s

速応性と定常特性�
•  フィードバック制御系に求められるもの
–  安定性
•  その次に求められるものは
–  過渡特性
–  定常特性
•  安定性が保証された制御システムが満
たすべき要件としての過渡特性と定常
特性を理解する
1
過渡特性�
•  速応性：制御対象の出力と目標値との
間の偏差を速やかに減らすこと
•  減衰性：行き過ぎ量が発生した場合には
これを少なくし、速やかに最終値に近づ
くようにすること
2
定常特性�
•  定常偏差：定常状態（t →�∞）において
制御対象の出力と目標値との間の偏差。
�オフセットともいう。
3
フィードバックシステムの
ステップ応答�
R(s)
E(s)
G(s)
+
−
C(s)
閉ループ伝達関数�
G(s)
Go =
1 + G(s)
直結フィードバック系�
1
C(s) = Go (s) · =
s
(s
n
c
Ai
= +
s i=1 s si
A(s)
s1 )(s s2 ) · · · (s
1
·
sn ) s
逆ラプラス変換�
4
フィードバックシステムの
ステップ応答�
R(s)
E(s)
+
−
閉ループ伝達関数�
G(s)
Go =
1 + G(s)
C(s)
G(s)
直結フィードバック系�
ステップ応答�
n
Ai esi t
c(t) = c +
i=1
定常ゲイン�
t
で
0 に近づく
si =
i
+j
i
•  安定なのでαは負�
•  αの絶対値が大きい項は速や
かに減衰するため、小さい項の
影響が大きい（代表特性根）�
次数の高いシステムでも低次の制御系で近似できる�
5
時間領域における過渡特性�
特性値�
遅れ時間�
定義�
ステップ応答が定常値の50%に達するま
Td� でに要する時間�
速応性の指標�
立ち上がり
時間�
T r�
行き過ぎ量�
ステップ応答が定常値を超えた最大値．
Os� 通常、定常値に対する割合(%)で表す�
減衰性の指標�
ステップ応答が定常値の±5%の範囲に
落ち着くまでの時間�
速応性、�
減衰性の指標�
整定時間�
T s�
ステップ応答が定常値の10%から90%
に達するまでに要する時間�
Osが大きければ（減衰性が悪い）
Td 、 Trが小さくなる（速応性が良い）�
6
時間領域における過渡特性�
過渡特性�
Os : Os :行き過ぎ量�
定常特性�
±5%
c�
0.9c�
lim e(t) : 定常偏差�
t→∞
Td : 遅れ時間�
0.5c�
Ts :整定時間�
0.1c�
0�
Tr :立上がり時間�
ステップ応答�
t�
7
時間領域における定常特性�
•  十分に時間が経ったときの目標値r(t)と
制御量c(t)の差
lim e(t) = lim {r(t)
t
t
c(t)}
•  s領域で考えるには最終値定理を使う�
lim e(t) = lim sE(s) = lim s {R(s)
t
s
0
s
0
C(s)}
8
s領域での速応性�
•  速応性と関係する遅れ時間、立ち上がり
時間と周波数特性との関係を調べる
–  制御系設計の際に、s領域でこれらの時間を
考慮して設計できる
•  閉ループ伝達関数�Go(jω)が遮断周波数
ωbの理想低域フィルタで表せるとする
1
= 0.707 =
b はゲインが
2
3dB になる角周波数
9
周波数領域における過渡特性�
フィードバック制御系の
|G(j )|
閉ループ周波数特性 Go (j )
1�
1
2
は低域通過特性をもつ
理想低域通過フィルタの�
周波数特性�
e j 0 0
Go (j ) =
0
>
ただし，
b:
0
=
理想低域通過フィルタ�
0�
Go (j )
b
b
p
c
b
b
0�
b
b
b
フィルタの帯域幅
理想低域通過フィルタのステップ応答を求める�
10
理想低域フィルタのステップ応答�
c(t)
=L
1
1
1
1
Go (s) ·
= + Si {
s
2
x
Si {x} =
sin
x
d =
2
1
0
0
b (t
3!
0 )}
4
+
5!
