問題 5 自然数 a, b はどちらも 3 で割り切れないが、a3 + b3 は 81 で割り切れる。この ような a, b の組 (a, b) のうち、a2 + b2 の値を最小にするものと、そのときの a2 + b2 の値を求めよ。 【2014 京都大学】 解答 b 自然数 a, b はどちらも 3 で割り切れないから、 a ≡ ±1 (mod3) , b ≡ ±1 (mod3) このとき、 a3 + b3 ≡ 0 (mod3) a + b = 54 27 2 となるのは、 a ≡ 1 (mod3) , b ≡ −1 (mod3) または a ≡ −1 (mod3) , b ≡ 1 (mod3) O a 13 14 a + b = 27 のときである。前者のときを考えれば十分である。そこで、 a = 3A + 1, b = 3B − 1 とおくと、 3 3 a3 + b3 = (3A + 1) + (3B − 1) = 27A3 + 27A2 + 9A + 27B 3 − 27B 2 + 9B { ( ) } = 9 (A + B) 3 A2 − AB + B 2 + 9 (A − B) + 1 ( ) 3 A2 − AB + B 2 + 9 (A − B) + 1 は3の倍数ではないから、a3 + b3 が 81 の倍数に なるのは A + B が 9 の倍数になるときである。A + B = 9m とおくと、 a + b = 3 (A + B) = 27m これを満たす格子点 (a, b) に対して、a2 +b2 を最小にするものを求める。m = 1, 2, 3 · · · として、O と (a, b) との距離を最小にするものを探せば、図より、 (a, b) = (13, 14) 同様に (a, b) = (14, 13) c Darumafactory -1- RadicalMath
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