４．データの分布 （１）ヒストグラム ヒストグラム データを一定範囲に区切り、各範囲における度数を表した棒グラフ ヒストグラムを作る目的 データの分布の状態を把握するため。 例４ 表３ テスト得点の分布 得点範囲 人数 得点範囲 人数 ０～４点 ２人 40 ～ 44 点 ９人 ５～９点 ４人 45 ～ 49 点 12 人 10 ～ 14 点 ２人 50 ～ 54 点 ６人 15 ～ 19 点 ４人 55 ～ 59 点 ８人 20 ～ 24 点 ７人 60 ～ 64 点 ４人 25 ～ 29 点 10 人 65 ～ 70 点 ２人 30 ～ 34 点 16 人 70 ～ 75 点 １人 35 ～ 39 点 14 人 75 点以上 ０人 18 16 度 14 12 10 数 8 6 4 2 0 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 得 図１ 点 範 ヒストグラム -1- 囲 （２）ヒストグラムの作り方 １）最高点と最低点を見つける。 【例】最高点：７５点 ２）その差を算出し、得点の幅を求める。 【例】 最低点：０点 ７５ － ０ ＝ ７５ ３）データを何段階に区切るか（級間の数）を決める。（一般に５～２０が適当） データ数が 50 であれば 6 ～ 7 段階、100 であれば 7 ～ 8 段階程度でよい。 ※ 適当なクラス数 1 + 3.3log n 【例】 １５段階に区切ることとする。 ４）2)で求めた得点の幅を、4)で決めた級間の数で割り、級間の幅を決める。 【例】 ７５÷１５＝５ ５）これで、データを５点毎に区切って１５段階で集計することになった。 集計表にしてみる。（表３を参照） ６） 5)で作成した集計表をもとにヒストグラムを描く。縦軸に度数（人数など）をと り、横軸を得点の範囲を表示し、棒グラフで描く。 ７）グラフの縦軸は下限をゼロから始める。 横軸は必ずしもゼロから始めなくてよい。 横軸には得点の最低と最高の範囲を示す。 ８）実際にグラフを描くときには、軸の長さ、間隔のとり方、縦横の比率などに注意す る。グラフが横長になったり、縦長になったりすると、データの分布に関して見か けの印象が大きく変わってしまう。 ※ ここで示した級間の上限点、下限点は、正しくは得点限界といい、真の限点とは異なるが、 ここでは説明を省略する。 例５ ヒストグラムの問題例 分布の山が２つできている。 得点が二極化していると 考えられる。 ↓ 数値を平均して扱うことが 難しい。２つのグループが 混在している可能性がある。 極端値が存在する。 ↓ 数値を平均して扱うことが 難しい。代表値にはメディ アンを用いる。あるいは、 極端値が生じた原因を明ら かにして除外する。 -2- （３）正規分布曲線 人間の身長、体重、知能 平均値に近いところに一番多くの人が存在し、それよりも大きな人、小さな人は、 差が極端になるほど徐々に減少する。→ 34.13% 正規分布曲線に近い分布を示す 34.13% 13.59% 13.59% 2.145% 2.145% 0.135% －４ 0.135% －３ －２ －１ +１ ０ +２ +３ +４ 平均値 ・横軸の数字は標準偏差を表す 図２ ○ 正規分布曲線 データが正規分布しているときには、平均値±１標準偏差の範囲に全データの 68 ％ が収まる。算術平均は、データが正規分布していることを前提に用いられる。 例６ 日本人の成人男性の平均身長は 169 センチメートルで、標準偏差は 9 センチメート ルであった。 → 日本人の成人男性の約７割の身長が 160 ～ 178 センチメートルの 範囲に収まっていることを示している。 表４ 正規分布における平均周囲の得点分布と％ 得点の範囲 度数（％） 平均値±１標準偏差 68.26 ％ 平均値±２標準偏差 95.44 ％ 平均値±３標準偏差 99.74 ％ 平均値±４標準偏差 99.99 ％ -3- 表４ 知能検査の得点分布と判定基準（標準偏差を 15 とするもの） ＳＤ値（範囲） ＩＱ（知能指数） ％ 知能水準 平均値＋５標準偏差 IQ 160 ～ － 平均値＋４標準偏差 IQ 145 ～ 159 上位 0.13 ％ 特に優れている 平均値＋３標準偏差 IQ 130 ～ 144 上位 2.15 ％ 優れている 平均値＋２標準偏差 IQ 115 ～ 129 上位 13.59 ％ やや優れている 平均値±１標準偏差 IQ 85 ～ 114 全体の 68.26 ％ 平均的知能 平均値－２標準偏差 IQ 70 ～ 84 下位 13.59 ％ やや劣る 平均値－３標準偏差 IQ 55 ～ 69 下位 2.15 ％ 劣る 平均値－４標準偏差 IQ 40 ～ 55 下位 0.13 ％ 特に劣る 平均値－５標準偏差 IQ 39 以下 － 表５ － － 知的障害の 理論値 WISC － III（ウェクスラー児童用知能検査第３版）におけるＩＱ ＩＱ ＳＤ値 １４５ ＋３ SD 99.9 １４０ ＋２２/３ SD 99.6 １３５ ＋２１/３ SD 99 １３０ ＋２ SD 98 １２５ ＋１２/３ SD 95 １２０ ＋１１/３ SD 91 １１５ ＋１ SD 84 １１０ ＋ ２/３ SD 75 １０５ ＋ １/３ SD 63 ０ SD 50 ９５ － １/３ SD 37 ９０ － ２/３ SD 25 ８５ －１ SD 16 ８０ －１１/３ SD 9 ７５ －１２/３ SD 5 ７０ －２ SD 2 ６５ －２１/３ SD 1 ６０ －２２/３ SD 0.4 ５５ －３ SD 0.1 １００ パーセンタイル順位 知能水準 非常に優れている 2.2 ％ 優れている 6.7% 平均の上 平 均 平均の下 -4- 理論的割合 16.1% 50% 16.1% 境界線 6.7% 精神遅滞 2.2% （４）標準偏差（Standard Deviation: SD） 平均偏差 各データの平均値からのズレを絶対値で合計し、算術平均したもの 標準偏差 各データの平均値からのズレを平均化したもの ○ 平均偏差は算出が容易であるが、絶対値を使う。標準偏差の計算では、データの －(マイナス)を消すために、いったんズレの値を自乗し、後に √ する。 標準偏差の計算式 (データ①－平均値) ＳＤ ２ ＋ (データ②－平均値) ２ ＋ ･･････ ＝ Ｎ 例７ Ａ群 Ｂ群 Ａ群 Ｂ群 回答者 得点 回答者 得点 Ｎ ５ ５ イ ２ イ ５ Ｍ ４ ７ ロ ３ ロ ５ ＳＤ 1.4 1.8 ハ ４ ハ ７ ニ ５ ニ ９ ホ ６ ホ ９ 平均偏差 算出方法の確認 -5- ＝ Ａ群 1.2、Ｂ群 1.6
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