···
d
積分正弦関数�
1
Si {0} = 0 より c( 0 ) = なので、
2
b
遅れ時間は Td = 0 =
b
11
理想低域フィルタのステップ応答�
t=τ0におけるc(t)の接線がc(t) = 0、 c(t) = 1
と交わる点を求める
積分正弦関数の級数の第1項だけを取る
1
1
Si {x} = x なので c(t) = +
) より
b (t
2
c( 0
) = 0, c( 0 +
)=1
2 b
2 b
c(t)が0から1になる時間を立ち上がり時間の近似値とする�
Tr =
b
帯域幅が広ければ
速応性が向上�
12
例題 7.1�
閉ループ伝達関数が
1
Go = 2
s + 0.8s + 1
である制御系のゲイ
ン特性と位相特性を利
用して、ステップ応答の
遅れ時間 Td と立ち上
がり時間 Tr の概略値
を求めよ．�
13
例題 7.1：ボード線図から�
1
2
b
=
129
=
2.25[rad]
Td =
b
b
b
2.25
=
= 1.6[sec]
1.4
= 1.4[rad/sec]
Tr =
= 2.2[sec]
b
14
例題 7.1：ステップ応答�
Step Response
1.4
行き過ぎ量
1.2
Amplitude
0.9�
0.5�
Os = 25%
1
5%
0.8
0.6
0.4
遅れ時間�
0.2
行き過ぎ時間
整定時間
Tp
Ts = 7.61[s]
3.43[s]
0.1�
0
0
5
10
15
Time (seconds)
立ち上がり時間�
15
例題7.1 ステップ応答（拡大）�
Td
1.28
Tr
1.464
2次系なので逆ラプラス変換によりス
テップ応答は計算可能だが、高次のシ
ステムでは困難。まず、おおまかな性能
を捉えることが大事．�
16
開ループ伝達関数による
閉ループ伝達関数の過渡応答の推定�
•  ナイキスト線図で開ループ伝達関数から
閉ループ伝達関数の安定性を議論できた
•  開ループ伝達関数から閉ループ伝達関
数の過渡特性を推定できると好都合�
17
ナイキスト線図�
•  閉ループ伝達関数を以下のように表す
G(j )
Go (j ) =
=M
1 + G(j )
u + jv と表すと
•  開ループ伝達関数を
�
u2 + v 2
M=
(1 + u)2 + v 2
v
1 v
1
= tan
tan
= tan
u
1+u
tan
1
A
tan
1
B = tan
1
1
v
u2 + u + v 2
A B
1 + AB
18
ナイキスト線図�
•  ゲインMの式を変形
u
M2
1 M2
2
+ v2 =
M
1 M2
2
•  位相の式を変形（両辺のtanを取り、tan φ = N）
v
tan = N = 2
u + u + v2
v
2
2
u +v +u
N
2
2
1
1
1
u+
+ v
=
2
2N
4
N2 + 1
N2
–  �M、Nが一定なら両方とも円の方程式
19
ナイキスト線図の場合�
M、 Nが一定の円（M軌跡、 N軌跡）を描い
ておいて、開ループ伝達関数を描く
⇒�交わる点で、閉ループ伝達関数の特性が�
わかる
M軌跡の例�
G(j ) =
1
j (j + 1)
20
ニコルス線図�
•  ゲイン位相線図
–  横軸に位相、縦軸にゲインをとり、ボード線図
を1つにまとめたもの
•  ニコルス線図
–  ゲイン位相線図上に、等ゲイン曲線と等位相
曲線を等高線のように書き加えたもの
–  開ループのゲイン位相特性をニコルス線図上
に描き、各周波数に対する点を等ゲイン曲線
と等位相曲線の座標点として読み取れば、閉
ループのゲイン、位相特性が得られる�
21
ニコルス線図（例題7.2）�
+
−
1
s(s + 0.8)
等位相曲線
（N軌跡）
等ゲイン曲線
（M軌跡）
開ループのゲイ
ン位相特性
（周波数特性）
位相
22
例題7.2�
+
−
1
s(s + 0.8)
•  ニコルス線図を用いて上の閉ループ制
御系のステップ応答の遅れ時間Td と立
ち上がり時間 Tr を求めよ。
23
ニコルス線図（例題7.2）�
1.  ωを変化させてM=−3dB
と交わる点を探す
閉ループ伝達関数ωb = 1.4
2.  そのときの位相を求める
φb =130° =2.27rad
3.  関係式から遅れ時間、
立ち上がり時間を求める
Td =
Tr =
b
b
2.27
=
= 1.62
1.4
= 2.24
b
24
定常偏差�
外乱� D(s)
目標値�
R(s)
+−
G1 (s)
+
+
制御量�
G2 (s)
C(s)
H (s)
定常偏差� tlim {r(t)
