みずき中学校下山雅也

数学実践
中学校３年
「関数 y ＝ a x 2 の利用」
粘り強く課題に取り組み、数学的な考え方を育てるための指導の工夫
前橋市立みずき中学校
Ⅰ
実践のポイント
下山
雅也
方を育てることができると考える。
粘り強く課題に取り組み、数学的な考え
方を育てるために、
Ⅲ
指導の工夫
１
ＩＣＴ機器を活用した課題提示の工夫
①課題提示時にＩＣＴ機器を活用し、課題
関数において、生徒が「ともなって変わる
を把握しやすくした。
２つの数量」は何であるかを理解して課題に
②ワークシートを活用した意見交流の場を
取り組むことは、非常に重要である。特に「時
設定し、解決への見通しをもちやすくし
間とともに２人の進む距離が変わっていく」
たり、考えを深めやすくしたりした。
という場面は、文章や式、グラフだけではと
Ⅱ
指導者の願い
らえることが難しい。そこで、自転車に乗っ
本学級の生徒は数学の授業に真面目に取り
た生徒が走っている生徒に追いつくという、
組む生徒が多い。また、発問に対して、積極
進み方の異なる２人の関係をビデオに撮影し
的に発言できる生徒も見られる。文章問題や
て提示する。動画で視覚的にとらえることで、
応用問題に対しても、自分なりに考えて解決
生徒は課題を把握しやすくなると考える。
しようとする生徒が半数以上をしめる。しか
２
ワークシートを活用した意見交流の工夫
し、数学に苦手意識をもっている生徒は、ど
他者の意見に触れることで、解決の糸口を
うしてよいか分からず前に進めなかったり、
つかめたり、自分の考えの正しさを確認した
諦めてしまったりすることもある。それは課
りできる。さらに、考えを深めたり新しい意
題の把握が十分でないこと、解決への見通し
見をもてたりできるようになる。そのために
がもてないことが原因と考えられる。そのよ
は意見交流において、生徒が明確な視点をも
うな生徒が課題をしっかり把握し、自分なり
ち、自分なりの考えをもちながら主体的に行
の考えや見通しをもつことは、粘り強く課題
う必要があると考える。そこで、「課題１と
に取り組む原動力となるであろう。そして、
２の共通点と相違点」という明確な視点で自
その考えを深めたり、他者の考えをもとに新
分の考えを記入する欄を設けたワークシート
しい考えをもったりすることは、数学的な考
を用意する(図１)。
え方を育てることにつながると考えた。そこ
で、課題を提示する際に、ＩＣＴ機器を活用
して、課題を視覚的にとらえられるようにす
る。文章で表された課題も、視覚的にとらえ
ることで、正確に把握できると考えられる。
さらに、課題解決への見通しをもち自分の考
えを深めることができるようにワークシート
を活用した意見交流を行う。これらの学習活
動を通して、生徒が解決への見通しを明確に
し、粘り強く課題に取り組み、数学的な考え
- 77 -
図１考えを記入し整理するためのワークシート
また、ワークシートに記入した自分の考え
た。そして関数 y ＝ ax 2 を利用して問題を
をもとに意見交流を行う。このような意見交
解決していく本時では、速さに関する問題を
流を通して、自分の考えを整理しながら課題
扱った。
に取り組み、課題解決への見通しをもてたり
≪課題１≫
考えを深めたりすることができると考える。
一定の速さで走るＫさんが地点Ａを通過す
Ⅳ
実践の概要
ると同時に、Ｍさんは地点Ａから自転車でＫ
１
単元名
さんと同じ方向に走り出した。ＭさんがＫさ
んに追いつくまでの時間を調べよう。
〔３年〕関数
２
指導目標
スタートして x 秒後のＡからの距離をy ｍ
とする。
事象の中から x とy の関係が y ＝ ax 2 で表
されるものに着目し、式やグラフの形、値の
Ｍさんの進行の様子(表で一部を提示)
0 ≦ x ≦ 14 で y ＝ ax
変化の様子などを調べることを通してその特
を解決することができる。
３
指導計画
1
2
1
1
4
3
の関係
4
5
6
7
Ｋさんの進行の様子(グラフで提示)
(ｍ)
（１６時間予定、本時はその１２時間目）
時間
0
0
x
y
徴を理解するとともに、関数を利用して問題
2
主な学習活動
１
・関数ｙ＝ａｘ２の意味
２
・関数ｙ＝ｘ２のグラフの特徴
３
・ａ＞０のときのａの値とグラフの関係
４
