1章 Σxi

１章
（５）範囲（Ｒ）
「範囲」
なので、負の値にはなりません。
［例］
｛６，
７，
５，
４｝
の範囲Ｒは、Ｒ＝７－４＝３
（６）平方和（Ｓ）
個々の測定値と平均値との差の２乗の和を
「平方和」といい、大文字のＳで表
します。
2
平方和Ｓ＝∑
（ x i－ x ）
2
（x１＋x２＋……＋xｎ）
―
＝
（ x 12＋ x 22＋……＋ x n2）
－―
ｎ
n
（Σx i）2
＝∑ x i2－ ―
― ※ Σxi を
「Σxｉ」
と表しています（以下同）。
ｎ
ｉ＝1
この式が成り立つ
「証明」
は次の通りです。
2
Ｓ＝Σ
（ x i－ x ）
＝Σ
（ x i2－２・ x i・ x ＋ x 2）
＝Σ x i2－２・Σ x i・ x ＋Σ x 2
（
）（
Σx i
Σx i
＝Σ x i2－２・Σ x i・ ―
― ＋ｎ・ ―
―
ｎ
ｎ
）
2
2
（Σx i）（Σx i）
（Σx i）
―＋―
― ＝Σ x i2－ ――
＝Σ x i2－２・ ―
ｎ
ｎ
ｎ
2
2
［例］
｛１，
２，
３，
４，
５｝
の平方和は、
（１＋２＋３＋４＋５）×（１＋２＋３＋４＋５）
―
―
―
Ｓ＝
（１＋４＋９＋16＋25）
－―
5
15×15
＝55－―＝55－45＝10
5
右のような計算補助表を作成すると平
方和の計算がミスなく簡単にできます。
表１．
２　計算補助表
表内の、赤色の数字だけで、
15×15
Ｓ＝55－―＝10
5
と求めることができます。
データ数
x
x
2
４
合計
５
15
１
２
３
１
４
９ 16 25 55
21
基本統計量
一組の測定値の中の最大値と最小値との差を「範囲」といい、Ｒで表します。
52－20
①工程能力指数Ｃp＝―＝1.78
６×３
②偏りの考慮した工程能力指数Ｃpkは、それぞれの片側規格である
上限－平均
平均－下限
いずれか小さい値をとるので、
―、― で求めたとき、
３×標準偏差
３×標準偏差
52－50
―＝0.22※
３×３
50－20
―＝3.33※　より、
３×３
Ｃpｋ＝0.22
※正確には（52−50）÷９＝0.222…、
（50−20）÷９＝3.333…となるが、
ＱＣ検定試験では答えに端数が出る
場合は概数処理でかまわない（以下
同）
。詳しくは74ページを参照。
（３）工程能力指数の判断基準
工程能力指数の判断基準は下記の通りです。
表１．
３　工程能力指数の判断基準
Cp≧1.67
十分すぎる
1.67＞Cp≧1.33 十分満足している
1.33＞Cp≧1.0
まずまずである。十分な状態に改善する
1.0＞Cp≧0.67
不足しているので、1.33となるよう改善処置をとる
Cp＜0.67
非常に不足している。原因を究明し、是正処置をとる
では、なぜＣp＝1.33になるとよいのでしょうか。
一般的に、Ｎ
（μ，σ2）
において、μ±ａσの範囲に入る確率は次の通りであ
ることが知られています（ここでＮは、平均値＝μ、分散＝σ2の正規分布を表
しており、詳しくは第２章の
「確率分布」
で学習します）。
ａ＝１のときは　μ±σ≒68％
ａ＝２のときは　μ±２σ≒95％
ａ＝３のときは　μ±３σ≒99.7％　です。
これを図示したものが、次の図１．
７です。
24
３章
工程
（母集団）
からランダムに５個を抜き取ったところ，その測定結果
測定データ
（単位：㎜）
８，
５，
５，
７，
６
このとき，次の設問の①～④に入る最も適切な語句を下の選択肢からそれぞれ
ひとつずつ選べ
（ｔ表を使用すること）
。
^＝
（１）
母平均の点推定を求めよ。
μ
①
（２）
母平均の信頼度95％の信頼区間を求めよ。
下限：
①
－
②
√③
×―　上限：