c(t)} = lim s {R(s)
s
0
C(s)}
定常状態における目標値と出力の誤差�
目標値の変化や外乱によって出力が変化するために生じる�
目標値や外乱として、単位ステップ入力（定常位置偏差）、
単位ランプ入力（定常速度偏差）、加速度入力（定常加速度
25
偏差）を用いて評価する�
目標値の変化に対する
定常偏差�
•  外乱D(s) = 0、H(s) = 1である場合
偏差は
E(s) = R(s)
C(s) = R(s)
G(s)
R(s)
=
1 + G(s)
1 + G(s)
•  従って定常偏差は
R(s)
lim e(t) = lim sE(s) = lim s
t
s 0
s 0 1 + G(s)
R(s)
+
−
G(s)
C(s)
26
開ループ伝達関数の分類�
•  開ループ伝達関数の一般形
G(s) =
K 1 + sT1
1 + sT2 · · · 1 + sTm
sj (1 + sT1 ) (1 + sT2 ) · · · (1 + sTn )
s→0のとき(1+sT) →�1
•  s=0におけるG(s)の極の次数によって分類
…�
…�
•  j=0の場合 0形の制御系
•  j=1の場合 1形の制御系
•  j=2の場合 2形の制御系
27
定常位置偏差�
目標値が単位ステップ入力のときの定常偏差εp
1
1
1
= lim s
· = lim
p
型�
s
0
1 + G(s) s
j
εp
0
0
1
1+K
1
1
0
2
2
0
s
0
1+
K
sj
K→大で、定常偏差は小さくなる�
ただし、安定性は損なわれる�
28
定常速度偏差�
目標値が単位ランプ入力のときの定常偏差εv
1
1
1
· 2 = lim
v = lim s
s 0 1 + G(s) s
s 0 s + jK 1
s
型
j
εv
0
0
∞�
発散し、使えない�
1
1
1
K
K→大で、定常偏差は小さくなる�
ただし、安定性は損なわれる�
2
2
0
29
定常加速度偏差�
目標値が加速度入力(t2/2)のときの定常偏差εa
a
1
1
1
= lim s
· 3 = lim 2
s 0 1 + G(s) s
s 0 s + jK 2
s
型�
j
εa
0
0
∞�
発散し、使えない�
1
1
∞�
発散し、使えない�
2
1
K
K→大で、定常偏差は小さくなる�
ただし、安定性は損なわれる�
2
30
定常偏差のまとめ�
1.  開ループ伝達関数G(s)の積分の次数が大き
いほど定常偏差は小さくなる．
– 
積分の次数が大きくなれば、位相が遅れて安定
度が悪くなる
2.  定常偏差は目標値入力の形に依存．ステップ
入力よりランプ入力、ランプ入力より加速度
入力の方が定常偏差は大きい
3.  開ループ伝達関数のゲイン定数Kが大きいほ
ど定常偏差は小さい
⇔�ゲイン定数Kを大きくすれば安定度が悪くなる�
31
例題7.3�
次のフィードバック制御系が安定で、定常
位置偏差が0.1以下となるようにゲイン定数
Kを定めよ�
+
−
K
(s + 1)(s + 2)(s + 3)
閉ループ伝達関数
G(s)
K
Go (s) =
= 3
1 + G(s)
s + 6s2 + 11s + 6 + K
32
例題7.3�
•  特性方程式
s3 + 6s2 + 11s + 6 + K = 0
•  フルビッツの安定判別法で、安定なKを
求める
D=
a1
a3
a0
a2
= 66
(6 + K) > 0
�
•  安定なKの範囲はK< 60
33
例題7.3�
定常位置偏差εpを0.1以下にする条件は
p
1
1
1
= lim s
· =
s 0 1 + G(s) s
1+ K
6
より K
0.1
54
したがって K の範囲は 54
K < 60
34
K=56のときのステップ応答�
35
K=56のときのボード線図�
36
K=56のときのナイキスト線図�
37
外乱に対する定常偏差�
外乱� D(s)
目標値�
R(s) E(s)
+−
G1 (s)
+
+
目標値による偏差�
制御量�
G2 (s)
C(s)
外乱による偏差�
1
G2 (s)
E(s) =
R(s)
D(s)
1 + G1 (s)G2 (s)
1 + G1 (s)G2 (s)
G2 (s)
D(s)
d = lim s
s 0 1 + G1 (s)G2 (s)
目標値の場合と同様に、外乱の種類とG(s)に依存する�
38
外乱の加わる位置と定常偏差�
目標値�
R(s) E(s)
+−
D1 (s) 外乱� D2 (s)
K1 + +
1+ sT1
A
1 ++
B
s
制御量�
K2
1+ sT2
C(s)
