b3 ≡ 0 (mod3)
a + b = 54
27
2
となるのは、
a ≡ 1 (mod3) , b ≡ −1 (mod3) または
a ≡ −1 (mod3) , b ≡ 1 (mod3)
O
a
13 14
a + b = 27
のときである。前者のときを考えれば十分である。そこで、
a = 3A + 1, b = 3B − 1
とおくと、
3
3
a3 + b3 = (3A + 1) + (3B − 1)
= 27A3 + 27A2 + 9A + 27B 3 − 27B 2 + 9B
{ (
)
}
= 9 (A + B) 3 A2 − AB + B 2 + 9 (A − B) + 1
(
)
3 A2 − AB + B 2 + 9 (A − B) + 1 は３の倍数ではないから、a3 + b3 が 81 の倍数に
なるのは A + B が 9 の倍数になるときである。A + B = 9m とおくと、
a + b = 3 (A + B) = 27m
これを満たす格子点 (a, b) に対して、a2 +b2 を最小にするものを求める。m = 1, 2, 3 · · ·
として、O と (a, b) との距離を最小にするものを探せば、図より、
(a, b) = (13, 14)
同様に
(a, b) = (14, 13)
c
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RadicalMath

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