数学Ⅲ「放物線の長さ

数学Ⅲ
積分
放物線の長さ
曲線の長さ
数学Ⅲの教科書で曲線の長さを求める例題に、サイクロイドやアステロイド（星芒形）、
カテナリー（懸垂線＝均一な紐状のものの両端を固定してぶら下げてできる曲線）などが
あります。これらは計算が比較的容易なので例題としてよく使われますが、意外に難しい
のが放物線の長さです。いくつか求める方法がありますので紹介します。
＜例題＞曲線 y = x
2
の 0≦ x ≦1 の部分の長さ l を求めよ。
曲線の長さの公式より、次の式になるがこの計算が意外に複雑である。
l＝∫
＝
b
a
∫
1
0
1 + { f ' ( x)} dx
2
1 + 4 x 2 dx
＜方法１＞
参考書でも紹介されている方法で、 t = 2 x + 1 + 4 x 2 とおく。
l＝∫
＝
2+ 5
1
1 + 4x ⋅
2
(
1 + 4x 2
2 2x + 1 + 4x 2
) dt
1 2+ 5 t 4 + 2t 2 + 1
dt
8 ∫1
t3
＝…
（参考：数研出版「チャート式数学Ⅲ」）
＜方法２A＞
最も素直に思いつく置換で、 2 x = tan θ とおく。
tan −1 2
1
1
dθ
⋅
cosθ 2 cos 2 θ
1 tan −1 2 1
＝ ∫
dθ
2 0
cos 3 θ
さらに sin θ = t とおくと、
2
1
1
＝ ∫ 5
dt
2 0 (1 − t 2 ) 2
l＝∫
0
2
1
 1 
dt
＝ ∫ 5
2 
0
2
1− t 
2
2
1
1 1
1 
＝ ∫ 5 
+
 dt
2 0 4 1− t 1+ t 
2
（ tan
−1
2 は tan θ = 2 を満たす角）
数学Ⅲ
1
＝ ∫
8 0
2
5
 1
2
1

+
+
2
(1 − t )(1 + t ) (1 + t ) 2
 (1 − t )
積分

dt

＝…
（参考：http://www.uja.jp/contents/math/lenparabola.html）
＜方法２B＞
途中から同じような部分分数展開になる方法。このやり方は積分区間に ∞ が出てくるの
で、不定積分を先に計算して後で数値を代入する。
まず x = y とおくと、
2
∫
1 + 4 x 2 dx ＝ ∫
1+ 4y ⋅
dy
2 y
＝
∫
1+
1
dy
4y
4 y = z とおく。
＝
∫
1+
1 dz
⋅
z 4
1
= t とおく。
z
1
4∫
1
＝ ∫
4
1
1 + dz
z
 1
1 + t ⋅  − 2 dt
 t 
1
1+ t
dt
＝− ∫
4
t2
1
u
＝− ∫
du
4 (u − 1)2
1
s
＝− ∫
⋅ 2 sds
4 s2 −1 2
＝
1 + t = u とおく。
u = s 2 とおく。
(
＝−
＝−
)
2
1
2s
ds
∫
2
4 s −1 2
(
)
2
1
4s
ds
∫
8 s2 −1 2
(
)
 1
1
1
1 


 (s + 1)2 + s − 1 − s + 1 + (s − 1)2  ds


1
1
1 
+ log(s − 1) − log(s + 1) −
＝− −
+ C
s − 1
8  s +1
1  2s
s + 1
+ log
＝  2
+ C
8  s −1
s −1
＝−
1
8∫
数学Ⅲ
ここで置換した順を逆にたどっていくと s =
＝
積分
1 + 4x 2
となるので代入すると、
2x
)
(
1
1
x 1 + 4 x 2 + log 2 x + 1 + 4 x 2 + C
2
4
（他の方法も不定積分はこの式になります）
よって、求める放物線の長さ l は、
)
(
1
1
1

l ＝  x 1 + 4 x 2 + log 2 x + 1 + 4 x 2 
4
2
0
＝…
（参考：http://web2.incl.ne.jp/yaoki/ahoub2en.htm）
＜方法３A＞
y = 1 + 4 x 2 のグラフと、 x 軸、 y 軸、直線 x = 1 とで囲まれる面積を考える方法。この
ままでは計算が上の２つの方法のように複雑なので、 y で積分して、長方形の面積から図
の白い部分の面積を引く。双曲線関数に置換する。
l＝ 5 −∫
5
1
1
y 2 − 1dy
2
1 5
y 2 − 1dy
2 ∫1
 e t + e −t 
 とおく。
ここで y = cosh t  =
2


+
log(
2
5
)
1
sinh t ⋅ sinh t dt
l＝ 5 − ∫
2 0
＝ 5−
1 log( 2+
＝ 5− ∫
2 0
5)
1 log( 2+
2 ∫0
5)
＝ 5−

e t − e −t
 sinh t =
2

2
sinh t dt



e 2t − 2 + e −2t
dt
4
＝…
（参考：http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/taiwa2/kensui/node5.html）
＜方法３B＞

はじめから双曲線関数に置換する方法で、 2 x = sinh t  =

l＝∫
log( 2 + 5 )
0
cosh t ⋅
cosh t
dt
2
et − e − t 
 とおく。
2 
数学Ⅲ
＝
1 log( 2+
2 ∫0
5)
積分
cosh 2 t dt
＝…
（参考：http://www.math.meiji.ac.jp/~mk/lecture/kiso3/sekibun.pdf）
＜方法４＞
1
はじめに部分積分をして、
1 + 4x 2
の積分計算に帰着する方法。
1
l ＝ ∫ ( x)′ ⋅ 1 + 4 x 2 dx
0
[
＝ x 1+ 4x
2
]
1
0
−∫
4x2
1
1+ 4x2
0
＝ 5−
1 + 4x 2 − 1
∫ 0 1 + 4 x 2 dx
＝ 5−
∫
dx
1
1
0
＝ 5−l +
1 + 4 x 2 dx + ∫
∫
1
1
0
1 + 4x 2
1
0
1
1 + 4x 2
dx
dx
よって、l を左辺に移項して 2 で割ると次式を得て、あとは上の＜方法１∼３＞のいずれ
かと同様の置換をすれば解ける。
l＝
5 1 1
1
+ ∫
dx
2 2 0 1 + 4x 2
＝…
（参考：http://www.math.meiji.ac.jp/~mk/lecture/kiso3/sekibun.pdf）
●いずれも結果は次の値になるので各自で計算して確認
して下さい。
5 log(2 + 5 )
≒ 1.47894285…
+
2
4

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