数学Ⅲ 積分 放物線の長さ 曲線の長さ 数学Ⅲの教科書で曲線の長さを求める例題に、サイクロイドやアステロイド(星芒形)、 カテナリー(懸垂線=均一な紐状のものの両端を固定してぶら下げてできる曲線)などが あります。これらは計算が比較的容易なので例題としてよく使われますが、意外に難しい のが放物線の長さです。いくつか求める方法がありますので紹介します。 <例題> 曲線 y = x 2 の 0≦ x ≦1 の部分の長さ l を求めよ。 曲線の長さの公式より、次の式になるがこの計算が意外に複雑である。 l=∫ = b a ∫ 1 0 1 + { f ' ( x)} dx 2 1 + 4 x 2 dx <方法1> 参考書でも紹介されている方法で、 t = 2 x + 1 + 4 x 2 とおく。 l=∫ = 2+ 5 1 1 + 4x ⋅ 2 ( 1 + 4x 2 2 2x + 1 + 4x 2 ) dt 1 2+ 5 t 4 + 2t 2 + 1 dt 8 ∫1 t3 =… (参考:数研出版「チャート式数学Ⅲ」) <方法2A> 最も素直に思いつく置換で、 2 x = tan θ とおく。 tan −1 2 1 1 dθ ⋅ cosθ 2 cos 2 θ 1 tan −1 2 1 = ∫ dθ 2 0 cos 3 θ さらに sin θ = t とおくと、 2 1 1 = ∫ 5 dt 2 0 (1 − t 2 ) 2 l=∫ 0 2 1 1 dt = ∫ 5 2 0 2 1− t 2 2 1 1 1 1 = ∫ 5 + dt 2 0 4 1− t 1+ t 2 ( tan −1 2 は tan θ = 2 を満たす角) 数学Ⅲ 1 = ∫ 8 0 2 5 1 2 1 + + 2 (1 − t )(1 + t ) (1 + t ) 2 (1 − t ) 積分 dt =… (参考:http://www.uja.jp/contents/math/lenparabola.html) <方法2B> 途中から同じような部分分数展開になる方法。このやり方は積分区間に ∞ が出てくるの で、不定積分を先に計算して後で数値を代入する。 まず x = y とおくと、 2 ∫ 1 + 4 x 2 dx = ∫ 1+ 4y ⋅ dy 2 y = ∫ 1+ 1 dy 4y 4 y = z とおく。 = ∫ 1+ 1 dz ⋅ z 4 1 = t とおく。 z 1 4∫ 1 = ∫ 4 1 1 + dz z 1 1 + t ⋅ − 2 dt t 1 1+ t dt =− ∫ 4 t2 1 u =− ∫ du 4 (u − 1)2 1 s =− ∫ ⋅ 2 sds 4 s2 −1 2 = 1 + t = u とおく。 u = s 2 とおく。 ( =− =− ) 2 1 2s ds ∫ 2 4 s −1 2 ( ) 2 1 4s ds ∫ 8 s2 −1 2 ( ) 1 1 1 1 (s + 1)2 + s − 1 − s + 1 + (s − 1)2 ds 1 1 1 + log(s − 1) − log(s + 1) − =− − + C s − 1 8 s +1 1 2s s + 1 + log = 2 + C 8 s −1 s −1 =− 1 8∫ 数学Ⅲ ここで置換した順を逆にたどっていくと s = = 積分 1 + 4x 2 となるので代入すると、 2x ) ( 1 1 x 1 + 4 x 2 + log 2 x + 1 + 4 x 2 + C 2 4 (他の方法も不定積分はこの式になります) よって、求める放物線の長さ l は、 ) ( 1 1 1 l = x 1 + 4 x 2 + log 2 x + 1 + 4 x 2 4 2 0 =… (参考:http://web2.incl.ne.jp/yaoki/ahoub2en.htm) <方法3A> y = 1 + 4 x 2 のグラフと、 x 軸、 y 軸、直線 x = 1 とで囲まれる面積を考える方法。この ままでは計算が上の2つの方法のように複雑なので、 y で積分して、長方形の面積から図 の白い部分の面積を引く。双曲線関数に置換する。 l= 5 −∫ 5 1 1 y 2 − 1dy 2 1 5 y 2 − 1dy 2 ∫1 e t + e −t とおく。 ここで y = cosh t = 2 + log( 2 5 ) 1 sinh t ⋅ sinh t dt l= 5 − ∫ 2 0 = 5− 1 log( 2+ = 5− ∫ 2 0 5) 1 log( 2+ 2 ∫0 5) = 5− e t − e −t sinh t = 2 2 sinh t dt e 2t − 2 + e −2t dt 4 =… (参考:http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/taiwa2/kensui/node5.html) <方法3B> はじめから双曲線関数に置換する方法で、 2 x = sinh t = l=∫ log( 2 + 5 ) 0 cosh t ⋅ cosh t dt 2 et − e − t とおく。 2 数学Ⅲ = 1 log( 2+ 2 ∫0 5) 積分 cosh 2 t dt =… (参考:http://www.math.meiji.ac.jp/~mk/lecture/kiso3/sekibun.pdf) <方法4> 1 はじめに部分積分をして、 1 + 4x 2 の積分計算に帰着する方法。 1 l = ∫ ( x)′ ⋅ 1 + 4 x 2 dx 0 [ = x 1+ 4x 2 ] 1 0 −∫ 4x2 1 1+ 4x2 0 = 5− 1 + 4x 2 − 1 ∫ 0 1 + 4 x 2 dx = 5− ∫ dx 1 1 0 = 5−l + 1 + 4 x 2 dx + ∫ ∫ 1 1 0 1 + 4x 2 1 0 1 1 + 4x 2 dx dx よって、l を左辺に移項して 2 で割ると次式を得て、あとは上の<方法1∼3>のいずれ かと同様の置換をすれば解ける。 l= 5 1 1 1 + ∫ dx 2 2 0 1 + 4x 2 =… (参考:http://www.math.meiji.ac.jp/~mk/lecture/kiso3/sekibun.pdf) ●いずれも結果は次の値になるので各自で計算して確認 して下さい。 5 log(2 + 5 ) ≒ 1.47894285… + 2 4
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