√④
①
＋
②
√③
×―
√④
【選択肢】
ア．
1.7　イ．
2.571　ウ．
2.776　エ．5.0　オ．6.2
正解　①オ　②ウ　③ア　④エ
工程
（母集団）
からランダムに５個を抜き取ったところ，その測定結果
［問６］
は下記の通りである
（母分散は未知とする）。
測定データ
（単位：㎜）
８，
５，
５，
７，
６
このとき，次の設問の①～⑥に入る最も適切な語句を下の選択肢からそれぞれ
ひとつずつ選べ
（Χ2表を使用すること）
。
①
^2＝―＝
（１）
母分散の点推定を求めよ。
σ
②
③
【選択肢】
ア．Ｓ
（平方和）
イ．μ
（母平均）
ウ．ｎ
（データ数）
2
エ．φ
（自由度）
オ．σ（母分散）
カ．
1.7　キ．1.36
（２）
母分散の信頼度95％の信頼区間を求めよ。
④
④
⑤
⑥
下限：―　上限：―
【選択肢】
ア．6.8　イ．7.2　ウ．
0.484　エ．
11.14　オ．14.05
正解　①ア　②エ　③カ　④ア　⑤エ　⑥ウ
65
検定・推定
［問５］
は下記の通りである
（母分散は未知とする）。
（２）
母分散は未知なので，
√1.7
母平均μの上限＝6.2＋ｔ
（４，
0.05）
×―
√5.0
√1.7
母平均μの下限＝6.2－ｔ
（４，
0.05）
×―
√5.0
ここでｔ表より，ｔ
（４，
0.05）
＝2.776
よって，答えは②＝ウ，③＝ア，④＝エ
（Σx）2
ちなみに，平方和Ｓ＝Σ x 2－―なので，Ｓ＝6.8
ｎ
Ｓ
不偏分散Ｖ＝―なので，Ｖ＝1.7
ｎ−１
母平均μの上限＝6.2＋2.776×0.583＝7.82
母平均μの下限＝6.2－2.776×0.583＝4.58
【問６】
Ｓ
6.8
^ 2 ＝―
^ 2＝―
（１）
σ
なので，σ
＝1.7　より，
φ
４
答えは①＝ア，②＝エ，③＝カ
（２）
母分散σ2の信頼度１－αの信頼区間は，
Ｓ
―
上限＝―
α
Χ2 φ，
１－―
２
Ｓ
―
下限＝―
α
2
Χ φ，
―
２
（
（
）
）
2
Χ2表より，Ｘ（４，
0.975）
＝0.484
2
Ｘ（４，
0.025）
＝11.14
6.8
上限＝―＝14.050
0.484
6.8 ＝0.610
下限＝―
11.14
答えは④＝ア，⑤＝エ，⑥＝ウ
68
７章
（５）ｐ管理図の作り方
の中の不良個数ｐｎを調査します。各群の不良率ｐを計算します。そ
の公式は次の通りです。
pn
ｐ＝ ――
n
pn：サンプル中の不良個数　ｎ：１群のサンプルサイズ
手順２　中心線
（ＣＬ）
の計算をします。その公式は次の通りです。
Σpn
ｐ＝―
Σｎ
Σpn：不良個数の総和　Σn：検査個数の総和
手順３　管理限界線の計算をします。その公式は次の通りです。
√
p（１−p）
上方管理限界線　ＵＣＬ＝ｐ＋３ ―
ｎ
√
p（１−p）
下方管理限界線　ＬＣＬ＝ｐ−３ ―
ｎ
手順４　管理図用紙への記入と安定状態の確認を行います。
（６）ｃ管理図の作り方
手順１　データを採取します。ｃ管理図では、大きさ一定のサンプルを約20
群とり、各群の中での欠点数ｃを調査します。
手順２　中心線
（ＣＬ）
の計算をします。その公式は次の通りです。
Σｃ
ｃ＝―
ｋ
ｃ：工程平均欠点数　Σc：欠点数の総和　ｋ：群の数
手順３　管理限界線の計算をします。その公式は次の通りです。
上方管理限界線　ＵＣＬ＝ｃ＋３√ c
下方管理限界線　ＬＣＬ＝ｃ－３√ c
手順４　管理図用紙への記入と安定状態の確認を行います。
153
管理図
手順１　データを採取します。ｐ管理図では、サンプルを約20群とり、各群

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