・ａ＜０のときのａの値とグラフの関係
５
・関数ｙ＝ａｘ２の値の変化のようす
６
・関数ｙ＝ａｘ２の値の変化の割合
７
・具体的な場面で、変化の割合の意味を調べる
８
・関数ｙ＝ａｘ２で表される式を求めること
９
・グラフから、対応や変域を調べること
y
32
28
24
20
16
12
１０
・練習問題
１１
・いろいろな関数について調べる
8
4
x
0
１４
図２
8
10
12
秒
課題２
課題の提示
ているＫさんに追いつく動画を提示すること
・図形を移動させるときに現れる関数を
で課題を把握しやすくした(図２)。すべての
生徒が真剣に注目していた。追いつく前の場
面で動画を一時停止し、この後、どうなるか
・章末問題
１６
４
6
まず課題１では、自転車のＭさんが、走っ
を利用して解決する
見いだして、問題を解決する
１５
4
課題１
１２本時・身のまわりにある問題を、関数ｙ＝ａｘ２
１３
2
予想するようにした。動画の中では自転車が
実践授業の展開
明らかに加速しているので「Ｍさんが追いつ
（１）ＩＣＴ機器を活用した課題提示の工夫
く」という予想がすぐに挙がった。そして２
本単元では、生徒は主に１次関数(比例)と
回繰り返し示した後、２人の進む速さに着目
の比較を通してグラフの特徴や値の変化の様
して気付いたことを発表させた。「自転車は
子など、関数 y ＝ ax
2
の特徴を理解してき
だんだん速くなっていく」「走っている人は
- 78 -
一定の速さで走っている」という意見が挙が
使って解けそうだという見通しをもつことが
った。
できた。その後、座席の近い者同士で一緒に
これらのことを全体で確認した後、課題に
取り組んだ。それぞれの進行の様子を表や式、
考えたり、教え合ったりするよう声かけを行
った。
グラフで確認しながら最後はグラフ交点の座
標から追いつく時間と距離を求めていった。
≪課題２≫
地点ＡからＭさんが自転車をこぎ始めると
同時に、Ｋさんと同じ速さで走る S さんは地
点Ａから１２ｍ先の地点Ｂを通過した。Ｍさ
んがＳさんに追いつくまでの時間を調べよ
う。
(Ｍさんの自転車の速さは課題１と等しい。)
図３
課題２についても課題１と同様に、動画で
ワークシートに記入する生徒
課題を提示することで、課題を把握しやすく
机間指導での見取りから、３分の１から半
した(図２)。Ｓさんの出発地点はＫさんの出
数ほどの生徒が解決への見通しをもてた。そ
発地点よりも前方であることを視覚的にとえ
して、異なる意見を記入していたＣ・Ｄ・Ｅ
られたため、普段は自分で考えることを諦め
さんを指名し発表させ全体での意見交流を行
てしまう生徒も諦めずに課題に取り組むこと
った。特にこの場面では１２ｍという課題１
ができた。
との違いを表や式、グラフでどのように表せ
（２）ワークシートを活用した意見交流の工夫
るかということに全員の目を向けさせたいと
課題２のワークシートには、課題１との共
考えた。そこで、具体的な式を考えながら、
通点と相違点を記入する欄を設け、自分の考
課題１との違いをどのように表せるか考えて
えを記入できるようにした。さらに意見交流
いたＥさんを指名した。以下は発表の一部で
によってどのようにすれば解決できるかとい
ある。
う見通しを記入する欄を設けた。はじめに全
Ｃさん「グラフをかいて交点を求める。」
体で課題２の場面の把握を行った後、課題１
Ｄさん「表を使っても求められる。」
との共通点と相違点について考え、ワークシ
Ｅさん「y ＝２x と y ＝
ートに記入するよう促した。この２つの場面
１
x
４
２
を連立すれ
ばいいと思う。」
の比較では、違いが分かりやすかったために
ほとんどの生徒が共通点と相違点に気付い
Ｆさん「でもそれじゃ課題１と同じだよ？」
た。「２人の速さは課題１と同じ。」である
Ｅさん「そう、１２ｍをどうにかしないとな。」
という共通点と「Ｓさんは地点Ａより１２ｍ
進んでいる。」という相違点を全体で確認し
た。
これらの発表を聞き、新たにワークシート
に記入する生徒の姿が見られた。このことか
そして、この比較によって分かったことを
ら、見通しをもてずにいた生徒にとって、こ
もとに、課題２を解決するためにどうしたら
の意見交流が解決の糸口となり、新たな考え
よいか考えワークシートに記入するよう促し
