集合論演習問題その1 1 集合の基礎

集合論演習問題その1
1 集合の基礎
1. 次の集合の要素を挙げよ:
(a) {x ∈ N | x2 ≤ 10}
(b) {x ∈ N | x2 − 8x + 1 < 0}
(c) {x ∈ R | x4 − 2x3 − x + 2 = 0}
(d) {x ∈ C | x4 − 2x3 − x + 2 = 0}
(e) {x ∈ R | i(x − 2i)4 ∈ R}
(f) {x ∈ N | ∃y ∈ Q s.t. x2 − y 2 = 1}
2. 次の論理式の等式を真理表を用いて示せ:
(a) P ∧ (Q ∨ R) ≡ (P ∧ Q) ∨ (P ∧ R)
(b) P ∨ (Q ∧ R) ≡ (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R)
3. 次の集合の等式を示せ:
(a) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
(b) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
(c) A = (A ∩ B) ∪ (A \ B)
(d) (A ∪ B) \ (A ∩ B) = (A \ B) ∪ (B \ A)
4. 次を示せ:
(a) A ⊂ C かつ B ⊂ C =⇒ A ∪ B ⊂ C
(b) D ⊂ A かつ D ⊂ B =⇒ D ⊂ A ∩ B
5. 空集合 ∅ は, 任意の集合の部分集合であることを説明せよ。
1
6. 集合 X の部分集合 A と B に対し次を示せ:
A ⊂ B =⇒ B c ⊂ Ac
7. 集合族 {Aλ }λ∈Λ に対し, 次の集合の等式を示せ:
(a)
(
∪
)
∩B =
Aλ
λ∈Λ
(b)
(
∩
∪
(Aλ ∩ B)
λ∈Λ
)
∪B =
Aλ
λ∈Λ
∩
(Aλ ∪ B)
λ∈Λ
8. 自然数 n に対し, An = {x ∈ R | − n1 ≤ x ≤ n1 } とおく。このとき, この集
合族の共通部分
∩
An
n∈N
を求めよ。
9. 次の集合の等式を示せ:
(a) (A ∩ B) × C = (A × C) ∩ (B × C)
(b) (A ∪ B) × C = (A × C) ∪ (B × C)
(c) (X × Y ) \ (A × B) = ((X \ A) × Y ) ∪ (X × (Y \ B))
2 写像の基礎
1. 次の写像の像を求め, 全射か単射か, あるいは全単射か判定せよ。
(a) f : R → R, f (x) = e2x−3
(b) f : R → R, f (x) = x2 + 3
2
(c) f : R \ {a} → R \ {c}, f (x) =
1
x−a
+c
2. 写像
f : A −→ B
g : B −→ C
の合成について次を示せ:
(a) f , g : 単射 =⇒ g ◦ f : 単射
(b) f , g : 全射 =⇒ g ◦ f : 全射
(c) g ◦ f : 全射 =⇒ g : 全射
(d) g ◦ f : 単射 =⇒ f : 単射
3. 写像 f : X → Y に対し, 次を示せ:
(a) f (A ∪ B) = f (A) ∪ f (B)
(b) f (A ∩ B) ⊂ f (A) ∩ f (B)
(c) f −1 (A ∪ B) = f −1 (A) ∪ f −1 (B)
(d) f −1 (A ∩ B) = f −1 (A) ∩ f −1 (B)
(e) f (f −1 (A)) = A ∩ f (X)
(f) f −1 (f (B)) ⊃ B
(g) f が全射ならば f (Ac ) ⊃ (f (A))c
(h) f が単射ならば f (Ac ) ⊂ (f (A))c
(i) f −1 (B c ) = (f −1 (B))
c
(j) f (A) \ f (B) ⊂ f (A \ B)
(k) f −1 (C) \ f −1 (D) = f −1 (C \ D)
(l) C ⊂ D =⇒ f −1 (C) ⊂ f −1 (D)
3
4. 写像 f : X → Y , X の部分集合族 {Aλ }λ∈Λ , Y の部分集合族 {Bµ }µ∈M に
対し次を示せ:
(a)
(
f
∪
)
Aλ
=
λ∈Λ
(b)
(
f
∩
(
)
⊂
Aλ
f −1
Bµ
=
µ∈M
(d)
(
f −1
f (Aλ )
∪
f −1 (Bµ )
µ∈M
)
∩
∩
λ∈Λ
)
∪
f (Aλ )
λ∈Λ
λ∈Λ
(c)
∪
Bµ
µ∈M
=
∩
µ∈M
5. 次のような写像 f と集合 A, B の例を挙げよ:
(a) f (A ∩ B) ̸= f (A) ∩ f (B)
(b) f (f −1 )(A) ̸= A
(c) f −1 (f (B)) ̸= B
(d) f (A) \ f (B) ̸= f (A \ B)
4
f −1 (Bµ )

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