微分方程式レポート No.1

微分方程式レポート No.1
学籍番号名前 1 (変数分離形の 1 階微分方程式) 次の微分方程式を解きなさい. （初期条件が書いていない場合は一
般解を，初期条件が書いてある場合は，その初期条件を満たす解を求めなさい.）
dy
(1)
= y.
dx
(2) (1 + x2 )y = cos2 y.
dy
(3)
= 3 cos x cos2 y, y(0) = π4 .
dx
dy
1
= y(y + 1) sin x.
(4)
dx
dy
(5)
= x exp(−x2 − y), y(0) = log 2.
dx
1
ヒント：部分分数分解を利用します.
微分方程式レポート No.2
学籍番号名前 1 (形式的に表現された変数分離形の微分方程式) 次の微分方程式の一般解を求めよ.
(1) sin x cos2 ydx + cos2 xdy = 0
(2) (2x + 3)y2 dx − dy = 0
2 (同次形微分方程式) 次の微分方程式の一般解を求めよ2 .
dy
(1) x + y dx
= 2y
2
2 dy
(2) (x − y ) dx = 3xy
2
y を x のみの式で書くのは難しい. この 2 問の一般解は x と y の関係式になる (y を含むものではありません).
微分方程式レポート No.3
学籍番号名前 1 (1 階線形微分方程式) 次の微分方程式の一般解を求めよ.
(1) y + y sin x = sin x
dy
(2) dx
+ 2xy = x3
(3) y + y = sin x
2 (1
) 以下の問いに答えなさい.
∫ 階線形微分方程式
dx
(1) cos x を求めよ.
dy
+ 2y tan x = cos x の一般解を求めよ.
(2) dx
微分方程式レポート No.4
学籍番号名前 1 (ベルヌーイの微分方程式)
(1) 3y + xy = 2xy4 の一般解を求めよ3 .
(2) 0 < x < π とする. x = π2 のとき y = 1 となる 2y − y cot x = y3 の解を求めよ4 .
2 (完全微分方程式)
(1) (x2 + 2xy + y2 )dx + (x2 + 2xy + 1)dy = 0 は完全か調べよ. 完全である場合， x = 1 のとき y = 2 を
満たす解を求めよ.
(2) (sin x + sin y)dx + (y2 + y + x cos y)dy = 0 は完全か調べよ. 完全である場合， x = 0 のとき y = 1 を
満たす解を求めよ.
3
4
y3 を x の関数として表しなさい.
y2 を x の関数として表しなさい.
微分方程式レポート No.5
学籍番号名前 1 微分方程式 (y2 + x)dx + xydy = 0 について以下の問いに答えなさい.
(1) (y2 + x)dx + xydy = 0 の積分因子を 1 つ求めよ.
(2) (y2 + x)dx + xydy = 0 の一般解を求めよ.
2 微分方程式 (3x + 4xy + 3y2 )dx + (x2 + 2xy)dy = 0 について以下の問いに答えなさい.
(1) (3x + 4xy + 3y2 )dx + (x2 + 2xy)dy = 0 の積分因子を 1 つ求めよ.
(2) (3x + 4xy + 3y2 )dx + (x2 + 2xy)dy = 0 の一般解を求めよ.
微分方程式レポート No.6
学籍番号名前 6 月 17 日（火）は中間テストを行います. 試験範囲は主に教科書の 1 ページから 31 ページまでです.
1 次の微分方程式の一般解を求めよ.
(1) y = 4y
(2) y∫ = (y + 1)(y + 3)
1
dx を求めよ.
2 (1)
√
x2 + 1
(2) 初期条件 y(0) = 0, y (0) = 1 を満たす微分方程式 y = y の解を求めよ.
微分方程式レポート No.7
学籍番号名前 ※ 提出していただいた答案は成績処理の際に使用するので返却できません. 必要であればコピーを
取って保管してください.
※ レポート No.7 を提出したい人は 7 月 15 日（火）までに提出して下さい.
1 以下の問いに答えなさい.



c1 + c2 = 0





(1) 連立一次方程式 
2c1 + c3 = 0 の一般解を求めよ.





c1 + c4 = 0
(2) 関数 (x + 1)2 , x2 , x, 1 は一次独立かどうか調べなさい.
2 以下の問いに答えなさい.

∫ π



π m = n のとき,
(1) n, m を自然数とする. このとき,
sin nx sin mxdx = 
であることを確かめよ.


0 m n のとき
−π
(2) 1,sin x, sin 2x, sin 3x, . . . , sin nx は 1 次独立であることを数学的帰納法を用いて確かめよ5 .
ヒント: n = k のときに一次独立であると仮定して n = k+1 のときを考える際, C0 +C1 sin x+C2 sin 2x+· · ·+Ck+1 sin(k+1)x = 0
…➀ とおくであろう. まず, x = 0 とおけば C0 = 0 が得られるであろう. Ck+1 = 0 であることを確かめるには, ➀の両辺に
sin(k + 1)x をかけて −π から π まで積分してみるとよい.
5
微分方程式レポート No.8
学籍番号名前 ※ 提出していただいた答案は成績処理の際に使用するので返却できません. 必要であればコピーを
取って保管してください.
※ レポート No.8 を提出したい人は 7 月 29 日（火）までに提出して下さい.
※ 期末試験は 8 月 5 日（火）に行います.
1 次の微分方程式を解きなさい.
(1) y + 2y − 3y = 0
(2) y − 10y + 25y = 0
(3) y + 2y + 5y = 0
(4) y + 10y + 35y + 50y + 24y = 0
(5) y − y − 2y + 2y = 0
2 次の計算をせよ.
1
1
1
1
(1) 3
e3x (2) 2
e3x (3) 2
(x + 1) (4) 2
sin 3x
2
D +D +1
D −4
D + 2D − 3
D +D−1
微分方程式レポート No.9
学籍番号名前 1 次の微分方程式の一般解を求めよ.
(1) y + 4y + 4y = x + 4
(2) y + y − 2y = cos 3x

dx
t


 dt = 3y + te
2 連立微分方程式 
の一般解を求めよ.

 dy = x − 2y + et

dt

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