複素関数論演習問題解答

複素関数論演習問題解答
木村泰紀∗
2014 年 4 月 25 日出題
問題 1. 次の式で定義される複素関数 f に対し, z = x + iy とするときに 2 変数の実関数 u と v を用いて,
f (z) = u(x, y) + iv(x, y) が成り立つとする. このときの u および v を求めよ.
(i) f (z) = 3z + eiπ/4 ,
(iii) f (z) = (z + 1)2 ,
(ii) f (z) = z + 2z,
解答 (i) eiπ/4 = cos π/4 + i sin π/4 =
√
2/2 +
√
(iv) f (z) =
1
.
z
2i/2 より
(
√
√
√ )
2
2i
2
2i
f (z) = 3(x + yi) +
+
= 3x +
+ i 3y +
.
2
2
2
2
√
よって u(x, y) = 3x +
√
2/2, v(x, y) = 3y +
√
2/2.
(ii) z = x + iy のとき z = x − iy であるから
f (z) = (x + iy) + 2(x − iy) = 3x − iy.
よって u(x, y) = 3x, v(x, y) = −y.
(iii) 展開して
f (z) = (z + 1)2 = (x + yi + 1)2
= x2 + i2 y 2 + 12 + 2ixy + 2yi + 2x
= x2 + 2x − y 2 + 1 + i(2xy + 2y).
よって u(x, y) = x2 + 2x − y 2 + 1, v(x, y) = 2xy + 2y.
(iv) 分母の実数化をすると
f (z) =
1
x − yi
x − yi
x
−y
=
= 2
= 2
+i 2
.
2
2
x + yi
(x + yi)(x − yi)
x +y
x +y
x + y2
よって u(x, y) = x/(x2 + y 2 ), v(x, y) = −y/(x2 + y 2 ).
問題 2. 複素関数 f が
f (z) =
z2
1
+1
で定義されるとき, z0 ∈ C に対して limz→z0 f (z) を求めよ.
∗
東邦大学理学部情報科学科. http://www.lab2.toho-u.ac.jp/sci/is/kimura/yasunori/
1
解答極表示を用いて z − z0 = reiθ とすると, z = reiθ + z0 より
f (z) =
1
1
1
=
= 2 2iθ
.
z2 + 1
(reiθ + z0 )2 + 1
r e + 2reiθ z0 + z02 + 1
ここで |z − z0 | = r → 0 とすると, |eiθ | = 1 より θ の値に関わらず |reiθ | = r|eiθ | = r → 0 となるので
reiθ → 0 が成り立つ. このとき r2 e2iθ = (reiθ )2 → 0 となるので r2 e2iθ + 2reiθ z0 → 0 となる. したがって分
母は z02 + 1 に収束するが, 因数分解すると
z02 + 1 = z02 − i2 = (z0 + i)(z0 − i)
となるので, z0 = ±i のときは z02 + 1 = 0 である. よって



lim f (z) =
z→z0


z02
1
+1
存在しない
2
(z0 6= ±i),
(z0 = ±i).

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