N - KEK

変分法による
核物質状態方程式の作成と
天体物理への応用�
早稲田大学理工学術院総合研究所
鷹野正利�
これまでの共同研究者�
�神沢弘明（早大理工D3）
�親松和浩（愛知淑徳大）
�住吉光介（沼津高専）
�山田章一（早大理工）�
ワークショップ
「計算科学による素粒子・原子核・宇宙の融合」
08/12/01-02
夢（目標？）�
格子QCD計算から第1原理的に求められた核力を用いて
変分法により、核物質状態方程式（EOS）を計算し、
超新星爆発等の天体シミュレーションに適用する。
現在進行中の研究�
現実的核力（2体核力AV18と3体核力UIX）を用いて
変分法により、核物質状態方程式（EOS）を計算し、
超新星爆発等の天体シミュレーションに適用する。�
PLAN
1）「AV18+UIX」EOSテーブルの完成
経験・蓄積�
2）「格子QCDによる核力」から再出発（どこまでいけるか？？）�
SN-EOS作成手順�
Shen-EOSの方法を踏襲� NPA637 (1998) 435
I. 一様核物質EOS作成� 2体核力(AV18)＋3体核力(UIX)
クラスター変分法�
I-1. 絶対零度核物質� ・2体力だけのエネルギー
・3体力まで含んだ全エネルギー�
I-2. 有限温度核物質：Schmidt-Pandharipande（SP）の方法�
Shen-EOSの場合：RMF計算によるEOS
II. 非一様核物質EOS作成�
一様核物質エネルギーを用いたThomas-Fermi近似�
II-1. 孤立した原子核の大局的性質�
II-2. 絶対零度β安定物質：中性子星クラスト�
II-3. 絶対零度、有限温度に拡張�
III. 核物質EOSテーブル作成�
現在
この辺り�
I. 一様核物質EOS計算�
非相対論的核物質Hamiltonian H = H2 + H3
N
2
2
H2 = –∑ h ∇ i
i=1 2m
N
N
+ ∑ Vij ,
∑
H3 =
i<j
Vijk
i<j<k
・2体力:V14型（AV18 pot., Isoscalar part)
1
Vij =
1
∑ ∑
t=0 s=0
VCts(r ij) + VTt(r ij)STij + VSOt(r ij) s ⋅ L ij
central
+VqLts(r ij) L ij
quadratic L
2
tensor
+VqSOt(r ij) s ⋅ L ij
spin-orbit
2
Ptsij
quadratic spin-orbit
Ptsij:スピン・アイソスピン射影演算子�
t: isospin, s: spin
・3体力:UIXポテンシャル（2π交換項＋斥力項）�
I-1. 絶対零度核物質エネルギー計算�
・H2の期待値：クラスター変分法で計算
・H3の寄与を加える�→�全エネルギー�
<H2>/Nの計算�
Jastrow型波動関数�
Ψ(x 1,⋅⋅⋅,x N) = Sym
∏ fij ΦF(x 1,⋅⋅⋅,x N)
i<j
fij:相関関数�
1
fij =
ΦF: フェルミ気体の波動関数�
1
∑ ∑ fCts(rij) + s fTt(r ij)S Tij + s fSOt(r ij) s ⋅ L ij Ptsij
t =0 s=0
fCts(r) : 中心力型相関関数
t : isospin, s : spin
fTt(r) : テンソル型相関関数
fSOt(r) :スピン・軌道力型相関関数� （対称核物質の場合）�
変分関数�
クラスター変分法�
Hamiltonianの期待値を級数展開�
H2 =
Ψ|H 2|Ψ
Ψ|Ψ
= H2
H2
2
: 2体クラスター項�
H2
3
: 3体クラスター項�
+
H
2
2
クラスター展開�
2体クラスター近似�
2体クラスター近似�
H2
E2
=
N
N
2
+
...
3
FHNC 法�
fCts(r), fTt(r), fSOt(r)
＊Fermi Hypernetted Chain (FHNC)法：高次クラスター項の部分和�
Akmal, Pandharipande and Ravenhall (APR), PRC 58 (1998)1804
変分計算�
相関関数 fCts(r), fTt(r), fSOt(r) について変分�
Euler-Lagrange方程式：2階線形連立常微分方程式�
付加条件�
a) Mayer条件（規格化条件）�
b) Healing distance条件�
r ≥ rh(healing distance)では
粒子間相関が無い。�
fCts(r) = 1, fTt(r) = 0, fSOt(r) = 0 (r > rh)
4π 3 1
rh = ah r0 3 r0 = ρ
ah: Adjustable parameter
計算されたE2/Nが、FHNC計算結果を再現するようにahを決定�
rh
E2/N：2体力までのエネルギー�
E2/N[MeV]
100
Symmetric matter
Neutron matter
Symmetric matter(APR)
Neutron matter(APR)
Kanzawa et al.
