新課程「数学 A 平面図形

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新課程「数学Ａ平面図形」
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新課程
「数学 A 平面図形」
・第１章
・第２章
・第３章
・第４章
基本編
応用編
発展編
センター試験問題編
by H.Nagano
2005 年 4 月
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新課程「数学Ａ平面図形」
第 1 部基本編
１．内角と外角の二等分線
△ABCにおいて4Aの内角，外角の二等分線と直線BCが交わる点Dは，
辺BCをいくらの比に分けるか。
２．円周角の定理
同じ弧に対する円周角の大きさは等しく、
その弧に対する中心角の大きさの半分である。
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３．三角形の重心・外心・内心・垂心
三角形の3つの中線は１点で交わる。
三角形の３辺の垂直二等分線は
その交点はそれぞれの中線を
１点で交わる。　（外心）
２：１に内分する。　（重心）
（注：三角形の頂点と対辺の中点を
結んだ線分を中線という）
三角形の３つの内角の二等分線は
三角形の３つの頂点から各々の対辺へ
１点で交わる。（内心）
引いた垂線は１点で交わる。（垂心）
４．メネラウスの定理（立体的に理解）
△ABC において，頂点を通らない直線が辺BC , CA , AB またはその延長と
交わる点をそれぞれD , F , E とすると
AE BD CF
= 1 が成り立つ
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EB DC AE
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５．チェバの定理（立体的に理解）
△ABCにおいて３辺BC , CA , AB 上にそれぞれ点P , Q , R があり、
３直線AP , BQ , CR が１点で交わるとき、
PC QA RB
=1 が成り立つ
･
･
BP CQ AR
６．接弦定理
円の接線とその接点を通る弦の作る角は，
その角の内部にある孤に対する円周角に等しい。
７．方べきの定理
教材準備中
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第２部応用編
１．△ABC の外心Ｏと垂心Ｈ，重心Ｇ
△ABCの外心をO，垂心をH とする。OからBCに
三角形の重心をG，外心をO，垂心をH
下ろした垂線をOMとすると　AH =2OM とする。3点G , O , H は一直線上にあり、
であることを証明せよ。
OG：GH ＝1：2となる。
２．円の接線二等辺三角形であることを示せ
円の中心Oから直線l に垂線OH を引き，点H を通る直線と
円との交点をA , B とする。A , B における円の接線と直線l との
交点をそれぞれP , Q とするときOP = OQ であることを示せ。
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３．直線が円に接していることを示せ
AB を直径とする円O の外部に点C があり線分CA , CB が円と
それぞれ点P , Q で交わっている。このとき，直線OP および
直線OQ は3点C , P , Q を通る円に接することを示せ。
４．正方形内の直線の交点
正方形ABCD の辺DA ，DC 上にDE = DF となるように点E , F をとり、
点F から線分BE に垂線を引きその交点をP とする。
（１）4ABE = h とするとき，4BPC の大きさをh を用いて表わせ。
（２）点E , F がそれぞれ辺DA ，DC 上を動くとき点P が描く軌跡の長さを求めよ。
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５．接弦定理の応用
△ABCの4Aの内角，外角の二等分線が直線BCと交わる点をそれぞれP,Qとする。
PQの中点をDとするとき，直線ADは3点A,B,Cを通る円に接することを示せ。
指針：4CAD=4ABCならば，接弦定理から直線ADは円に接している。
６．4 点が同一円周上にある
三角形ABCの頂点Aから辺BCへ垂線AHを引き，AH上の点PからAB , AC へ
垂線PQ , PR を引く。このとき4点B , C , R , Q は同一円周上にあることを示せ。
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７．線分の長さの和一定
半直線AB , AC があり，4BAC の二等分線上に定点O をとる．A , O を通る任意の円と
半直線AB , AC との交点をそれぞれP , Q とする． AP + AQ は常に一定であることを示せ．
８．内心と外心
△ABCの内心をIとし，IとAを通る直線が外接円と交わる点を
Dとすれば，DI=DB=DC である。
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９．３個の円が 1 点で交わる
△ABCの辺 BC, CA, AB上にそれぞれ点 D, E, Fを任意にとったとき，
△AEF, △BFD, △CDE の外接円は1点で交わることを証明せよ。
１０．平行四辺形であることの証明
平面上に２定点A,Bと，動点Cがある。いま直線ABに関してCと同じ側に、
3 点A ',B',C'を△CBA',△ACB',△ABC'がいずれも正三角形であるようにとる．
このとき，四角形CA'C'B'は平行四辺形であることを証明せよ。
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第３部発展編
１．3 点が同一直線上にある
三角形ABCの外接円の周上の点Gから，三角形の各辺または各辺の延長線に
下ろした垂線の足P,Q,Rは同一直線上にある｡（シムソンの定理）
２．フェルマー点問題
△ABC と動点P がある。線分の長さの和 PA + PB + PC が
最小となる点P の位置を求めよ。
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第 4 部センター試験問題編
１．センター試験 00 年追試
数ⅠA 平面図形
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２．センター試験 01 年追試
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数ⅠA 平面図形
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３．センター試験 01 年追試
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数ⅠA 平面図形
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４．センター試験 0３年
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数ⅠA 平面図形
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