をもつことにつながったと考えられる。また
た(図３)。まず、個人で考えるよう促したと
「１２ｍをなんとかしないとな。」というＥ
ころ、数学の得意な生徒数名がグラフや式を
さんの言葉から、ほぼ全員が１２ｍを意識し
- 79 -
て問題解決に向かうことができた(図４)。ま
よさに気付くことができたと考えられる。
た生徒は、考えをワークシートにしっかり記
Ⅴ
まとめ
入し明確にすることで、表や式、グラフを積
本実践では、ＩＣＴ機器を活用した課題提
極的に用いて考えることできた。そして、諦
示により課題をしっかり把握し、ワークシー
めることなく課題に取り組むことができた。
トを活用しながら意見交流を行うことを通し
て、見通しをもって粘り強く課題に取り組み、
数学的な考え方を育てることを目指した。
【成果】
○数学に苦手意識のある生徒が諦めずに課題
に取り組む姿が見られた。ＩＣＴ機器を活
用した課題提示は、課題をしっかり把握し
図４
生徒の記入例
て取り組むことにつながった。
課題を解決していく場面では、式に表して
○机間指導で見とったワークシートへの記入
連立方程式をたてようとする生徒は、課題１
の様子から、意見交流の際に「課題１と２
の式から１２ｍを足したり引いたりするな
の共通点と相違点」という視点を明確にし
ど、１２ｍに着目した操作を行っていた。そ
たことは、自分の考えや課題を解決する見
して、ワークシートに記入した「１２ｍ前を
通しをもつことにつながった。また、１人
行っている」という記述をもとに、隣の生徒
では見通しをもつことができなかった生徒
と話し合いながら y ＝２x ＋１２という式を
も、意見交流によって、式や表、グラフを
得ることができた。このような姿から生徒は
使って考えてみようという見通しをもち、
見通しをもって課題に取り組んでいたととら
粘り強く課題に取り組むことができた。
えられる。そして、まとめの場面では表や式、
○解決への見通しをもつ場面やまとめの場面
グラフを利用して解決したそれぞれの生徒に
では、自分の考えだけでなく他の生徒の考
発表するように促した(図５)。
えも熱心に記入する生徒が見られた。新た
な考えをもったり、他の解法のよさに気付
くなど、数学的な考え方が育ってきたとと
らえることができる。
【課題】
○黒板やスクリーンに課題１と２の両方の映
像を示しておくことができなかった。静止
画を用いて課題１と２の両方を提示してお
くことで違いを強調できると考えられる。
○本実践では課題解決の見通しをもつ場面で
図５
自分の解決方法を発表する生徒
の意見交流を行った。しかし、個人で解決
その際、多くの生徒が自分以外の解法もワ
していく生徒が多い中で、つまずいている
ークシートに熱心に記入していた。また「グ
生徒も見られた。同じ考えをもつ生徒同士
ラフだと、追いつく地点が目で見てわかりや
でグループをつくり、意見を交流しながら
すい。」「式ならグラフがきりのいい点を通
解決していくなどの方法も考えられる。
らなくても求められる。」という発言もみら
れた。生徒はそれぞれの考え方に触れ、その
- 80 -
【資料】
第３学年
実践を生かした授業案
単元名関数（本時は１２／１６）
2
速さに関する問題を関数 y ＝ ax を利用して考察し、解決することがで
きる。
めあて
指導の工夫
生徒の活動
本時のねらい
≪課題１≫
一定の速さで走るＫさんが地点Ａを通過すると同時に、Ｍさんは地点Ａから自転車でＫさんと同じ方
向に走り出した。ＭさんがＫさんに追いつくまでの時間を調べよう。
(ｍ) y
(１)Ｍさんが出発してから x 秒間に進む距離を y ｍとすると、
2
０≦ x ≦１４の範囲では y ＝ ax の関係がある。１秒間、
２秒間に進む距離が次のように分かっているとき、表を完
成させなさい
x 0
1 2 ・・・
y 0
1
1 ・・・
4
32
28
24
20
16
12
8
(２)右のグラフは地点ＡからのＫさんの進行の様子を示したもの
である。ここにＭさんの進行の様子を示すグラフをかきなさい。
(３)ＭさんがＫさんに追いつくのは何秒後ですか。また地点Ａ
から何ｍの地点ですか。
4
0
2
4
6
8
10
12
x
秒
１課題１をつかむ。【ポイント１ＩＣＴ機器を活用 ○反応例
した課題提示の工夫 ◇】
