第11回復習

第 11 回復習 3
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名前
問 1. X の部分集合族 {Aλ }λ∈Λ と B ⊂ X に対して以下を示せ．
(∪
)
∪
(1)
λ∈Λ Aλ ∪ B =
λ∈Λ (Aλ ∪ B)
(
x∈
∪
)
∪B ⇔x∈
Aλ
∪
Aλ ∨ x ∈ B
λ∈Λ
λ∈Λ
⇔ ∃λ ∈ Λ[x ∈ Aλ ] ∨ x ∈ B
⇔ ∃λ ∈ Λ[x ∈ Aλ ∨ x ∈ B]
⇔ ∃λ ∈ Λ[x ∈ Aλ ∪ B]
∪
⇔x∈
(Aλ ∪ B)
λ∈Λ
(2)
(∩
λ∈Λ
)
∩
Aλ ∪ B = λ∈Λ (Aλ ∪ B)
(
x∈
∩
)
Aλ
∪B ⇔x∈
∩
Aλ ∨ x ∈ B
λ∈Λ
λ∈Λ
⇔ ∀λ ∈ Λ[x ∈ Aλ ] ∨ x ∈ B
⇔ ∀λ ∈ Λ[x ∈ Aλ ∨ x ∈ B]
⇔ ∀λ ∈ Λ[x ∈ Aλ ∪ B]
∩
(Aλ ∪ B)
⇔x∈
λ∈Λ
(3) B \
∪
λ∈Λ
Aλ =
∩
λ∈Λ (B
\ Aλ )
x∈B\
∪
Aλ ⇔ x ∈ B ∧ x ̸∈
λ∈Λ
∪
Aλ
λ∈Λ
⇔ x ∈ B ∧ ∀λ ∈ Λ[x ̸∈ Aλ ]
⇔ ∀λ ∈ Λ[x ∈ B ∧ x ̸∈ Aλ ]
⇔ ∀λ ∈ Λ[x ∈ B \ Aλ ]
∩
(B \ Aλ )
⇔x∈
λ∈Λ
問 2. n ∈ N に対して An := {1, . . . , n} ⊂ N とするとき
(⊂) ∀m ∈
となる．
∪
n∈N
∪
n∈N
An = N を示せ．
An とするとある n ∈ N が存在して m ∈ An であるが An ⊂ N であるから m ∈ N
(⊃) ∀m ∈ N に対して Am を考えると、定義から m ∈ Am であるので m ∈
∪
n∈N
An である．
問 3. Z × Z を添字集合とする R × R の部分集合族 A を
A(m, n) = A(m,n) := [m, m + 1] × [n, n + 1]
とする．
(1) A(1,2) を図示せよ．
A(1,2) = [1, 2] × [2,
) 3] であるので図は以下のようになる．
∪2 (∪1
(2) k=0
j=−2 A(j,k) を求め図示せよ．
)
∪2 (∪1
A(j,k) = [−2, 2] × [0, 3] であるので図は以下のようになる．
k=0
(∪ j=−2 )
∪
(3) k∈N
j∈N A(j,k) を求め図示せよ．
∪
k∈N
(∪
)
A
j∈N (j,k) = [1, ∞) × [1∞) であるので図は以下のようになる．

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