計算流体力学（第10回資料）非圧縮性粘性流体の解法直接解法に基づく支配方程式 2014年12月12日 ☆ 直接解法：運動方程式と連続式に対して直接有限要素法を適用する方法である。 →速度場・圧力場の同時解法：陰解法 ☆ 分離型解法 : 運動方程式と連続式に対して時間の離散化を行ったうえで式変形を行い、流速場と圧力場を分離した半離散化式を導出し、それらに対して有限要素法を適用する方法である。 →速度場：陽解法 →圧力場：陰解法支配方程式 Navier-Stokesの運動方程式と連続式に対して有限要素法を適用する（速度場と圧力場を分離しない）境界条件自然境界条件（圧力項と粘性項を部分積分）分離型解法に基づく支配方程式分離型解法に基づく支配方程式 MAC法 = 0 連続式を考慮 (2) Navier-Stokes方程式を陽解法により時間方向に離散化する（θ＝0）支配方程式 (1) 運動方程式の発散をとる分離型解法では半離散化方程式の段階（方程式レベル）で圧力のPoisson方程式が導出される. →圧力に関する境界条件が必要 (1) (2) 式(2)から圧力場を求め、その結果を(1)に代入し速度場を求める分離型解法に基づく支配方程式分離型解法に基づく支配方程式 Fractional step法支配方程式 (1) 陽的に解く運動方程式の発散をとり，連続式を代入する圧力項、粘性項を部分積分した場合陰的に解く陰的に解く (2) 陽的に解く圧力の境界条件を与えることは難しい（圧力は速度から求まる非決定応力）陽的に解く解析アルゴリズム： u~i  p n 1  uin 1 分離型解法数値振動を引き起こす二つの原因分離型解法では半離散化方程式の段階（方程式レベル）で圧力のPoisson方程式が導出される. ☆ 解析対象が高Reynolds数流れになった場合（移流項が卓越する場合）. →双曲型の方程式に共通圧力の境界条件が必要！ディリクレ条件 ☆ 直接法の場合で流速・圧力の補間関数の組み合わせ（変数の配置）が下限上限条件 (inf-sup condition)を満たさない場合 →非圧縮条件の過拘束ノイマン条件安定化有限要素法（SUPG/PSPG,GLS）の採用スタガード格子の採用（差分法，有限体積法）移流による数値不安定性の例直接法に基づく有限要素法 Flow SUPG法 i-1 i i+1 i-1 i i+1 SUPG項 Galerkin項上：SUPG項あり、下：SUPG項なし（有限要素法）直接法に基づく離散化離散化方程式逆行列が存在するか否かは補間関数（変数の配置）の組み合わせにより決まる直感的→対角成分の0の数が少ない方がよい下限上限条件 (inf-sup condition) 詳しくは，菊地文雄「有限要素法の数理」培風館文献１）続・有限要素法による流れのシミュレーション（丸善）（Re=10,000）要素の名称について P： polynomialのP Q: quadrilateralのQ Pk: polynomial of degree k で2次元三角形、3次元四面体要素 (単体要素) Qk: bi-linear, bi-quadratic, bi-cubic (k=1,2,3)で 2次元四角形、3次元六面体要素この記法の起こりは P.G. Ciarlet, “The Finite Element Method for Elliptic Problem”, SIAM, North-Holland, 1978 の44ページ差分法･有限体積法における未知変数の配置三角形要素と四角形要素スタッガード（staggered＝ねじれ型）格子；左：差分法，右：有限体積法圧力 Pressure Pressure 速度文献３より Velocity Velocity P1/P0 P1/P1 Q1/P0 Q1/P1 Q1/Q1 Fail Fail Fail Fail Fail P1b/P0 P1b/P1 Q2S/P0 Q2S/P1 Q2S/Q1 Fail Pass Pass Fail Pass P2/P0 P2/P1 Q2/P0 Q2/P1 Q2/Q1 Pass Pass Pass Pass Pass 利点：速度と圧力のカップリングが良い→数値振動が回避できる（有限要素法の混合補間の変数配置に似ている）コロケート（colocated=集中）格子；左：差分法，右：有限体積法利点：非構造格子に対して有利（汎用CFDコード）境界条件が考慮しやすい直接法に基づく安定化有限要素法 GLS(Galerkin/Least-squares)法直接法に基づく安定化有限要素法 SUPG/PSPG法：なぜ同次補間で解が求まるか？時間の離散化：差分法、要素：1次要素 SUPG項時間の離散化に差分法 PSPG項要素に１次要素 SUPG/PSPG(Streamline Upwind Petrov-Galerkin /Pressure Stabilizing Petrov Galerkin)法離散化とプログラミングの詳細：続・有限要素法による流れのシミュレーション，丸善，2008 PSPG項