・Ｋさんは一定の速さだ。
◇２人の進行の様子を動画で提示す・Ｍさんはだんだん速くなっていく
ることで、課題を把握しやすいよ
な。
うにする。
◇Ｍさんが出発した瞬間の画像を掲
課題１の提示
示しておき、場面を振り返りやす
くする。
２課題１を解決する。・y ＝ ax 2 の関係があることに気付 ○ 表の値から式を求め、表を完成す
くようにするため、問題文に注意
る。
するよう声かけを行う。
○ グラフからＫさんの進行の様子を
・グラフが直線であることに目を向
読み取る。
けさせ、Ｋさんは一定の速さで進 ○ 完成した表からＭさんのグラフを
んでいるということを意識できる
かく。
ようにする。
○ Ｍさんが追いつく時間と距離を求
課題に取り組む生徒・グラフを正確にかけるよう、座標
める。
の１目盛りの大きさに着目させ、 ○反応例
格子点を通る部分に注意するよう・グラフをかいてその交点の座標か
促す。
ら追いつく地点を求めよう。
・グラフの交点が追いつく地点であ・２人の式から連立方程式をたて、
ることに気付けるようにするため、その解を求めよう。
グラフの特徴的なところに目を向・表を利用しよう。
けるよう声をかける。
・表や式を利用して求められないか ○ 表や式、グラフを利用して追いつ
投げかけ、表や式でも追いつく地
く地点を求められることを理解す
点を求められることに気付けるよ
る。
うにする。
≪課題２≫
地点ＡからＭさんが自転車をこぎ始めると同時に、Ｋさんと同じ速さで走るＳさんは地点Ａから１２
ｍ先の地点Ｂを通過した。ＭさんがＳさんに追いつくまでの時間を調べよう。
(Ｍさんの自転車の速さは課題１と等しいものとする。)
- 81 -
３
課題２をつか
み、解決への見
通しをもつ。
◇２人の進行の様子を動画で提示す
ることで、課題を把握しやすくす
る。
◇課題１との違いを強調するため画
像を対比させて掲示する。
個人の活動
○ 課題１との比較に視点をあてて意
見交流を行い、解決の見通しをもつ。
○反応例
・ＫさんとＳさんの速さは同じ。
・追いつくまでの時間を求める。
・スタートしたとき、Ｓさんは１２
ｍ前方を行っている。
課題２の提示
【ポイント２ワークシートを活用グループ(座席)での活動
した意見交流の工夫 ◆】
○ 意見交流を行い、解決への見通し
意見交流を行う生徒
をもつ。
◆見通しを立てる際の手がかりとす ○反応例
るため、課題１と比較し、共通点・２人の進行を表すグラフをかいて
と相違点を考えるよう促す。
求める。
◆他の生徒の考えに触れ、見通しを・１２ｍという違いはどうすればい
もったり考えを深めたりするため、いかな。
共通点と相違点に視点をあてた意・ＳさんのグラフはＫさんのグラフ
見交流を行う場を設ける。
を y 軸方向に１２だけ平行移動さ
◆自分の考えを整理し明確にするた
せればいいと思う。
め、追いつくまでの時間を求める・２人の時間と距離の関係を表に表
考えを、ワークシートに記入させ
して求める。
る。
◆考え方を全体で共有するために、
数人に記入した自分の考えを発表
するよう促す。
４課題２を解決する。 ◆同じ考えの生徒同士でグループを ○課題２に取り組む。
つくって協力して解決するよう投個人・グループ(同じ考え)での活動
げかける。
・つまずいているグループには、ヒ ○反応例
ントとしてＳさんは０秒の時に何・速さは同じだから直線の傾きは変
ｍの地点にいるか考えるよう促す。わらない。
・早くできたグループには、ほかの・式では１２を足せばいいのか引け
方法で求めてみるよう声をかける。ばいいのか難しいぞ。
◆いろいろな解決の方法に触れさせ ○反応例
るため、黒板に板書させ全体で共・グラフだと目で見て分かる。
有する。
・式ならグラフが格子点を通らなく
ても分かる。
評価項目
【考】２人の進行の様子を表や式，
グラフで表し，それを利用して問
題を考察している。(ワークシート)
５
本時の学習のま・本時の学習過程を確認するため、 ○ グラフや式、表を利用して問題が
とめをする。
ワークシートを振り返るよう促し、解決できたことを確認する。
y ＝ ax 2 を利用して問題を解決で
きたことを確認する。
- 82 -

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