NPA791(2007)232
50
rh = ah r0
0
0.0
0.5
ρ[fm−3]
1.0
ah =1.76
2体クラスター近似＋Healing distance条件�
APRの結果を良く再現�
3体力エネルギー期待値�
2π
R
UIX potential Vijk = Vijk + Vijk
2π
R
Vijk
V
: 2π 交換項�
ijk : 斥力項�
縮退したフェルミ気体の波動関数による期待値�
E 32π 1 N
2π
=
V
ijk
N
N i <∑
j<k
F
E 3R 1 N
R
=
V
∑
N N i < j < k ijk
F
E3
E 32π
E 3R
=α
+β
+ γρ 2e – δρ
N
N
N
E E 2 E 3 対称核物質に対する
全エネルギー�
=
+
補正項�
N N
N
調節 parameters : α, β, γ, δ
核物質の経験値を再現するように決定�
絶対零度核物質のエネルギー（3体力を含む）�
ρsat = 0.16 fm-3
Esat/N = -15.8 MeV
K = 250 MeV
Esym/N = 30 MeV
α = 0.41
β = -0.22
γ = -1604 MeV fm6
δ = 13.93 fm3
For symmetric matter
Pion condensation
Kanzawa et al.
NPA791(2007)232
一様核物質EOSの中性子星への適用�
Causality violation
Kanzawa et al.
NPA791(2007)232
I-2. 有限温度核物質自由エネルギー計算�
K. E. Schmidt and V. R. Pandharipande: Phys. Lett. 87B(1979) 11.
Free energy
S0
F E 0T
=
–T
N
N
N
E 0T E 2T E 3
=
+
N
N
N
E0T/N: 内部エネルギー
S0/N : エントロピー
E2T: < H2 >2�有限温度期待値（2体クラスター近似）
The Jastrow wave function at finite temperature
Ψ(T) = Sym
∏ fij ΦF(n(k))
i<j
S0
kB
= – ∑ 1 – n(k) ln 1 – n(k) + n(k)ln n(k)
N
N k
fij: 絶対零度と同じ
E3/N: 絶対零度と同じ
平均占有確率 n(k)
2 2
h
k
– 1 e(k) =
n(k) = 1 + exp e k – µ /k BT
,
2m*
自由エネルギーを m* について最小化
Effective mass
有限温度核物質の自由エネルギー�
Neutron matter
Kanzawa et al.
NPA791(2007)232
Symmetric nuclear matter
Tc ~ 18 MeV
FP: Friedman and Pandharipande,
NPA361 (1981)502.
II. 非一様核物質EOS計算�
Thomas-Fermi近似計算�
Shen-EOSの方法を踏襲�
Wigner-Seitz格子内の自由エネルギーを最小化�
Fcell = N mnc 2 + Z m pc 2 +
f(n n(r),n p(r))dr
自由エネルギー密度�
+ F0
∇ n n(r)+n p(r)
2
dr + E Coul
核子密度分布をパラメター化�
n i(r) =
n in
i
– n out
i
n out
i
3
t
i
1 – r/R i
+ n out
i
(i = p, n)
Shen et al., PTP100(1998)1013
for
0 ≤ r ≤ Ri
for
R i ≤ r ≤ R Cell
II-1. 孤立した原子核のTF計算とパラメター調節�
E3
E 32π
E 3R
2 – δρ
=α
+β
+ γρ e
N
N
N
パラメターα, β, γ, δ
β安定核に対するTF計算が
経験値を再現するよう再決定�
Kanzawa et al., in preparation
II-2. 中性子星クラスト計算�
preliminary
NS外殻の核種�
NS内殻の核種の
原子番号�
Kanzawa et al.
in preparation
SN-EOSテーブルまでの課題�
I. 一様核物質変分計算：� 有限温度非対称核物質�
(mp*, mn*)について自由エネルギー最小化�
II. 非一様核物質TF計算：�
TF計算用：一様核物質自由エネルギーの
��（nB, Yp)に関する細かいテーブル�
Shen-EOSの場合�~ 106
→�一様核物質変分計算の高速化、精度検討�
TF計算：複数パラメター（ 8個）での最小化�
・α粒子混合、 π 混合�
・高密度相転移？�
III. EOSテーブル完成へ�
5.1 ≤ log10ρB(g/cm3) ≤ 15.4,
Shen-EOSの場合�
0 ≤ T ≤ 100 MeV, 0 ≤ Yp ≤ 0.56
もっと広い範囲が必要�
106個のオーダーのデータセット�
新学術領域研究に向けて：連携の可能性
・現状のSN-EOSテーブル作成（A02-A03）�
・シミュレーションテストランを経てEOSを洗練� 不可欠！！�
・格子QCD計算による核力（A01-A02）�
・2体力の表式、斥力芯の形、多体計算収束性�
・3体力の情報�
・一様核物質状態方程式（A02）�
・2体力エネルギー：healing distanceの決定法?�
・3体力エネルギーの評価法�
中性子星
・より精密な（厳密な）変分法�
構造計算�
・高密度相転移（hyperon mixing, quark phase)
・非一様核物質の取扱い（A02-A03）�
・TF計算による液適模型を超えた方法？�
・数値計算技術の向上（A04）�

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