外乱が加わる位置によって制御系の型が異
なり、定常偏差に影響を与える．
a)  外乱がA点に加わる場合、つまりD2(s) = 0
b)  外乱がB点に加わる場合、つまりD1(s) = 0
39
a) 外乱がA点に加わる場合の
定常偏差�
目標値�
G1(s)�
R(s) E(s)
+−
D1 (s) 外乱�
K1 + +
1+ sT1
A
G2(s)�
K2
1+ sT2
1
s
制御量�
C(s)
① 外乱に対する偏差 E(s) を求めよ．
E(s) =
=
G2 (s)
D(s) =
1 + G1 (s)G2 (s)
K2
s(1 + sT2 )
D(s)
K1 K2
1+
s(1 + sT1 )(1 + sT2 )
1
D(s)
s(1 + sT2 )
K1
+
K2
1 + sT1
40
a) 外乱がA点に加わる場合の
定常偏差�
G1(s)�
目標値�
D1 (s) 外乱�
K1 + +
1+ sT1
A
R(s) E(s)
+−
1
s
G2(s)�
K2
1+ sT2
制御量�
C(s)
②  外乱を単位ステップ入力としたときの定
常偏差を求めよ．�
d
= lim sE(s) =
s
=
0
1
K1
1
1
lim s ·
·
s 0
s(1 + sT2 )
K1
s
+
K2
1 + sT1
41
b) 外乱がB点に加わる場合の
定常偏差�
目標値�
R(s) E(s)
+−
外乱� D2 (s)
G1(s)�
K1
1+ sT1
1 ++
B
s
G2(s)�
K2
1+ sT2
制御量�
C(s)
① 外乱に対する偏差 E(s) を求めよ．
E(s) =
=
G2 (s)
D(s) =
1 + G1 (s)G2 (s)
1
1 + sT2
K1
+
K2
s(1 + sT1 )
K2
1 + sT2
D(s)
K1 K2
1+
s(1 + sT1 )(1 + sT2 )
D(s)
42
b) 外乱がB点に加わる場合の
定常偏差�
外乱� D2 (s)
G1(s)�
目標値�
R(s) E(s)
1 ++
B
s
K1
1+ sT1
+−
G2(s)�
K2
1+ sT2
制御量�
C(s)
②  外乱を単位ステップ入力としたときの定
常偏差を求めよ．�
d
= lim sE(s) =
s
=0
0
lim s ·
s
0
1
1 + sT2
K1
+
K2
s(1 + sT1 )
1
·
s
43
例題 7.4�
下図の制御系が安定で、かつ単位ステッ
プ関数の外乱に対するシステムの定常偏差
が 0.1以下であるためにはK の値をどのよ
うに選べばよいか．�
目標値�
R(s) E(s)
+−
D(s) 外乱�
+
K
+
1+ sT1
1
s (1+ sT2 )
制御量�
C(s)
44
例題 7.4：解答例�
まず閉ループ制御系が安定となる K の範
囲を定める．
閉ループ伝達関数は
K
1
·
1 + sT1 s(1 + sT2 )
Go (s) =
K
1
1+
·
1 + sT1 s(1 + sT2 )
K
=
T1 T2 s3 + (T1 + T2 )s2 + s + K
より特性方程式は
T1 T2 s3 + (T1 + T2 )s2 + s + K = 0
��
45
例題 7.4：解答例�
フルビッツの安定判別法を用いて安定となる
K の範囲を定める．
a1 a3
T1 + T 2 K
D=
=
= (T1 + T2 ) KT1 T2 > 0
a
a
T
T
1
0
2
1 2
より�
T1 + T2
K<
T1 T2
46
単位ステップ関数の外乱に対する定常偏差は、
1
G2 (s)
s(1 + sT2 )
D(s) = lim
d = lim s
K
s 0
s 0 1 + G1 (s)G2 (s)
1+
s(1 + sT1 )(1 + sT2 )
1
1
= lim
=
K
s 0 s(1 + sT ) + K
2
1 + sT1
1
0.1 より K 10
よって | d | =
K
T1 + T2
以上より� 10 K <
T1 T2
47
K=15、 T1=0.05、 T2=0.2のとき
(ステップ応答、外乱なし)�
48
K=15、 T1=0.05、 T2=0.2のとき
(ステップ応答、外乱なし)�
1.067�
49
K=15、 T1=0.05、 T2=0.2のとき
ナイキストの安定判別�
50
K=10、 T1=0.05、 T2=0.2のとき
(ステップ応答、外乱なし)�
51
K=10、 T1=0.05、 T2=0.2のとき
(ステップ応答、外乱なし)�
1.10
52

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