九州大学文系3番

3番
鋭角三角形 4ABC について、∠A,∠B,∠C の大きさをそれぞれ A, B, C とする。
4ABC の重心を G、外心を O とし、外接円の半径を R とする。
(1) A と O から辺 BC に下ろした垂線を、それぞれ AD,OE とする。このとき、
AD = 2R sin B sin C,
OE = R cos A
を証明せよ。
(2) G と O が一致するならば 4ABC は正三角形であることを証明せよ。
(3) 4ABC が正三角形でないとし、さらに、OG が BC と平行であるとする。
このとき、
AD = 3OE,
tan B tan C = 3
を証明せよ。
【2014 九州大学】
解答
(1)
4ABC =
A
1
1
BC × AD = AB · AC sin A
2
2
正弦定理：
BC = 2R sin A, AB = 2R sin C, AC = 2R sin B
を用いて、
R
2R sin A × AD = 2R sin C · 2R sin B · sin A
∴ AD = 2R sin C sin B
O
A
B
E
D
また、∠BOE=A であるから、
OE = OB sin A = R sin A
(2) 4OBC は OB=OC=2R の２等辺３角形であるから、E は BC の中点である。O
1
は重心 G であるから、A,O,E は一直線上にある。OA=R だから、OE= R であ
2
る。OB=R であるから、∠BOE = 60◦
よって、A = 60◦ となる。同様に B = 60◦ となるから、4ABC は正三角形である
(3) G より BC への垂線を GF とすると、GF//AD だから、
GF : AD = EG : EA = 1 : 3
∴ OE : AD = 1 : 3 ⇔ AD = 3OE
c
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-1-
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C
R cos A : 2R sin B sin C = 1 : 3
2 sin B sin C = 3 cos A = −3 cos (B + C)
2 sin B sin C = −3 cos B cos C + 3 sin B sin C
sin B sin C = 3 cos B cos C
∴ tan B tan C = 3
A
O
B
c
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E
G
F
D
C
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